İşte yaptığım şey:
- Kitlelerine dayanarak, başlangıçta Jüpiter ve Satürn'ün yanı sıra Uranüs'ü düşünmek en güvenlidir. Dünyayı analize dahil etmek, göreli konumlar, gözlem açıları, vb. Elde etmek de verimli olabilir.
- Güneş
- Dünya
- Jüpiter
- Satürn
- Uranüs
- Neptün
- Hepsi için standart yerçekimi parametrelerini (μ) alın
- Tüm bu gezegenler için JPL / HORIZONS aracılığıyla başlangıç pozisyonlarını ve hızlarını alın . J2000.5'ten bazı verilerim vardı, bu yüzden 1 Ocak 2000'de öğleden sonra eyalet vektörlerini kullandım.
- Yerleşik MATLAB araçlarıyla bir N-gövde entegratörü yazın. Bu eksik Güneş sistemini bir kez Neptune olmadan ve bir kez de Neptune dahil ile entegre edin.
- Analiz edin ve karşılaştırın!
İşte verilerim ve N-gövde entegratörü:
function [t, yout_noNeptune, yout_withNeptune] = discover_Neptune()
% Time of integration (in years)
tspan = [0 97] * 365.25 * 86400;
% std. gravitational parameters [km/s²/kg]
mus_noNeptune = [1.32712439940e11; % Sun
398600.4415 % Earth
1.26686534e8 % Jupiter
3.7931187e7 % Saturn
5.793939e6]; % Uranus
mus_withNeptune = [mus_noNeptune
6.836529e6]; % Neptune
% Initial positions [km] and velocities [km/s] on 2000/Jan/1, 00:00
% These positions describe the barycenter of the associated system,
% e.g., sJupiter equals the statevector of the Jovian system barycenter.
% Coordinates are expressed in ICRF, Solar system barycenter
sSun = [0 0 0 0 0 0].';
sEarth = [-2.519628815461580E+07 1.449304809540383E+08 -6.175201582312584E+02,...
-2.984033716426881E+01 -5.204660244783900E+00 6.043671763866776E-05].';
sJupiter = [ 5.989286428194381E+08 4.390950273441353E+08 -1.523283183395675E+07,...
-7.900977458946710E+00 1.116263478937066E+01 1.306377465321731E-01].';
sSaturn = [ 9.587405702749230E+08 9.825345942920649E+08 -5.522129405702555E+07,...
-7.429660072417541E+00 6.738335806405299E+00 1.781138895399632E-01].';
sUranus = [ 2.158728913593440E+09 -2.054869688179662E+09 -3.562250313222718E+07,...
4.637622471852293E+00 4.627114800383241E+00 -4.290473194118749E-02].';
sNeptune = [ 2.514787652167830E+09 -3.738894534538290E+09 1.904284739289832E+07,...
4.466005624145428E+00 3.075618250100339E+00 -1.666451179600835E-01].';
y0_noNeptune = [sSun; sEarth; sJupiter; sSaturn; sUranus];
y0_withNeptune = [y0_noNeptune; sNeptune];
% Integrate the partial Solar system
% once with Neptune, and once without
options = odeset('AbsTol', 1e-8,...
'RelTol', 1e-10);
[t, yout_noNeptune] = ode113(@(t,y) odefcn(t,y,mus_noNeptune) , tspan, y0_noNeptune , options);
[~, yout_withNeptune] = ode113(@(t,y) odefcn(t,y,mus_withNeptune), t, y0_withNeptune, options);
end
% The differential equation
%
% dy/dt = d/dt [r₀ v₀ r₁ v₁ r₂ v₂ ... rₙ vₙ]
% = [v₀ a₀ v₁ a₁ v₂ a₂ ... vₙ aₙ]
%
% with
%
% aₓ = Σₘ -G·mₘ/|rₘ-rₓ|² · (rₘ-rₓ) / |rₘ-rₓ|
% = Σₘ -μₘ·(rₘ-rₓ)/|rₘ-rₓ|³
%
function dydt = odefcn(~, y, mus)
% Split up position and velocity
rs = y([1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]);
vs = y([4:6:end; 5:6:end; 6:6:end]);
% Number of celestial bodies
N = size(rs,2);
% Compute interplanetary distances to the power -3/2
df = bsxfun(@minus, permute(rs, [1 3 2]), rs);
D32 = permute(sum(df.^2), [3 2 1]).^(-3/2);
D32(1:N+1:end) = 0; % (remove infs)
% Compute all accelerations
as = -bsxfun(@times, mus.', D32); % (magnitudes)
as = bsxfun(@times, df, permute(as, [3 2 1])); % (directions)
as = reshape(sum(as,2), [],1); % (total)
% Output derivatives of the state vectors
dydt = y;
dydt([1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]) = vs;
dydt([4:6:end; 5:6:end; 6:6:end]) = as;
end
İşte bazı güzel araziler almak için kullanılan sürücü komut dosyası:
clc
close all
% Get coordinates from N-body simulation
[t, yout_noNeptune, yout_withNeptune] = discover_Neptune();
% For plot titles etc.
bodies = {'Sun'
'Earth'
'Jupiter'
'Saturn'
'Uranus'
'Neptune'};
% Extract positions
rs_noNeptune = yout_noNeptune (:, [1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]);
rs_withNeptune = yout_withNeptune(:, [1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]);
% Figure of the whole Solar sysetm, just to check
% whether everything went OK
figure, clf, hold on
for ii = 1:numel(bodies)
plot3(rs_withNeptune(:,3*(ii-1)+1),...
rs_withNeptune(:,3*(ii-1)+2),...
rs_withNeptune(:,3*(ii-1)+3),...
'color', rand(1,3));
end
axis equal
legend(bodies);
xlabel('X [km]');
ylabel('Y [km]');
title('Just the Solar system, nothing to see here');
% Compare positions of Uranus with and without Neptune
rs_Uranus_noNeptune = rs_noNeptune (:, 13:15);
rs_Uranus_withNeptune = rs_withNeptune(:, 13:15);
figure, clf, hold on
plot3(rs_Uranus_noNeptune(:,1),...
rs_Uranus_noNeptune(:,2),...
rs_Uranus_noNeptune(:,3),...
'b.');
plot3(rs_Uranus_withNeptune(:,1),...
rs_Uranus_withNeptune(:,2),...
rs_Uranus_withNeptune(:,3),...
'r.');
axis equal
xlabel('X [km]');
ylabel('Y [km]');
legend('Uranus, no Neptune',...
'Uranus, with Neptune');
% Norm of the difference over time
figure, clf, hold on
rescaled_t = t/365.25/86400;
dx = sqrt(sum((rs_Uranus_noNeptune - rs_Uranus_withNeptune).^2,2));
plot(rescaled_t,dx);
xlabel('Time [years]');
ylabel('Absolute offset [km]');
title({'Euclidian distance between'
'the two Uranuses'});
% Angles from Earth
figure, clf, hold on
rs_Earth_noNeptune = rs_noNeptune (:, 4:6);
rs_Earth_withNeptune = rs_withNeptune(:, 4:6);
v0 = rs_Uranus_noNeptune - rs_Earth_noNeptune;
v1 = rs_Uranus_withNeptune - rs_Earth_withNeptune;
nv0 = sqrt(sum(v0.^2,2));
nv1 = sqrt(sum(v1.^2,2));
dPhi = 180/pi * 3600 * acos(min(1,max(0, sum(v0.*v1,2) ./ (nv0.*nv1) )));
plot(rescaled_t, dPhi);
xlabel('Time [years]');
ylabel('Separation [arcsec]')
title({'Angular separation between the two'
'Uranuses when observed from Earth'});
ki burada adım adım açıklayacağım.
İlk olarak, N-vücut entegratörünün gerektiği gibi çalıştığını kontrol etmek için Güneş sisteminin bir grafiği:
Güzel! Sonra, Neptün'ün etkisiyle ve etkisiz Uranüs'ün pozisyonları arasındaki farkı görmek istedim. Bu yüzden, sadece bu iki Uranüs'ün pozisyonlarını çıkardım ve bunları çizdim:
... bu pek kullanışlı değil. Büyük ölçüde yakınlaştırıp halkı dışarı döndürürken bile, bu sadece yararlı bir arsa değildir. Bu yüzden iki Uranüs arasındaki mutlak Öklid mesafesinin evrimine baktım:
Bu daha çok benzemeye başlıyor! Analizimizin başlamasından yaklaşık 80 yıl sonra, iki Uranüs yaklaşık 6 milyon km uzaklıktadır!
Kulağa büyük gelebilir, şeylerin büyük ölçeğinde, burada Dünya'da ölçümler aldığımızda gürültüde boğulabilir. Ayrıca, bir anda göreceğimiz gibi, tüm hikayeyi hala anlatmıyor. Şimdi, bu açının ne kadar büyük olduğunu ve gözlemsel hata eşiklerinin üstünde olup olmadığını görmek için gözlem vektörleri arasındaki, Dünya'dan iki Uranusa doğru açısal farka bakalım:
... dalga! 300'den fazla arcseconds farkı, artı her türlü titrek bobbley timey wimey dalgalanma devam ediyor. Bu, o zamanın gözlemsel yetenekleri içinde iyi görünüyor (bu kadar hızlı bir şekilde güvenilir bir kaynak bulamamam; kimse?)
Sadece iyi bir ölçü için, Jüpiter ve Satürn'ü resimden çıkaran o son komployu da ürettim. Bazı pertürbasyon teorisi 17'de geliştirilmiş olmasına rağmen inci ve 18 inci yüzyıllarda, çok iyi gelişmiş değildi ve hatta Le Verrier dikkate Jüpiter aldı şüphe (ama yine ben yanlış olabilir; Daha fazla bilgi varsa düzeltin lütfen).
İşte, Jüpiter ve Satürn olmadan son arsa:
Farklılıklar olmasına rağmen, Neptün'ü keşfetmek için çok az ve en önemlisi ilgisizdirler.
