Negatif olmayan bir tamsayı verildiğinde , Euler numarasını verin ( OEIS A122045 ). $n ,$ $n^{\text{th}}$

Tüm tek indeksli Euler sayılarıÇift indeksli Euler sayıları aşağıdaki formülle hesaplanabilir ( hayali birime karşılık gelir): $0 .$ $i \equiv \sqrt{-1}$

E_{2 n} = ben Σ_{k = 1}^{2 n + 1} Σ_{j = 0}^{k} (\begin{matrix} k \\ j \end{matrix}) \frac{{(- 1)}^{j} {(k - 2 j)}^{2 n + 1}}{2^{k} {ben}^{k} k} .

$E_{2n} = i \sum_{k=1}^{2n+1}{ \sum_{j=0}^{k}{ \left(\begin{array}{c}k \\ j \end{array}\right) \frac{{\left(-1\right)}^{j} {\left(k-2j\right)}^{2n+1}}{2^k i^k k} } } \,.$

kurallar

$n$ , negatif olmayan bir tamsayı olacak, böylece Euler numarası, diliniz için temsil edilebilir tam sayı aralığında olacak. $n^{\text{th}}$

Test Kılıfları

0 -> 1
1 -> 0
2 -> -1
3 -> 0
6 -> -61
10 -> -50521
20 -> 370371188237525

— Mego
kaynak

1

@ donbright Bir parantez kümesini özlüyorsunuz : wolframalpha.com/input/… - bununla birlikte, iki summan da eklendiğinde -i/2elde edilen verimdir -i. Bunu itoplamın dışına çarpın ve anlayın 1.

— Mego

18

Mathematica, 6 bayt

EulerE

-öksürük-

— Greg Martin
kaynak

9

Başlığı gördüğümde hemen "Kesinlikle Mathematica'nın bunun için bir yerleşimi olmalı" diye düşündüm.

— HyperNeutrino,

12

Bu hemen hemen her başlık için geçerlidir ... resimlerdeki keçileri

— Luis Mendo

GoatImageQtakdir edilmez

— Greg Martin

1

Bunu açıklayabilir misin? Düzenleme: Bu bir şakaydı.

— Magic Octopus Urn

13

J , 10 bayt

(1%6&o.)t:

Çevrimiçi deneyin!

Üstel üretim fonksiyonunun sech (x) tanımını kullanır.

— mil
kaynak

J, üretim fonksiyonunu elde etmek için sembolik analiz yapar mı? N = 30 için bile kayan nokta hataları ile karşılaşmaz.

— orlp

@ orlp Dahili olarak ne yaptığından emin değilim, ancak J, bir fiil alt kümesi için Taylor serisini bilir . Bu fiillerin bir kombinasyonunu kullanarak tanımlayabileceğiniz herhangi bir işlev , gf ve egf için nerede t.veya t:nerede geçerli olacaktır. Meraklı bir not, tan (x) 'in desteklenmediği, ancak sin (x) / cos (x)' in olduğudur.

— miller

12

Pari / GP , 32 bayt

n->n!*Vec(1/cosh(x+O(x^n++)))[n]

Çevrimiçi deneyin!

— alephalpha
kaynak

11

Akçaağaç, 5 bayt

euler

Yerleşikler için hurra?

— mil
kaynak

4

Matematiğin bir matematik problemi için çok ayrıntılı olduğu zamanları seviyorum ...

— theonlygusti

11

Maxima , 5 bayt / 42 bayt

Maxima yerleşik olarak bulunmaktadır:

euler

Çevrimiçi deneyin!

Aşağıdaki çözüm yerleşik olarak yukarıdan yapılmasını gerektirmez ve euler numaralarını ilk olarak tanımlayan formülü kullanır.

Biz temelde serisi genişletilmesi n'inci katsayısı arıyoruz 1/cosh(t) = sech(t)(en fazla n!)

f(n):=coeff(taylor(sech(x),x,0,n)*n!,x,n);

Çevrimiçi deneyin!

— flawr
kaynak

9

Mathematica, yerleşik, 18 bayt

@ Rahnema1 formülünü kullanarak :

2Im@PolyLog[-#,I]&

21 bayt:

Sech@x~D~{x,#}/.x->0&

— alephalpha
kaynak

5

Python 2.7, 46 bayt

Scipy kullanmak

from scipy.special import*
lambda n:euler(n)[n]

— hashcode55
kaynak

5

Perl 6 , 78 bayt

{(->*@E {1-sum @E».&{$_*2**(@E-1-$++)*[*](@E-$++^..@E)/[*] 1..$++}}...*)[$_]}

İteratif formülü buradan kullanır :

E_{n} = 1 - Σ_{k = 0}^{n - 1} [E_{k} \cdot 2^{(n - 1 - k)} \cdot (\binom{n}{k})]

$E_n = 1 - \sum_{k=0}^{n-1} \left[ E_k \cdot 2^{(n-1-k)} \cdot \binom{n}{k} \right]$

Nasıl çalışır

Genel yapı, sonsuz bir dizinin, tekrar tekrar çağrılan ve değişkendeki dizinin önceki tüm değerlerini alan bir ifade ile üretildiği bir lambdadır @Eve daha sonra bu dizilim, lambda argümanı ile dizine alınır:

{ ( -> *@E {    } ... * )[$_] }

Dizinin her adımı için çağrılan ifade:

1 - sum @E».&{              # 1 - ∑
    $_                      # Eₙ
    * 2**(@E - 1 - $++)     # 2ⁿ⁻ˡ⁻ᵏ
    * [*](@E - $++ ^.. @E)  # (n-k-1)·...·(n-1)·n
    / [*] 1..$++            # 1·2·...·k
}

— SML'ler
kaynak

4

Maxima, 29 bayt

z(n):=2*imagpart(li[-n](%i));

Çevrimiçi Deneyin!

Sıralı -nargümanla sıralı olarak , poliyokaritma fonksiyonunun iki katı hayali parçası i [1]

— rahnema1
kaynak

4

JavaScript (Node.js) , 46 45 bayt

F=(a,b=a)=>a?(b+~a)*F(--a,b-2)+F(a,b)*++b:+!b

Çevrimiçi deneyin!

$E_n$ $F(n, i)$ $-F(n,i)$ $n$ $F'(n,i)=(-1)^nF(n,i)$ $F$ $F'$

F^{'} (n, ben) = (ben - n - 1) F^{'} (n - 1, ben - 2) + (ben + 1) F^{'} (n - 1, ben)

$F'(n,i)=(i-n-1)F'(n-1,i-2)+(i+1)F'(n-1,i)$

JavaScript (Node.js) , 70 46 bayt

F=(a,b=a)=>a?-F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!b

Çevrimiçi deneyin!

Henüz JavaScript yanıtı bulamamış olduğum için şaşırdım, deneyeceğim.

$\mathrm{sech}(x)$

açıklama

$T^n:=\mathrm{tanh}^n(t)$ $S^n:=\mathrm{sech}^n(t)$

\frac{d^{n} S}{d t^{n}} = Σ_{ben = 0}^{n} F (n, ben) T^{n - ben} S^{ben + 1}

$\frac{d^nS}{dt^n}=\sum_{i=0}^nF(n,i)T^{n-i}S^{i+1}$

$\frac{dT}{dt}=S^2$ $\frac{dS}{dt}=-TS$

\begin{aligned} \frac{d}{d t} (T^{bir} S^{b}) & = bir T^{bir - 1} (S^{2}) (S^{b}) + b S^{b - 1} (- T S) (T^{bir}) \\ = bir T^{bir - 1} S^{b + 2} - b T^{bir + 1} S^{b} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{d}{dt}(T^aS^b)&=aT^{a-1}(S^2)(S^b)+bS^{b-1}(-TS)(T^a) \\ &=aT^{a-1}S^{b+2}-bT^{a+1}S^b \end{aligned} \end{equation}$

$b=i+1$ $a=n-i$

\begin{aligned} \frac{d}{d t} (T^{n - ben} S^{ben + 1}) & = (n - ben) T^{n - ben - 1} S^{ben + 3} - (ben + 1) T^{n - ben + 1} S^{ben + 1} \\ = (n - ben) T^{(n + 1) - (ben + 2)} S^{(ben + 2) + 1} - (ben + 1) T^{(n + 1) - ben} S^{ben + 1} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{d}{dt}(T^{n-i}S^{i+1})&=(n-i)T^{n-i-1}S^{i+3}-(i+1)T^{n-i+1}S^{i+1}\\ &=(n-i)T^{(n+1)-(i+2)}S^{(i+2)+1}-(i+1)T^{(n+1)-i}S^{i+1} \end{aligned} \end{equation}$

$F(n,i)$ $F(n+1,i+2)$ $F(n+1,i)$ $F(n,i)$ $F(n-1,i-2)$ $F(n-1,i)$

F (n, ben) = (n - ben + 1) F (n - 1, ben - 2) - (ben + 1) F (n - 1, ben)

$F(n,i)=(n-i+1)F(n-1,i-2)-(i+1)F(n-1,i)$

$F(0,0)=1$ $F(0,i)=0$ $i\neq 0$

Kodun ilgili kısmı a?-F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!b, yukarıdaki yineleme formülünü kullanarak tam olarak hesaplanıyor. İşte dağılım:

-F(--a,b)                // -F(n-1, i)                  [ a = n-1, b = i   ]
*++b                     // *(i+1)                      [ a = n-1, b = i+1 ]
+F(a,b-=3)               // +F(n-1, i-2)                [ a = n-1, b = i-2 ]
*(a-b)                   // *((n-1)-(i-2))              [ a = n-1, b = i-2 ]
                         // which is equivalent to *(n-i+1)

$T(0)=0$ $S(0)=1$ $E_n$ $S^{n+1}$ $\frac{d^nS}{dt^n}$ $F(n,n)$

$F(0,0)$ $F(n,i)=0$ $i<0$ $i$ $E_n=0$ $n$ $i$ $n$ $0\leq i\leq n$ $i=n+1$ $n-i+1=n-(n+1)+1=0$ $0\leq i\leq n$ $F(n,i)=0$ $i > n$

Uzantıları

Kod, üç ilgili diziyi daha hesaplamak için değiştirilebilir:

Teğet Numaralar (46 bayt)

F=(a,b=a)=>a?F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!~b

Secant Numaraları (45 bayt)

F=(a,b=a)=>a?F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!b

Euler Zikzak Numaraları (48 bayt)

F=(a,b=a)=>a?F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):!b+!~b

— Shieru Asakoto
kaynak

3

Befunge, 115 bayt

Bu sadece ilk 16 Euler sayısının (örneğin, E ₀ ila E ₁₅ ) kodlanmış bir setini destekler . Bunun ötesinde bir şey zaten 32-bit Befunge değerine sığmaz.

&:2%v
v@.0_2/:
_1.@v:-1
v:-1_1-.@
_5.@v:-1
v:-1_"="-.@
_"}$#"*+.@v:-1
8**-.@v:-1_"'PO"
"0h;"3_"A+y^"9*+**.@.-*8+*:*

Çevrimiçi deneyin!

Ayrıca, meydan okumadaki formülün eksiksiz bir uygulamasını da yaptım, ancak neredeyse iki katı boyutta ve 64-bit tercüman olmasına rağmen hala TIO'daki ilk 16 değerle sınırlı.

<v0p00+1&
v>1:>10p\00:>20p\>010g20g2*-00g1>-:30pv>\:
_$12 0g2%2*-*10g20g110g20g-240pv^1g03:_^*
>-#1:_!>\#<:#*_$40g:1-40p!#v_*\>0\0
@.$_^#`g00:<|!`g01::+1\+*/\<
+4%1-*/+\2+^>$$10g::2>\#<1#*-#2:#\_$*\1

Çevrimiçi deneyin!

Bu algoritmadaki problem, serideki ara değerlerin toplamdan çok daha erken taşmasıdır. 32 bitlik bir tercümanda sadece ilk 10 değeri idare edebilir (örn. E ₀ ila E ₉ ). Bidom kullanan tercümanlar çok daha iyisini yapmalıdır - PyFunge ve Befungee en az E _30'a kadar her ikisini de idare edebilir .

— James Holderness
kaynak

1

Python2, (rasyonel rasyonel), 153 bayt

from sympy import *
t=n+2 
print n,re(Add(*map(lambda (k,j):I**(k-2*j-1)*(k-2*j)**(n+1)*binomial(k,j)/(k*2**k),[(c/t+1,c%t) for c in range(0,t**2-t)])))

Bu çok yetersizdir ancak temel semy işlevlerini kullanmaya ve kayan noktalardan kaçınmaya çalışıyor. Beni yukarıda listelenen orijinal formüle göre ayarladığınız için teşekkürler @Mego. Tips'den Python'da golf oynamak için @ xnor'ın "iki döngüsünü birleştir" gibi bir şey kullanmaya çalıştım

— parlak değil
kaynak

1

import*Bir bayt kaydetmek için yapabilirsiniz (aradaki boşluğu kaldırabilirsiniz). Ayrıca, bir şekilde sayıyı bir girdi olarak almanız gerekir (girişin değişkende olduğunu varsayan snippet'lere izin verilmez).

— FlipTack

1

CJam (34 bayt)

{1a{_W%_,,.*0+(+W%\_,,:~.*.+}@*W=}

E (0) - E (19) yazdıran çevrimiçi demo . Bu anonim bir bloktur (fonksiyon).

Uygulama, Shieru Akasoto'nun yinelemesini ödünç alır ve bir kerede tüm satırları manipüle ederek daha CJam dostu bir tarzda yeniden yazar.

teşrih

{           e# Define a block
  1a        e#   Start with row 0: [1]
  {         e#   Loop...
    _W%     e#     Take a copy and reverse it
    _,,.*   e#     Multiply each element by its position
    0+(+    e#     Pop the 0 from the start and add two 0s to the end
    W%      e#     Reverse again, giving [0 0 (i-1)a_0 (i-2)a_1 ... a_{i-2}]
    \       e#     Go back to the other copy
    _,,:~.* e#     Multiply each element by -1 ... -i
    .+      e#     Add the two arrays
  }         e#
  @*        e#   Bring the input to the top to control the loop count
  W=        e#   Take the last element
}

— Peter Taylor
kaynak

1

Wolfram Dili (Mathematica) , 47 46 bayt

Herhangi bir özel işlevi kullanmadan:

e@0=1;e@n_:=-n!Sum[e[n-k]/k!/(n-k)!,{k,2,n,2}]

Çevrimiçi deneyin!

— Roma
kaynak

0

Aksiyom, 5 bayt

euler

OEIS A122045; bu 57 bayttır

g(n:NNI):INT==factorial(n)*coefficient(taylor(sech(x)),n)

test kodu ve sonuçları

(102) -> [[i,g(i)] for i in [0,1,2,3,6,10,20]]
   (102)
   [[0,1],[1,0],[2,- 1],[3,0],[6,- 61],[10,- 50521],[20,370371188237525]]

(103) -> [[i,euler(i)] for i in [0,1,2,3,6,10,20]]
   (103)
   [[0,1],[1,0],[2,- 1],[3,0],[6,- 61],[10,- 50521],[20,370371188237525]]

— RosLuP
kaynak

0

APL (NARS), 42 karakter, 84 bayt

E←{0≥w←⍵:1⋄1-+/{(⍵!w)×(2*w-1+⍵)×E⍵}¨¯1+⍳⍵}

"Smls" den gösterilen formülü izleyin, test edin:

Son dava, sonuç olarak büyük bir rasyonel döndürür çünkü 20x (büyük rasyonel 20/1) girerim ve 20.0 sanırım 20.0 64 bit yüzer ...

  E 20x
370371188237525

Yakında 0 gelirse daha hızlı olur, ancak biraz daha uzun olurdu (50 karakter):

  E←{0≥w←⍵:1⋄0≠2∣w:0⋄1-+/{(⍵!w)×(2*w-1+⍵)×E⍵}¨¯1+⍳⍵}
  E 30x
¯441543893249023104553682821

Söz konusu tanım kullanılırsa daha hızlı olur (ve biraz daha uzun 75 karakter olur):

  f←{0≥⍵:1⋄0≠2∣⍵:0⋄0J1×+/{+/⍵{⍺÷⍨(0J2*-⍺)×(⍵!⍺)×(¯1*⍵)×(⍺-2×⍵)*n}¨0..⍵}¨⍳n←1+⍵}
  f 0
1
  f 1
0
  f 3
0
  f 6
¯61J0 
  f 10
¯50521J¯8.890242766E¯9 
  f 10x
¯50521J0 
  f 20x
370371188237525J0 
  f 30x
¯441543893249023104553682821J0 
  f 40x
14851150718114980017877156781405826684425J0 
  f 400x
290652112822334583927483864434329346014178100708615375725038705263971249271772421890927613982905400870578615922728
  107805634246727371465484012302031163270328101126797841939707163099497536820702479746686714267778811263343861
  344990648676537202541289333151841575657340742634189439612727396128265918519683720901279100496205972446809988
  880945212776281115581267184426274778988681851866851641727953206090552901049158520028722201942987653512716826
  524150450130141785716436856286094614730637618087804268356432570627536028770886829651448516666994497921751407
  121752827492669601130599340120509192817404674513170334607613808215971646794552204048850269569900253391449524
  735072587185797183507854751762384660697046224773187826603393443429017928197076520780169871299768968112010396
  81980247383801787585348828625J0

Bunun üstündeki sonuç, sadece gerçek kısmı olan tek bir karmaşık sayıdır.

— RosLuP
kaynak

Euler Sayıları Çıktısı

kurallar

Test Kılıfları

Mathematica, 6 bayt

J , 10 bayt

Pari / GP , 32 bayt

Akçaağaç, 5 bayt

Maxima , 5 bayt / 42 bayt

Mathematica, yerleşik, 18 bayt

Python 2.7, 46 bayt

Perl 6 , 78 bayt

Nasıl çalışır

Maxima, 29 bayt

JavaScript (Node.js) , 46 45 bayt

JavaScript (Node.js) , 70 46 bayt

açıklama

Uzantıları

Befunge, 115 bayt

Python2, (rasyonel rasyonel), 153 bayt

CJam (34 bayt)

teşrih

Wolfram Dili (Mathematica) , 47 46 bayt

Aksiyom, 5 bayt

APL (NARS), 42 karakter, 84 bayt