Yörüngeler neden dairesel yerine eliptiktir?

16

Gezegenler neden belirli bir eliptik yörüngede bir yıldızın etrafında yıldızın odaklarından birinde dönüyor? Yörünge neden bir daire değil?

star orbit planet

— Devgeet Patel
kaynak

2

Eduardo'nun cevabı çoğunu özetliyor. Benzer bir soruya cevabımı görebilmenize rağmen Fizik SE. physics.stackexchange.com/questions/56657/...

— Cheeku

2

Dairesel yörüngeler, eliptik yörüngelerin özel bir halidir.

— asawyer

13

Gezegenin yıldızla karşılaştırıldığında ihmal edilebilir bir kütleye sahip olduğunu, her ikisinin de küresel olarak simetrik olduğunu varsayalım (Newton'un yerçekimi yasası geçerlidir, ancak bu normalde zaten çok iyi bir yaklaşımla gerçekleşir) ve aralarındaki yerçekiminin yanı sıra herhangi bir kuvvet yoktur. . İlk koşul devam etmezse, her birinin ivmesi sistemin barycenter'ına doğru olacaktır , sanki barycenter onları belirli bir kütle ile yerçekimi kuvveti çekiyormuş gibi, bu yüzden problem matematiksel olarak eşdeğerdir.

Kökeni almak için yıldızı alın. Newton'un yerçekimi yasasına göre, kuvvet , ki buradagezegene vektör,kütlesidir veyıldızın standart yerçekimi parametresidir. $\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$ $\mathbf{r}$ $m$ $\mu = GM$

Koruma Yasaları

Kuvvet tamamen radyal olduğundan , açısal momentum korunur: $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$ $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$ Başlangıç hızı sıfır değilse ve yıldız başlangıç noktasındaysa, başlangıç konumu ve hızı açısından yörünge,olan başlangıç noktasındanvektörleri olan tüm noktaların düzlemiyle sınırlandırılmalıdır. Başlangıç hızı sıfırsa, hareket tamamen radyaldir ve barycenter ve başlangıç konumunu içeren sonsuz sayıda düzlemden herhangi birini alabiliriz.

\dot{L} = \frac{d}{d t} (r x p) = m (\dot{r} x \dot{r}) + r x F = 0 .

$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$

x

$\mathbf{x}$

L \cdot x = 0

$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$

Toplam yörünge enerjisi birinci terim kısmı kinetik enerjisidir ve ikinci dönem gezegenimizin çekim potansiyel enerji olduğu. Korunması ve doğru potansiyel enerjiyi çağırması gerçeği, çizgi integralleri için analizin temel teoremi ile kanıtlanabilir.

E = \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{m μ}{r},

$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$

Laplace-Runge-Lenz vektörünü tanımlayın Ayrıca korunur:

A = p \times L - \frac{m^{2} μ}{r} r .

$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$

\begin{array}{rcl} \dot{A} & = & F \times L + p \times \dot{L} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & - \frac{m μ}{r^{3}} \underset{(r \cdot p) r - r^{2} p}{\underset{⏟}{(r \times (r \times p))}} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & 0 . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$

Son olarak, aynı zamanda ele alalım ile aynı birimleri vardır, , ve o zamandan beri , bu yörünge düzlemi boyunca yer alır. Korunmuş bir skaler tarafından ölçeklendirilmiş korunmuş bir vektör olduğu için, olduğu sürece de korunduğunu göstermek kolaydır . $\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$ $\mathbf{f}$ $\mathcal{E}\neq 0$

Basitleştirme

Vektör üçlü ürün kullanarak, yazabilirsiniz norm kare olan krank kolaydır:

\begin{array}{rcl} \frac{1}{m} bir & = & \frac{1}{m} [p^{2} r - (p \cdot r) p] - \frac{m μ}{r} r \\ = & (E + \frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p \\ E (f - r) & = & (\frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$

kinetik ve potansiyel açıdan arasında geçiş yapmak için boyunca kullanıldı.

E^{2} | f - r |^{2} = {(E + \frac{m μ}{r})}^{2} r^{2},

$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$

E

$\mathcal{E}$

Neden Elips?

Yana sonsuza enerji görecelidir, ihtiyacımız bir sınır yörüngeye sahip . Böylece, önceki bölümden ve bu nedenle $\mathcal{E}$ $\mathcal{E}<0$ $|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$ odağı olan bir elips tanımlar

| f - r | + | r | = - \frac{m μ}{E},

$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$

ve ana eksen

.

0, f

$\mathbf{0},\,\mathbf{f}$

2 a = - m μ / E

$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

Neden Çevreler?

Daire, odakların aynı nokta olduğu özel bir durumdur, , olarak yeniden ifade edilebilir $\mathbf{f} = \mathbf{0}$

E = - \frac{1}{2} \frac{m μ}{r} = - \frac{p^{2}}{2 m} .

$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$

E < 0

$\mathcal{E}<0$

$\mathcal{E}>0$ $\mathcal{E}=0$ $\mathbf{f}$

$\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

— Stan Liou
kaynak

8

e = \frac{r_{bir} - r_{p}}{r_{bir} + r_{p}}

$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$

r_{a}

$r_{a}$

r_{p}

$r_{p}$

e = 0.333

$e=0.333$ .

Güneş sisteminin tüm gezegenlerinden, 0.007 eksantrikliği ile Venüs , en dairesel yörüngeye sahiptir.

$\dot{r}$ $\dot{\phi}$

v^{2} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{φ}}^{2} .

$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$ birlikte dönen çerçevede yerçekimi kuvvetini tam olarak dengeler - biraz daha fazla veya biraz daha az, dengesizlik daireyi bozarak radyal hızı değiştirir.

Hızların çok sayıda nedenden dolayı değiştiği göz önüne alındığında, sadece birkaç yörüngenin dairesel olması şaşırtıcı değildir ve gerçek yörüngelerin zamanla değiştiğini düşünürsek, bu şekilde uzun süre kalamayacaklarını biliyoruz.

Matematiksel bir kanıt arıyorsanız, bu bağlantı bununla ilgili bazı ayrıntıları paylaşır .

İşte buradan çıkarılan güneş sistemindeki bazı cisimlerin eksantrikliğini gösteren bir resim :

Bazı güneş sistemi cisimleri ve eksantriklikleri

— Eduardo Serra
kaynak

Bu tamamen yanlış: "Yörüngenin yuvarlak olması için, gezegenin hızı tam olarak yörüngede olması gereken minimun olmalı; ... biraz daha az ve yörüngesindeki gezegene çarpacaktı." Paragraf neyin yörüngede kaldığı konusunda da oldukça karışıktır. Açıkçası, radyal hızı en aza indirirler , ancak bu farklıdır ve kinetik enerji tartışmasıyla bağlantılı değildir. Kinetik enerjiyi radyal ve açısal parçalara bölen dairesel yörüngeler de açısal momentum sabit tutulursa etkili potansiyeli en aza indirir.

— Stan Liou

@Stan bir düzenleme önerebilir veya kendi cevabınızı verebilirsiniz. Bu ifadenin neden yanlış olduğu hakkında ayrıntılı bilgi verebilir misiniz? Bir uydu dairesel bir yörüngeyi tanımlıyorsa ve yavaşlatıyorsanız, gezegene çarpacaktır; Eğer hızlandırırsanız, oluşur ve eliptik yörünge olur.

— Eduardo Serra

r_{a} = r_{p}

$r_a = r_p$

r_{p}^{'}

$r'_p$

1

@EduardoSerra - Dairesel bir yörüngedeki bir nesneyi yavaşlatın ve eski dairesel yörünge yarıçapı şimdi apofokal mesafe olacak şekilde eliptik bir yörüngede olacaktır.

— David Hammen

1

Ben her zaman herhangi bir formül kaçınmaya çalışıyorum ve yerine argümantasyon cevapları tercih ederim. Sorunun tüm yörüngelerin neden dairesel olmadığı kısmına gelince, bir tartışma şöyle olacaktır:

Sabit bir yıldız ve hareketli bir gezegen düşünün. Gezegenin sahip olabileceği her dürtü için, daha fazla hareketi için bir eğri tahmin edilebilir. Bu dürtü, yıldızdan gezegene doğru tam olarak dik ise ve hızın tam miktarı varsa , bu hareket eğrisi tam bir daire olabilir.

Ancak bu tek bir dürtüün her sapması için, ortaya çıkan eğri bir daire olamaz:

Hız çok düşükse, gezegen yıldıza doğru düşecektir (aşırı dürtü durumunda, bu düşüş düz bir çizgide olacaktır).
Hız çok yüksekse, gezegen yıldızdan mesafe alacaktır (sapanlara benzer).
Dürtü doğrudan yıldızın çizgisine dik değilse, ilk hareket yıldıza doğru veya yıldızdan hareket edecektir, bu nedenle yine eğri bir daire olmayacaktır.

Yani, sadece bir gezegenin bir yıldızın etrafında alabileceği eğri için bir daire çok özel bir durum olabilir.

— Alfe
kaynak

(1) İlk diklik argümanı iyi bir başlangıçtır. (2) Fakat "hız çok [düşük / yüksek]" düşünceleri haksızdır: birden fazla hızda dairesel yörüngelerin aynı mesafe için izin verilmediğini nasıl bilebilirsiniz? Kütleçekimsel ve merkezkaç kuvvetleri dengeleyerek birden fazla hız olasılığına karşı tartışılabilir, ancak hem (1) hem de (2) Eduardo Serra'nın cevabında tam olarak belirtilene dönüşür.

— Stan Liou

Yani, kütleçekimsel kuvvetin, gezegeni dairesel bir yolda tutmak için daha fazla kuvvet "gerektiğinde" yıldıza doğru daha fazla kuvvet uygulayacağı anlamında, yerçekimi kuvvetinin sıkı bir ip gibi olabileceği izlenimi altında olabilirsiniz. ? Hmm… evet, meslekten olmayan kişinin geçmişine bağlı olarak bu beklenebilir. Fikir için teşekkürler; belki de bu konuyu ele almak için cevabımı geliştirebilirim!

— Alfe