Infinite Serisinin bu videosundan ilham alındı .

Giriş

Pi, çevrenin bir dairenin çapına oranı olarak tanımlanmaktadır. Fakat bir daire nasıl tanımlanır? Genellikle bir daire, merkez noktasına sabit mesafeli noktalar olarak tanımlanır (merkezin açık olduğunu varsayalım (0,0)). Bir sonraki soru şudur: Mesafeyi nasıl tanımlarız ? Aşağıda, farklı mesafeler kavramlarını düşünüyoruz ( Lp-normlar tarafından uyarıldı):

Bir norm verildiğinde (= uzunluğu ölçen bir şey ) aşağıdaki gibi kolayca bir mesafe (= iki nokta arasındaki mesafe) oluşturabiliriz:

dist(A,B) := norm (A-B)

Öklid normuna göre:

norm((x,y)) = (x^2 + y^2)^(1/2)

Buna L2-normu da denir . Diğer Lp-normları2 , yukarıdaki formüldeki 1 ile sonsuz arasındaki diğer değerler ile değiştirilerek oluşturulur :

norm_p((x,y)) = (|x|^p + |y|^p)^(1/p)

Bu farklı normlar için birim daireler oldukça belirgin şekillere sahiptir:

Meydan okuma

A göz önüne alındığında p >= 1, çevrenin bir Lp dairenin çapına oranını Lp-norm açısından dört anlamlı rakamın kesinliği ile hesaplayın.

testcases

Bunu , norm için olduğu kadar aynı orana p,qsahip 1 = 1/p + 1/qolduğumuz için kullanabiliriz . Ayrıca , oran minimumdur ve 4 oranını alırsak, oranlar her zaman ve arasındadır .LpLqp = q = 2p = 1, q = infinitypi4

p   or  q            ratio
1       infinity     4
2       2            3.141592
1.623   2.60513      3.200
1.5     3            3.25976
4       1.33333      3.39693

Python + scipy, 92 bayt

from scipy.integrate import*
lambda p:2/p*quad(lambda x:(x/x**p+(1-x)**(1-p))**(1/p),0,1)[0]

Formül bu matematikten geliyor .

MATL , 31 bayt

0:1e-3:1lyG^-lG/^v!d|G^!slG/^sE

Çevrimiçi deneyin! Veya tüm test durumlarını doğrulayın .

açıklama

Bu , 1001 noktadan örneklenen birim çemberin dörtte birinin x , y koordinatlarını x 0.001 ile oluşturur . Çemberin çeyreğinin uzunluğu, bu noktalardan geçen poligonal çizginin uzunluğu ile yaklaşık olarak hesaplanır; yani, 1000 segmentin uzunluklarının toplamıdır. Uzunluk elbette p-norm'a göre hesaplanır . Sonucu 2 ile çarpmak, yarım dairenin yaklaşık uzunluğunu verir, yani pi.

0:1e-3:1   % Push [0 0.001 0.002 ... 0.999 1]. These are the x coordinates of
           % the vertices of the polygonal line that will approximate a quarter
           % of the unit circle
l          % Push 1
y          % Duplicate [0 0.001 0.002 ... 0.999 1] onto the top of the stack.
G          % Push input, p
^          % Element-wise power: gives [0^p 0.001^p ... 1^p]
-          % Element-wise subtract from 1: gives [1-0^p 1-0.001^p ... 1-1^p]
lG/        % Push 1, push p, divide: gives 1/p
^          % Element-wise power: gives [(1-0^p)^(1/p) (1-0.001^p)^(1/p) ...
           % ... (1-1^p)^(1/p)]. These are the y coordinates of the vertices
           % of the polygonal line
v          % Concatenate vertically into a 2×1001 matrix. The first row contains
           % the x coordinates and the second row contains the y coordinates
!          % Transpose
d|         % Compute consecutive differences down each column. This gives a
           % 1000×2 matrix with the x and y increments of each segment. These
           % increments will be referred to as Δx, Δy
G          % Push p
^          % Element-wise power
!          % Transpose
s          % Sum of each column. This gives a 1×1000 vector containing
           % (Δx)^p+(Δy)^p for each segment
lG/        % Push 1/p
^          % Element-wise power. This gives a 1×1000 vector containing 
           % ((Δx)^p+(Δy)^p)^(1/p) for each segment, that is, the length of 
           % each segment according to p-norm
s          % Sum the lenghts of all segments. This approximates the length of
           % a quarter of the unit circle
E          % Multiply by 2. This gives the length of half unit circle, that is,
           % pi. Implicitly display

Mathematica, 49 46 bayt

^{Halep nedeniyle 3 bayt kurtarıldı .}

2NIntegrate[(1+(a^-#-1)^(1-#))^(1/#),{a,0,1}]&

Anonim işlev Girdi olarak bir sayı alır ve çıktı olarak bir sayı döndürür.

PARI / GP, 48 43 bayt

@ Orlp formülü bulduktan sonra kolaydır ve @ alephalpha'nın sürümü 5 bayt kazandırır:

p->2*intnum(u=0,1,(1+(u^-p-1)^(1-p))^(1/p))

Biraz yararlı bir şeyler eklemek piçin, alacağımız şeyi hesaplayalım 3.2:

? f=p->2*intnum(u=0,1,(1+(u^-p-1)^(1-p))^(1/p));
? solve(p=1,2,f(p)-3.2)
%2 = 1.623002382384469009676324702

Doğru kullanım

Kod çok daha kesin meydan taleplerine daha sonuçlar verirken, kolayca çok geliştirilebilir: Biz üst entegrasyon sınırını değiştirirseniz 1ile [1,1/p-1]daha sonra tüm rakamları gösterilmiştir (manuel aramalar tekillik üs neyi vererek) f(2)ile kabul Pi. Hassasiyeti 100'e (tür \p100) yükseltirsek, bu hala geçerlidir .

Ancak, bu değişiklikten sonra solvehesaplama artık işe yaramadı. Davayı açıkça ele almak için iç terim u=0değişti ve ayrıca daha yeni bir PARI sürümü ve 64 bit olan (daha yüksek bir varsayılan hassasiyet anlamına gelen) farklı bir bilgisayara geçtim.

İşte, pdeğerin iyileştirilmiş hesaplaması Pi=3.2ve gerçek Pi'ye bir bakalım:

? f=p->2*intnum(u=0,[1,1/p-1],if(u,(1+(u^-p-1)^(1-p))^(1/p),0));
? f(2)
%2 = 3.1415926535897932384626433832795028842
? Pi
%3 = 3.1415926535897932384626433832795028842
? solve(p=1,2,f(p)-3.2)
%4 = 1.6230023823844690096763253745604419761

JavaScript (ES7), 80 bayt

Orlp'nin cevabına dayanarak . Bu JS uygulaması oldukça yavaştır. Daha i=1e-7hızlı bir yaklaşım için denemek isteyebilirsiniz (veya daha yüksek).

Not : Bu temelde yalnızca Chrome ve Edge için tasarlanmıştır. Math.pow()Firefox 50.1'de kullanılan eşdeğer bir ES6 sürümü çok daha yavaş görünüyor .

Düzenleme : Neil'e göre, bu Firefox 52'de de iyi çalışmalı.

f=
p=>{for(i=5e-8,s=x=0;(x+=i)<1;)s+=i*(x**(1-p)+(1-x)**(1-p))**(1/p);return 2/p*s}

console.log(f(1).toFixed(3))
console.log(f(2).toFixed(3))
console.log(f(1.623).toFixed(3))