Bu zorluk için tamsayılara f ve g olarak iki fonksiyon uygulamanız gerekir ; öyle ki f ∘ g kesinlikle azalan bir fonksiyondur, g ∘ f ise kesinlikle artan bir fonksiyondur. Başka bir deyişle, iki tamsayı a <b alırsanız , o zaman f (g (a))> f (g (b)) ve g (f (a)) <g (f (b)) . Her biri bir tamsayıya bir tamsayıya eşlemek zorunda olmaları dışında , f ve g üzerinde bireysel olarak herhangi bir kısıtlama yoktur .

Lütfen f ve g'nin kısa bir açıklamasını ve neden gerekli özelliğe sahip olduklarına dair bir argüman ekleyin .

^{Kredi: Bu meydan okuma, 2011 Romanya Matematik Ustası yarışmasında (aynı şeyi soran ancak tamsayılar yerine gerçek sayılara ilişkin) bir sorundan ilham aldı. Eğer gerçekten spoiler istiyorsanız, şimdi ne arayacağınızı biliyorsunuz.}

kurallar

• Bu meydan okumadaki "fonksiyon" kelimesi, bir tamsayıyı diğerine eşleme matematiksel anlamında kullanılmalıdır: iki program veya iki fonksiyon yazabilir ve her zamanki gibi girdi alma ve çıktı sağlama standart yöntemlerinden herhangi birini kullanabilirsiniz . Gerçek tamsayı değişkenleri yerine tamsayıların dize temsillerini kullanabilirsiniz, ancak girdi ve çıktı türleri aynı olmalıdır, böylece işlevler arasında türleri elle dönüştürmeden oluşturulabilir. Kavramsal olarak, f ve g'nin functions işlevi olması gerektiğine dikkat edin, bu nedenle aynı sayının iki farklı dize gösterimini veya bunun gibi bir şey kullanarak hile yapamazsınız.

• Unutmayın ki , isimleri kendi kendine veya tanımladığınız başka bir işlev için gerekli olmadıkça , işlevlerin adsız olabileceğini unutmayın . İşlevlerin birini veya her ikisini de isimlendirirseniz, aynı programda olduklarını varsayabilir, böylece uygulamalarında birbirlerine atıfta bulunabilirler (örneğin def f(x): return -g(x)Python'da).

• Her zamanki tamsayı taşması kuralları geçerlidir: çözümünüz, tüm tam sayıların varsayılan olarak sınırsız olduğu, ancak programınız uygulama nedeniyle uygulamada başarısız olursa, dilinizin varsayımsal (veya belki de gerçek) bir sürümünde rasgele büyük tam sayılarda çalışabilmelidir. Bu kadar büyük tamsayıları desteklememek, çözümü geçersiz kılmak değildir.

• Herhangi bir programlama dilini kullanabilirsiniz , ancak bu boşlukların varsayılan olarak yasak olduğunu unutmayın .

• Bu kod golf , yani puanınız her iki fonksiyonun bayt sayısının toplamıdır ve en kısa geçerli cevap kazanır.

Python, 68 karakter

f=lambda x:(1-x%2*2)*(2*x*x+(x<0))
g=lambda x:(1-x%2*2)*(2*x*x+(x>0))

f, negatif sayıları tek sayılara, pozitif sayıları çift sayılara ve hatta sayıları pozitif sayılara ve tek sayıları eksi sayılara eşleştirir, çıktı büyüklüğü giriş büyüklüğü ile kesinlikle artar.

g, aynı şekilde negatif sayıları çift sayılarla ve pozitif sayıları tek sayılarla eşleştirmesi dışında da yapar.

f ∘ g negatif → hatta → pozitif ve pozitif → tek → negatif olarak eşleştirir.
g ∘ f negatif → tek → negatif ve pozitif → çift → pozitif olarak eşler.

Bu nedenle f ve g istenen özelliklere sahiptir.

Python , 40 bayt

f=lambda x:x*(-1)**x
g=lambda x:3*f(x)+1

Çevrimiçi deneyin! Bazı çıktılar tam sayılara eşit olan değişkenlerdir çünkü (-1)**(-3)örneğin bir değişkendir .

Peter Taylor'ın fikirlerine dayanıyor . İşlev, ftek sayıları yok sayar ve hatta değişmeyenleri bırakır. İşlev gaynı şeyi yapar, ardından monotonik parite değiştirme haritasını uygular x -> 3*x + 1.

Yana f(f(x)) = x, biz var g(f(x)) = 3*f(f(x))+1 = 3*x+1artmaktadır.

Zira f(g(x)) = f(3*f(x)+1), fikir iç ve dış fifadelerden birinin işaretin tamamen düşmesidir.

• Hatta x, f(x) = xama garip f(3*x+1) = -3*x-1çünkü 3*x+1.
• Garip için x, f(x) = -xve f(-3*x+1) = -3*x+1çünkü -3*x+1hatta olduğunu.

Artık sadece çift ve tek girişlerin azalan bir şekilde araya girmesine ihtiyacımız var, çünkü -3*x±1bu, işaretlerin nasıl seçildiğine bakılmaksızın azaldığı için geçerli. Bu yüzden 3*gerekli.

Bir Haskell portu 25 bayttır:

f x=x*(-1)**x
g x=1+3*f x

Çevrimiçi deneyin!

CJam (17 bayt)

F işlevi ( FCJam yalnızca büyük harf adlarına izin verdiği için adlandırılmış):

{W1$2b,#*}:F

İşlev g (anonim):

{F2*}

Çevrimiçi demo

Bu, tartışmasız bir hata olan CJam'ın uygulama detayına güvenerek bir bayt tasarrufu sağlar: temel dönüşümler yaparken mutlak değer kullanır. 2b,bu nedenle, argümanının mutlak değerindeki bit sayısını verir, bu nedenle, mutlak değeri tek bir bit sayısına sahip olan sayıları kesin olarak reddeder. g f 'yi uygular ve sonra iki katına çıkar (bit sayısının paritesini değiştirir).

Yani f uygulayarak ve daha sonra g yaprakları değişmeden imzalamak ve çiftler, haritalama xiçin 2x. G uygulamak ve daha sonra f eşleştirmeyi yalnızca bir kez işaretini değiştirir ve çiftler xiçin -2x.

Pyth, 34 Bayt

Bu Python cevabımın doğrudan çevirisidir.

*-1*2%Q2+*2*QQ<Q0
*-1*2%Q2+*2*QQ>Q0