Evrenin genişlemesini, entropiyi, çürüyen yörüngeleri ve yörüngelerine çarpışan veya yörüngelerine müdahale eden herhangi bir cismin müdahalesini göz ardı ederek, güneş sistemimizde bilinen sekiz gezegen hiç hizalanmayacak mı?

Gezegenlerin "dönemi" nedir; ne sıklıkla mükemmel uyum sağlarlar? Mevcut konumlarına dayanarak, gelecek teorik hizalanmaları geleceğe ne kadar uzakta?

Bu düşük bir doğruluk - ancak basit - cevaptır

Gezegenlerin sadece radyal hizalama yapılandırmasını hesaplamanızı sağlar .

Bir tahmin etmek isterseniz, diyelim ki, bir saat içinde gezegenlerin konumunu el olarak konumlandırıyorsunuz, matematiği böyle bir şeyle çalıştırabilirsiniz.

Varsayalım , zamanındaki gezegen için gelişigüzel fakat sabit bir konumdan ölçülen başlangıç ​​açısıdır ve , gezegen için yılın gün olarak uzunluğudur . i t 0 l i$\theta_i$$i$$t_0$$l_i$$i$

Sonra bu denklem sistemini çözmeye devam eder:

$$x \equiv \theta_i \left( \ mod\ l_i\right)$$

Buradan sonra sadece Çin Kalan Teoremini uygularsınız .

Minimum x değerini bulmak, açısına sahip gezegenin bir hizalama yapılandırmasına ulaşılana kadar seyahat ettiği açıyı verecektir . Bahsedilen gezegen olarak Dünya'yı seçtiğinizi varsayarsak, bu açıyı tam bir devrime ( ) bölün ve yapılandırmasından bu yapılandırmaya ulaşılacak yıl sayısını alacaksınız .θ i = 0 360 o t $t_0$$\theta_i = 0$$360^{o}$$t_0$

01 Ocak 2014'te tüm gezegenler için derece farklı - bunu olarak kullanabilirsiniz :t $\theta_i$$t_0$

$$\begin{align} Mercury &\quad 285.55 \\Venus &\quad 94.13 \\Earth &\quad 100.46 \\Mars &\quad 155.60 \\Jupiter &\quad 104.92 \\Saturn &\quad 226.71 \\Uranus &\quad 11.93 \\Neptune &\quad 334.90 \end{align}$$

Kaynak

Tüm gezegenler için günlerdeki farklı :$l_i$

$$\begin{align} Mercury &\quad 88 \\Venus &\quad 224.7 \\Earth &\quad 365.26 \\Mars &\quad 687 \\Jupiter &\quad 4332.6 \\Saturn &\quad 10759.2 \\Uranus &\quad 30685.4 \\Neptune &\quad 60189 \end{align}$$

Son olarak , bir tamsayı değerleri yakınlığı altında ve bu çevrimiçi çözücüyü denklemler sistemi için kullanarak , , bölünmüş olarak yaklaşık 360 o 1.1218 x 10 $x = 4.0384877779832565 \times 10^{26}$$360^{o}$

$$1.1218 \times 10^{24} \quad\text{years}$$

Düzenle 1

Oynamak isteyebileceğiniz bu siteyi buldum . Gezegenlerin doğru konumu ile etkileşimli bir flash uygulamasıdır.

Ayrıca, tüm bilgilerin bu NASA sayfasından elde edilebileceğini ve bulabildiğiniz kadar doğru olduğunu biliyorum, ama şimdi benim için anlaşılmaz. Daha sonra zaman bulduğumda düzeltmeye çalışacağım.

Ayrıca Jean Meeus'un Astronomik Algoritmalar adlı bu kitabı tüm temel euqation'ları ve formülleri kapsar - yine de programlama algoritmaları ile ilgisi yoktur.

Düzenle 2

Bir programcı olduğunuzu görünce, yukarıda bahsettiğim NASA sitesini kontrol etmeniz sizin için değerli olabilir, tüm gezegenlerin verilerine üzerinden bile erişilebilir . Ya da yukarıda adı geçen kitapta açıklanan denklemlerin çoğu için uygulamalara sahip oldukları bu Sourceforge sitesi .$\tt{telnet}$

Doğru cevap birkaç nedenden dolayı ' asla ' değildir. İlk olarak, Florin'in yorumunda belirtildiği gibi, gezegenin yörüngeleri eş düzlemsel değildir ve bu nedenle, her gezegen yörüngesel düzlemine keyfi olarak yerleştirilse bile muhtemelen hizalanamaz. İkincisi , saf radyal hizalama bile asla gerçekleşmez çünkü gezegenin dönemleri ölçülemez - oranları rasyonel sayılar değildir. Son olarak , gezegenlerin yörüngeleri, esas olarak karşılıklı çekimsel çekimleri nedeniyle milyonlarca yıllık zaman dilimleri boyunca evrilir. Bu evrim (zayıf) kaotiktir ve bu nedenle çok uzun süredir tahmin edilemez.

Harogaston tarafından yanlış cevap aslında çok uzun bir zaman elde en yakın commensurable numarası gibi ölçütlere göre yörünge dönemleri yaklaşır (o sadece bir faktörle bu yanlış var gerçi ).$10^{16}$

Çok daha ilginç bir soru (ve belki de gerçekten ilgilendiğiniz soru) 8 gezegenin neredeyse ne kadar radyal olarak hizalandığıdır . Burada, ' neredeyse ' basitçe ' Güneş'ten görüldüğü gibi içinde$10^\circ$ ' anlamına gelebilir . Böyle bir durumda, gezegenlerin karşılıklı yerçekimi çekimi hizalanacak ve dolayısıyla ortalamadan daha güçlü yörünge değişikliklerine yol açacaktır.

Bunu yapmanın çok daha kolay bir yolu var.

1) Dünya günlerinde güneş yılının uzunluğuna bakın

2) yılların uzunluğunu şu şekilde çarpın: Merkür yılı * Venüs yılı * Dünya yılı * Mars yılı * Jovian yılı * Satürn yılı * Uranüs yılı * Neptün yılı

3) Dünya yıllarını elde etmek için 365'e bölün.

Ve tekrar uzunlamasına hizalanacakları bir zamanınız var (yani açılar farklı olacak, ancak üstten bakıldığında bir çizgi oluşturacaklar). Bu gezegenlerin bazılarının yıllarında ondalık sayıda dünya günü olduğu için frekansın daha yüksek bir seviyesine hizalanmayacaktır.

Teknik olarak, 8 gezegenin tümünün hizalanması arasındaki süreyi bulmanın gerçek yolu, yıl uzunluklarının 8'inin LCM'sini bulmaktır.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Bunun en yakın tam sayıya yuvarlandığı için kabaca bir tahmin olduğunu biliyorum, ancak gün sayısı hakkında iyi bir fikir veriyor. alacaktı.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Bu kaç yıl.

İkiden fazla gezegenin ortak dönemine dair herhangi bir tahmin (yani, yine miras merkezci boylamda ne kadar zaman geçtikten sonra?) Mükemmel hizalamadan ne kadar sapmanın kabul edilebilir olduğuna çok güçlü bir şekilde bağlıdır.

Planet süresi ise olan ve kabul edilebilir sapma halinde zaman içinde bir (aynı birimlerinde ), daha sonra birleştirilen süresi tüm gezegen yaklaşık kabul edilebilir sapmayı 10 kat azaltmak ortak süreyi 10 kat artırmak anlamına gelir$i$$P_i$$b$$P_i$$P$$n$

$$P \approx \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$ $10^{n-1}$8 gezegen için 10.000.000 faktör. Dolayısıyla, ne kadar sapmanın kabul edilebilir olduğunu da belirtmezseniz, ortak bir dönemi belirtmek anlamsızdır. Kabul edilebilir sapma 0'a düştüğünde ("mükemmel hizalama" elde etmek için), ortak nokta sonsuza yükselir. Bu, birkaç yorumcunun, dönemler orantılı olmadığı için ortak bir dönem olmadığını ifade eder.

Gezegen süreleri harogaston tarafından listelenen için, zaman 365.25 gün Julian yıllarda her yıl içinde ortak süresi yaklaşık yani ölçülür , yıl olarak da ölçülürse. en yakın güne , yıl ve yıl. Periyotlar en yakın 0.01 güne , ve yıl.$\prod_i P_i \approx 1.35\times10^6$$P_i$

$$P \approx \frac{1.35\times10^6}{b^7}$$ $b$$b \approx 0.00274$$P \approx 1.2\times10^{24}$$b \approx 2.74\times10^{-5}$$P \approx 1.2\times10^{38}$

Yukarıdaki formülün elde edilmesi aşağıdaki gibidir:

Bir ana ünite adedi ile gezegen dönemleri, tahmin : bir tam sayıdır. Daha sonra ortak dönem en çok tüm ürünlerine eşittir . Bu ürün hala birimleri cinsinden ölçülmektedir ; biz ile çarpın gerekir özgün birimlere geri dönmek için. Bu nedenle, ortak dönem yaklaşık$b$$P_i \approx p_i b$$p_i$$p_i$$b$$b$

$$P \approx b \prod_i p_i \approx b \prod_i \frac{P_i}{b} = b \frac{\prod_i P_i}{b^n} = \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$

Yukarıdaki türev, ortak faktörlere sahip olabileceğini dikkate almaz, böylece hizalama önerdiğinden daha erken gerçekleşir . Ancak, herhangi iki olsun veya olmasın ortak faktörler seçilen baz dönemi kuvvetlice bağlıdır etkili bir rasgele değişkendir ve küresel bağımlılığı etkilemeyecek şekilde, üzerinde .∏ i p i p i b P $p_i$$\prod_i p_i$$p_i$$b$$P$$b$

Kabul edilebilir sapmayı zaman yerine açı olarak ifade ederseniz , yukarıdaki formülde olduğu gibi kabul edilebilir sapmanın boyutuna bağlı cevaplar alacağınızı umuyorum.

Bkz http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html bir grafik için bir fonksiyonu olarak Pluto dahil olmak üzere tüm gezegen için.$P$$b$

DÜZENLE:

İşte açı açısından kabul edilebilir sapmaya sahip bir tahmin . Tüm gezegen genişliği boylam aralığında olmak isteyen birinci gezegenimizin boylam üzerinde merkezlenmiş ilk gezegenin boylamı özgürdür. Tüm gezegenlerin Güneş çevresindeki eş düzlemsel dairesel yörüngelerde aynı yönde hareket ettiğini varsayıyoruz.$δ$

Gezegenlerin dönemleri orantılı olmadığından, gezegenlerin tüm boylam kombinasyonları aynı olasılıkla meydana gelir. Olasılık zaman bir belirli bir anda gezegenimizin boylam bu genişliği segmenti içinde planet 1 boylam merkezli eşittir$q_i$$i > 1$$δ$

$$q_i = \frac{δ}{360°}$$

Gezegen 2'den olan gezegenlerin , gezegen 1'de merkezlenen aynı boylam parçasının içinde olma olasılığı$q$$n$

$$q = \prod_{i=2}^n q_i = \left( \frac{δ}{360°} \right)^{n-1}$$

Ortalama bir döneme olma olasılığını çevirmek için, tüm gezegenler (içinde hizalanmış ne kadar zaman için tahmin gereken ) hepsi yaslanıyor her zaman.$δ$

Karşılıklı hizalamalarını kaybeden ilk iki gezegen, gezegenlerin en hızlı ve en yavaş olanlarıdır. Sinodik periyotları , o zaman tekrar hizalamaya gelmeden önce aralığı boyunca hizalanırlar ve daha sonra bir süre hizalanmamış olurlar . Böylece, tüm gezegenlerin her bir hizalaması yaklaşık bir aralığı sürer ve bu hizalamaların hepsi birlikte tüm zamanların bir kısmını kapsar. Tüm gezegenlerin başka bir hizalamasının gerçekleştiği ortalama süre , olmalı , bu yüzden$P_*$

$$A = P_* \frac{δ}{360°}$$ $A$$q$$P$$qP = A$ $$P = \frac{A}{q} = P_* \left( \frac{360°}{δ} \right)^{n-2}$$

Daha sonra sadece iki gezegen varsa bakılmaksızın beklendiği gibi olduğunu,.$P = P_*$$δ$

Çok sayıda gezegen varsa, en hızlı gezegen en yavaş gezegenden çok daha hızlıdır, bu yüzden en hızlı gezegenin yörünge dönemine neredeyse eşittir.$P_*$

Burada da, ardışık hizalamalar arasındaki ortalama süre için tahmin , seçilen sapma sınırına çok duyarlıdır (eğer ikiden fazla gezegen varsa), bu yüzden ne belirttiğinizi de belirtmezseniz, böyle bir birleşik bir alıntı yapmak anlamsızdır. sapmaya izin verildi.

(İkiden fazla gezegen varsa) hepsinin bu (neredeyse) hizalamalarının düzenli aralıklarla gerçekleşmediğini hatırlamak da önemlidir.

Şimdi bazı rakamlar ekleyelim. 8 gezegenin de 1 boylam içinde hizalanmasını istiyorsanız, bu tür iki hizalama arasındaki ortalama süre kabaca en hızlı gezegenin yörüngesine eşittir . Güneş Sistemi için, Merkür yaklaşık 0.241 yıllık bir periyotla en hızlı gezegendir, bu nedenle 8 gezegenin iki boylamı ile 1 boylam arasında olan ortalama süresi yaklaşık yıldır.$P = 360^6 = 2.2×10^{15}$$5×10^{14}$

Zaten 10 derecelik boylamda bir hizalamadan memnunsanız, bu tür iki hizalama arasındaki ortalama süre yaklaşık 500 milyon yıl olan Merkür yörüngelerine eşittir.$P = 36^6 = 2.2×10^9$

Önümüzdeki 1000 yıl boyunca bekleyebileceğimiz en iyi uyum nedir? 1000 yıl yaklaşık 4150 Merkür yörüngesidir, bu nedenle , yani . Rastgele seçilen 1000 yıllık bir aralıkta, 8 gezegenin 90 ° 'lik bir segment içinde ortalama bir hizalaması vardır.$(360°/δ)^6 \approx 4150$$δ \approx 90°$