Böyle kaç pozisyon var? (satranç / matematik şah-mat bulmaca)

Bu tür bir konumla ilgileniyorum:

Tahtada sadece 4 adet var. Beyazlar önce giderse, tek bir hamlede şah mat edebilirler. Eğer Siyahlar önce giderse, tek hamlede mat yapabilirler. Örneğin:

Soru şudur: Bu kadar kaç pozisyon var?

3 ana pozisyon buldum:

Her biri bize 6 pozisyon daha veriyor. Kara Kraliçe'nin başlangıç ​​pozisyonunu 6 kareye daha taşıyabiliriz. 21 temel pozisyonumuz var.

Başka temel pozisyonlar var mı?

Her temel pozisyon için şunları yapabiliriz:

1) anahtar rengi x2

2) Tahtayı x4 döndürün

3) ayna konumu x2

Yani bir temel konum 2x4x2 = 16 konum üretir. Ve son cevap: 16x21 = 336 gibi pozisyon var.

Bu doğru mu?

İkinci temel konumunuz, aşağıdaki şema ile belirtilen, daha önce verdiğiniz değerlerin ötesinde 4 varyant daha sağlar:

Bu 25 için "temel pozisyonlar" için taksitli yapar. Bu ekleme liste kapsamlı olup olmadığını tamamen emin değilim (öyle olduğunu düşünüyorum olsa da).

Her durumda, temel pozisyon sayısı ne olursa olsun, oradan toplam pozisyon sayısını tahmin etme (renk anahtarı için x2 ve tahtanın dönüşümleri için x8) doğrudur, çünkü satranç tahtasının simetri grubu gerçekten de siparişe sahiptir 8 ait p.334 doğruladı olarak bu bölümde gelen El Kitabı Kısıtı Programlama örneğin. (Yine de burada fazla sayma konusunda dikkatli olmak gerekir; aşağıya bakın.) Şu anda cevabın 25 x 16 = 400 olduğuna inanıyorum.

Bu matematiksel yazımı ekliyorum çünkü profilinizden daha fazla matematik çalışması yapmakla ilgilendiğinizi görüyorum. Burada zaten farkında olmadığınız hiçbir şey söylemiyor olabilirim, ama yine de gidiyor.

Tahtanın farklı simetrileri altında aynı olacak bazı satranç pozisyonları olduğunu unutmayın. Örneğin, a1-h8 diyagonalini yansıtma eylemini düşünün. Tahtanın simetrisi genellikle belirli bir konumu değiştirir, örn.

olur

Ama elbette bazı pozisyonlar (yani sadece a1-h8 diyagonalinde parçaları olan konumlar) bu simetri altında değişmez, örneğin konum

biz bu diyagonal boyunca yansırsak değişmeden kalır.

Bu tür davranışlar nedeniyle, genellikle bu tür sayma probleminde fazla saymamaya dikkat etmek gerekir. Sorununuz için bu, temel konumlarınızdan hiçbirinin (kimlik dışı) simetrilerin hiçbirinde kendini tekrarlamadığından emin olmaktır, böylece temel konum sayısından toplam konum sayısı elde ederken "x 16" fazla sayım. Mevcut durumda, temel konumlarınız, hiçbirinin bu simetriler altında tekrarlanmayacağı kadar sezgisel olarak açık olacak kadar karmaşık / asimetriktir, bu yüzden endişelenecek bir şey yoktur, ancak matematikte genellikle bir şeylerin "sezgisel olarak açık" olduğu durumlarda hatalardan en çok endişelenmek. (Aslında, bir matematiksel kanıtta hata bulmak istiyorsanız, "Açıktır ki ..." yazan herhangi bir yerden başlayın.)