Bir aynakol dișlisi üzerindeki diş sayısını bilmek doğru bir çap belirleyebilir miyiz?

Bir aynakol dişlisi, n'nin diş sayısı olduğu n taraflı düzenli bir çokgendir . Poligonun yan uzunluğu s , her aynakol dişinin uçtan uca olan mesafesidir.

Normal bir çokgenin yarıçapı için formül :

_{(kaynak: mathopenref.com )}

Yukarıda zenbike en 12.75mm kullanarak s , biz çok yakın onun yakınlaştırılması için çap, yarıçap için veya 215.22mm için 107.61 olsun.

İki formülün karşılaştırılması, beklendiği gibi uzunluk teriminin ortadan kaldırılabileceğini gösterir. Bu bizi şöyle bırakır:

1 / sin ( pi / n ) ve n / pi

Büyük n için , bu terimler yakınsar ve n = 53 olduğunda sadece .12mm hata verir . N küçüldükçe biraz daha büyük , n = 11 için 0,64 mm.

Tüm pratik amaçlar için, sadece s * n / pi kullanırım , karşılaşacağınız en küçük dişli için bile bir milimetre içinde olacaktır.

Zincirin eğimini (çoğu bisiklet için standart) ve diş sayısını biliyorsanız, daireyi (ve n-gon) yalnızca pim merkezlerinden tam olarak tanımlayabilirsiniz . Matematik formüllerini metinle okunabilir bir şekilde yapmak için elimden geleni yapacağım, ancak dört dairenin / n-gons'un her birini tam olarak açıklayacağım:

İzin Vermek:

n = diş sayısı

L = zincir aralığı (bağlantı uzunluğu) (çoğu bisiklet için 12,7 mm)

Vadi, silindir ve diş üstü ölçümleri için aşağıya bakın. Diş üstleri üreticileri arasında değişebilir ve bu Not edecek halkanın ömrü boyunca değişir. Alttaki alternatif yöntem, muhtemelen çerçeve açıklığı için kullanılacak en kolay yöntemdir.

Zincirin perdesini bildiğiniz için (1/2 "veya 12.7mm tipik olarak bir bisiklette kullanılan 40 serisi bir zincirdir), zincir pimleri düzenli bir n-gon (eşit uzunlukta n tarafı olan bir çokgen) oluşturur Bu n-gon'un çevresi için formül oldukça basittir (aşağıda) ve çoğu yaklaşım için iyi olacaktır.Bunun da etrafına sarılacak zincir uzunluğuna eşit olduğuna dikkat edin. halka (zincir daireyi değil n-gon'u izler).

Pim merkezleri tarafından yapılan n-gon çevresi

N-gon çevresi = L * n = 12,7 * n mm

Bununla birlikte, çemberi pim merkezlerinden tanımlamak tamamen doğru değildir . Daha doğru formüller aşağıdadır:

Pim merkezlerinden daire içine alma

çevre = pi * L / (günah (180 / n)) = 39.8982 / (günah (180 / n)) mm

yarıçap = L / (2 sin (180 / n)) = 6,35 / sin (180 / n) mm = 'pcRad' (pim merkez yarıçapı)

çap = L / günah (180 / n) = 12,7 / günah (180 / n) mm = 'pcD' (pim merkez çapı)

Şimdi, ilgili iki çevreyi / n-gons'u tanımlamak için ek bilgiye ihtiyacımız olacak:

Vadi tabanları ve makaralı üst kısımlar için, pim etrafındaki zincir makarasının yarıçapını veya çapını bilmemiz gerekir. Http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain'e göre , 40 serisi bir zincir, 0.312 "(7.92mm) bir silindir çapına sahiptir. Pim merkezinden vadi tabanına olan mesafe yarıçapı olduğundan rulo:

Vadi tabanları hakkında daire / n-gon

rRad = silindir yarıçapı (çoğu bisiklet için 3,96 mm)

Vadi tabanlarının n-gon çevresi = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3,96) * günah (180 / n) mm

floorRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3,96 mm

zemin Çapı = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7.92 mm

Zincir makaralarının üst kısımlarında daire / n-gon

Makara üstlerinin n-gon çevresi = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3,96) * günah (180 / n) mm

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3.96 mm

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7.92 mm

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7,92) mm

Şimdi, son çember / n-gon'un tanımlaması için, pim merkezlerinin üzerindeki diş yüksekliğine ihtiyacımız var. Bunun yeni bir zincir halkası üzerinde pozitif ve yıpranmış bir halka üzerinde negatif olmasını beklerim:

Diş uçlarının daire / n-gon

t = pim merkezlerinin üzerindeki diş ucu yüksekliği (aşağıda ise negatif)

N-gon diş uçlarının çevresi = 2 * n * (pcRad + t) * günah (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

Alternatif olarak, bu hesaplamayı biraz daha kolay hale getirmek için (aşınmış zincir halkasında biraz daha az doğru), kendi bireysel diş aralığınızı ölçebilirsiniz. İdeal olarak zincir adımından biraz daha uzun olurdu, ancak zincir aşındıkça değişecektir:

Diş uçlarının daire / n-gon'u - Alternatif

Boşluk = diş uçları arasındaki ortalama mesafe

N-gon diş uçlarının çevresi = n * t

tipRadius = tSpacing / (2 günah (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tYazılım / günah (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * t Boşluk / (günah (180 / n))

DÜZENLE:

Ben math.se bu soru gönderdiniz ve got ilginç bir yanıt bisiklet dünyası için pratik bir yaklaşım olarak benim temelde daha doğru matematiksel model olarak Lantius' cevabı onaylar, ve.

Sadece diş sayısı ile, hayır.

Ancak diş sayısı ve kullanılan zincir halkası markası için zinciri eşleştirmek için her dişin uçtan uca gerekli aralık verildiğinde, çevreyi kolayca belirleyebilirsiniz.

Çevresi ile çapı belirlemek basit bir matematiktir.

Çapı Pi'ye bölün (3.14159, 5. ondalığa)

C = D / 3.14159

Diş sayısı 53 ve aralık 12,75 mm ise, 675,75 milimetre çevre vardır.

675,75 milimetre bölü 3,14159, 215,1 milimetre çapındadır. Dönüştürülmüş ve 2 yere yuvarlanmış, 8.46 inç.

53 diş Shimano zincir halkasının çapını ölçtüm ve 8.51 inç. Bu yüzden matematiğimin ölçümlerimdeki toleranslar kadar doğru olması gerektiğine inanıyorum.