Küçük değişken kuvvetin gezegensel perihelion presyonu üzerine etkisinin belirlenmesi

Newton yerçekimi yasasına göre 2B düzlemde Güneş etrafında dönen bir gezegenin aspidlerin önleme oranı (kesinlikle bir önleme değil, aspid çizgisinin dönüşü) üzerindeki küçük değişken enine ivmenin etkisini belirlemek için analitik bir teknik var mı? ?

Bu etkileri tekrarlayan bir bilgisayar modelinde modelledim ve bu ölçümleri doğrulamak istiyorum.

Enine hızlanma formülü

$A t = (K / c^{2}) * V r * V t * A r .$ $At = (K/c^2)*Vr*Vt * Ar.$

Nerede:-

c ışık hızıdır,

K, 0 ve +/- 3 arasında bir sabittir, öyle ki . $K/(c^2) << 1$

Ar, Güneş'in Newton'un yerçekimi etkisinden dolayı gezegenin Güneşe doğru ivmelenmesidir ( ). $Ar = GM/r^2$

Vr, Güneş'e göre gezegen hızının radyal bileşenidir (+ = Güneş'ten uzaklaşan hareket)

Vt, Güneş'e göre gezegen hızının enine bileşenidir (+ = yörünge yolu boyunca gezegenin ileri hareketinin yönü). Vektörel Vt = V - Vr, burada V, Güneş'e göre gezegenin toplam anlık hız vektörüdür.

Gezegenin kütlesinin Güneş'e göre küçük olduğunu varsayın

Sistemde başka hiçbir organ yok

Tüm hareketler ve ivmeler yörüngenin iki boyutlu düzlemiyle sınırlıdır.

GÜNCELLEME

Bunun benim için ilginç olmasının nedeni, bilgisayar modelimdeki K = +3 değerinin, Genel Görelilik tarafından tahmin edilenlerin yaklaşık% 1'inde ve astronomlar tarafından gözlemlenenler (Le Verrier, Newcomb tarafından güncellenmiştir).

Formula için (Einstein 1915) dönme periapse GR türevi (yörüngede radyan) http://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession

ω = 24. π^{3} . a^{2} . T^{- 2} . c^{- 2} . (1 - e^{2})^{- 1}

$\boldsymbol{\omega}=24.\pi^3.a^2.T^{-2}.c^{-2}.(1-e^2)^{-1}$

GÜNCELLEME 4

Walter'ın cevabını kabul ettim. Sadece orijinal soruyu cevaplamakla kalmadı (bir teknik var mı??) bana göre) aslında Einstein 1915 formülüne eşdeğerdir.

Walter Özetinden (aşağıdaki Walter cevabında): -

: (birinci dereceden peturbation analizinden) yarı ana eksen ve eksantriklik değişmez, ancak periapsin yönü yörünge düzleminde hızında döner yörünge sıklığı ve bir ile yarı-büyük eksene. ( ) bunun (Einstein 1915 tarafından verilen) sıralamasındaki genel görelilik (GR) oranı ile aynı olduğunu .

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

gravity eccentric-orbit

— steveOw
kaynak

Hala bir cevap mı arıyorsunuz?

— Walter

@Walter. Evet benim. Benzer bir soruyu physics.stackexchange.com/questions/123685/… adresinde sordum, ancak henüz kesin bir yanıt alınmadı.

— steveOw

@Walter. Ayrıca math.stackexchange.com/questions/866836/… ' da sordum .

— steveOw

Evet, sınırında geçerli yaklaşık analitik yöntemler (pertürbasyon teorisi) . Belki sorunuzu biraz açıklığa kavuşturabilirsiniz. Enine ivmenin yönü nedir (anlık hıza dik anlamına gelen 'enine' anlıyorum, ancak ivmenin yörünge düzleminde mi yoksa dik veya karışım mı olduğu açık değil).

K ≪ 1

$K\ll1$

— Walter

Burada çapraz hızlanma radyal ivme ile orantılıdır ve: matematik (ve fizik) burada sorunuza arasında bir fark yoktur boyutsuz bir sayıdır, orada radyal ivme enine ivme üzerinde hiçbir etkisi yoktur ve bir olmalı hızlanma (bir 'sayı' hakkında konuşsanız da).

K

$K$

K

$K$

— Walter

Pertürbasyon teorisini kullanmak isteyebilirsiniz . Bu sadece yaklaşık bir cevap verir , ancak analitik tedaviye izin verir. Kuvvetiniz, Kepleri eliptik yörüngesine küçük bir pertürbasyon olarak kabul edilir ve sonuçta ortaya çıkan hareket denklemleri, kuvvetlerinde genişler . Doğrusal pertürbasyon teorisi için, sadece doğrusal terimler korunur. Bu sadece perturbasyonun bozulmamış orijinal yörünge boyunca bütünleşmesine yol açar. Gücünüzü bir vektör olarak yazarken, sinir bozucu ivme ile radyal hız ( ) ve $K$ $K$

a = K \frac{G M}{r^{2} c^{2}} v_{r} v_{t}

$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$

v_{r} = v \cdot \hat{r}

$v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$

v \equiv \dot{r}

$\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$

v_{t} = (v - \hat{r} (v \cdot \hat{r}))

$\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$ hızın dönme bileşeni ( tam hız eksi radyal hız). Burada, yukarıdaki nokta bir zaman türevini ve birim vektörü bir şapka belirtir.

Şimdi, ' etki ' ile ne demek istediğinize bağlı . Yörünge semimajor ekseni , eksantriklik ve periapse yönündeki değişiklikleri inceleyelim. $a$ $e$

İçin aşağıdaki sonuçlarını özetler : yarı-büyük eksene ve dış merkezli değişmez, ancak oran yörüngede düzleminde periapse döndükçe yönünde yörünge sıklığı ve bir ile yarı-büyük eksene. ( ) bunun (genel Einstein 1915 tarafından verilen, ancak orijinal soruda belirtilmeyen ) sıralamasındaki genel görelilik (GR) oranına .

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

yarı eksen değişimi

İlgili kaynaktan ile ( orbital enerji) biz değişim sahip harici bağlı (Keplerian olmayan) hızlanma ekleme ( açısal momentum vektörü ), Herhangi bir işlevi için yörünge ortalama (aşağıya bakın), . $a=-GM/2E$ $E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$ $a$

\dot{a} = \frac{2 a^{2}}{G M} v \cdot a .

$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$

a

$\boldsymbol{a}$

v \cdot v_{t} = h^{2} / r^{2}

$\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$

h \equiv r \land v

$\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$

\dot{a} = \frac{2 a^{2} K h^{2}}{c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{4}} .

$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = 0

$\langle v_r f(r)\rangle=0$

f

$f$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

dışmerkezlilik değişimi

Kaynaktan , sürekli olarak olduğunu zaten biliyoruz , bu yüzden sadece ilk terimi düşünmeliyiz. Dolayısıyla, burada kimliğini kullandım ve gerçek $\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$

e \dot{e} = - \frac{h \cdot \dot{h}}{G M a} + \frac{h^{2} \dot{a}}{2 G M a^{2}} .

$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

e \dot{e} = - \frac{(r \land v) \cdot (r \land a)}{G M a} = - \frac{r^{2} v \cdot a}{G M a} = - \frac{K h^{2}}{a c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{2}},

$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$

(a \land b) \cdot (c \land d) = a \cdot c b \cdot d - a \cdot d b \cdot c

$(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$

r \cdot a_{p} = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$ . Yine ve dolayısıyla .

⟨ v_{r} / r^{2} ⟩ = 0

$\langle v_r/r^2\rangle=0$

⟨ \dot{e} ⟩ = 0

$\langle\dot{e}\rangle=0$

periapse yönünün değişmesi

Dışmerkezlik vektörü noktaları periapse yönünde (ağırlık merkezinden) sahip büyüklük , ve Kepleri hareketi altında korunur (bütün bunları bir egzersiz olarak doğrulayın!). Bu tanımdan, dış ivmesi $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$ $e$

\dot{e} = \frac{a \land (r \land v) + v \land (r \land a)}{G M} = \frac{2 (v \cdot a) r - (r \cdot v) a}{G M} = \frac{2 K}{c^{2}} \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{K}{c^{2}} \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r}

$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$ burada ve gerçeği . Bu ifadenin yörünge ortalamaları aşağıdaki ekte ele alınmıştır. Sonunda her şeyi bir araya getirirsek, ile [ tekrar düzeltildi ] Bu yörünge düzleminde açısal frekans. Özellikle

a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

$\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

r \cdot a = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$

\dot{e} = ω \land e

$\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$

ω = Ω K \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} (1 - e^{2})^{- 1} \hat{h} .

$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$

ω = | ω |

$\omega=|\boldsymbol{\omega}|$

⟨ e \dot{e} ⟩ = ⟨ e \cdot \dot{e} ⟩ = 0

$\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$ önceki bulgularımızla uyumlu olarak.

Birinci dereceden pertürbasyon teorisini kullandığımız için bu sonuçların sadece sınırında kesinlikle doğru olduğunu . Bununla birlikte, ikinci dereceden pertürbasyon teorisinde ve / veya değişebilir. Sayısal denemelerinizde, ve yörünge ortalamalı değişikliklerinin, sıfır veya düzensizliği genliği ile doğrusaldan daha güçlü olduğunu bulmalısınız . $K(v_c/c)^2\to0$ $a$ $e$ $a$ $e$ $K$

Yasal Uyarı Cebirin doğru olduğuna dair bir garanti yoktur. Kontrol et!

Ek: yörünge ortalamaları

Bir abitrary (ancak bütünleştirilebilir) fonksiyonuna sahip yörünge ortalamaları, herhangi bir periyodik yörünge türü için doğrudan hesaplanabilir. Let arasında İlkel olarak , yani : yörünge ortalama ile yörünge dönemi. $v_rf(r)$ $f(r)$ $F(r)$ $f(r)$ $F'\!=f$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{r} (t) f (r (t)) d t = \frac{1}{T} {[F (r (t))]}_{0}^{T} = 0

$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$

T

$T$

için gereken yörünge ortalamaları için biraz daha derine inmeliyiz. Keplerian eliptik bir yörünge için eksantriklik vektörü ve ve a dik bir vektör . Burada, ortalama sapma ile ilgilidir anomali eksantrik olduğu ile öyle ki $\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$

r = a ((\cos η - e) \hat{e} + \sqrt{1 - e^{2}} \sin η \hat{k}) and r = a (1 - e \cos η)

$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$

e

$\boldsymbol{e}$

\hat{k} \equiv \hat{h} \land \hat{e}

$\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$

e

$\boldsymbol{e}$

h

$\boldsymbol{h}$

η

$\eta$

ℓ

$\ell$

ℓ = η - e \sin η,

$\ell=\eta-e\sin\eta,$

d ℓ = (1 - e \cos η) d η

$\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$ ve bir yörünge ortalaması un zaman türevini ( orbital frekansına dikkat ederek) anlık (sabit olmayan) orbital hız burada , semimajor ekseni ile dairesel yörüngenin hızı . Bundan, radyal hızı buluyoruz

⟨ \cdot ⟩ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot d ℓ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot (1 - e \cos η) d η .

$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$

\dot{ℓ} = Ω = \sqrt{G M / a^{3}}

$\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$

r

$\boldsymbol{r}$

v = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \cos η \hat{k} - \sin η \hat{e}}{1 - e \cos η}

$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$

v_{c} \equiv Ω a = \sqrt{G M / a}

$v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$

a

$a$

v_{r} = \hat{r} \cdot v = v_{c} e \sin η (1 - e \cos η)^{- 1}

$v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$ ve dönme hızı

v_{t} = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} (\cos η - e) \hat{k} - (1 - e^{2}) \sin η \hat{e}}{(1 - e \cos η)^{2}} .

$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$

Bunlarla, [ tekrar düzeltildi ] özellikle yönündeki bileşenler sıfıra ortalama. Böylece [ tekrar düzeltildi ]

⟨ \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e (1 - e^{2})^{3 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = \frac{Ω v_{c}^{2} e}{2 (1 - e^{2})} \hat{k} ⟨ \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η (\cos η - e)}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = 0,

$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$

\hat{e}

$\hat{\boldsymbol{e}}$

⟨ 2 \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = \frac{Ω v_{c}^{2} e \hat{k}}{(1 - e^{2})}

$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$

— Walter
kaynak

Yorumlar uzun tartışmalar için değildir; bu görüşme sohbete taşındı .

— called2voyage