Yarı-yarı çarpanlarına ayırmak istiyoruz . Bu meydan okumanın amacı iki küçük Tamsayılardaki bulmaktır ve böyle böylece kolayca faktörlerini düşeriz izin trivially Fermat'ın yöntemiyle factorized edilebilir . $N$ $u$ $v$ $uvN$ $N$

Görev

Yarı yarı ve pozitif bir tamsayı verildiğinde , ve şöyle tanımlarız : $N$ $k$ $x$ $y$

x = ⌈ \sqrt{k N-} ⌉

$x=\lceil\sqrt{kN}\rceil$

y = x^{2} - k N-

$y=x^2-kN$

Adım # 1 - bulun $k$

Önce ihtiyaç en küçük olası değeri bulmak için öyle ki bir olan kare sayı ( aka mükemmel kare). $k$ $y$

Bu, kN'yi Fermat'ın çarpanlara ayırma yönteminin tek bir yinelemesiyle çarpanlarına izin verir . Daha somut olarak, bu hemen aşağıdakilere yol açar: $kN$

k N- = (x + \sqrt{y}) x (x - \sqrt{y})

$kN=(x+\sqrt{y})\times(x-\sqrt{y})$

(Güncelleme: bu sıra şimdi A316780 olarak yayınlandı )

Adım # 2 - Factorize $k$

Daha sonra ve olmak üzere iki pozitif tamsayıyı bulmalısınız : $u$ $v$

u v = k

$uv=k$

c u = x + \sqrt{y}

$cu=x+\sqrt{y}$

d v = x - \sqrt{y}

$dv=x-\sqrt{y}$

burada ve , başlıca faktörleridir . $c$ $d$ $N$

özet

Göreviniz, girdi olarak alan ve ve çıktılarını herhangi bir sırada ve makul bir formatta basan bir program veya işlev yazmaktır . $N$ $u$ $v$

Misal

En düşünelim $N = 199163$

Aşama 1

Olabildiğince az değer olan veren: $k$ $40$

x = ⌈ (\sqrt{40 x 199163}) ⌉ = 2823

$x = \lceil(\sqrt{40 \times 199163})\rceil = 2823$

y = 2823^{2} - 40 x 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^{2}

$y = 2823^2 - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^2$

k N- = (2823 + 53) x (2823 - 53)

$kN = (2823 + 53) \times (2823 - 53)$

k N- = 2876 x 2770

$kN = 2876 \times 2770$

Adım 2

Doğru çarpanlara olan çünkü: $k$ $k = 4 \times 10$

k N- = 2876 x 2770

$kN = 2876 \times 2770$

k N- = (719 x 4) x (277 x 10)

$kN = (719 \times 4) \times (277 \times 10)$

N- = 719 x 277

$N = 719 \times 277$

Dolayısıyla, doğru cevap ya ya da . $[ 4, 10 ]$ $[ 10, 4 ]$

kurallar

Yukarıda açıklanan iki adımı kesinlikle uygulamak gerekli değildir. Doğru ve değerlerini bulduğu sürece başka bir yöntem kullanmakta serbestsiniz . $u$ $v$
tüm değerlerini, işaretsiz bir tamsayının yerel maksimum boyutuna kadar desteklemelisiniz . $uvN$
Girdinin bir yarıçap olması garanti edilir.
Bu kod golf, bu yüzden bayttaki en kısa cevap kazanır.
Standart boşluklar yasaktır.

Test senaryoları

N          | k    | Output
-----------+------+------------
143        | 1    | [   1,  1 ]
2519       | 19   | [   1, 19 ]
199163     | 40   | [   4, 10 ]
660713     | 1    | [   1,  1 ]
4690243    | 45   | [   9,  5 ]
11755703   | 80   | [  40,  2 ]
35021027   | 287  | [   7, 41 ]
75450611   | 429  | [ 143,  3 ]
806373439  | 176  | [   8, 22 ]
1355814601 | 561  | [  17, 33 ]
3626291857 | 77   | [   7, 11 ]
6149223463 | 255  | [  17, 15 ]
6330897721 | 3256 | [  74, 44 ]

Örnek uygulama

Aşağıdaki pasajı olarak, fonksiyonu alan bir ungolfed uygulamasıdır giriş ve dönerken ve . $f$ $N$ $u$ $v$

$g$ $N$ $u$ $v$ $N$ $O(1)$

Kod snippet'ini göster

f = N => {
  for(k = 1;; k++) {
    x = Math.ceil(Math.sqrt(k * N));
    y = x * x - k * N;
    ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
    
    if(ySqrt * ySqrt == y) {
      p = x + ySqrt;

      for(u = 1;; u++) {
        if(!(p % u) && !(N % (p / u))) {
          v = k / u;
          return [ u, v ];
        }
      }
    }
  }
}

g = (N, u, v) => {
  x = Math.ceil(Math.sqrt(u * v * N));
  y = x * x - u * v * N;
  ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
  p = x + ySqrt;
  q = x - ySqrt;
  return [ p / u, q / v ];
}

[
  143, 2519, 199163, 660713, 4690243, 11755703,
  35021027, 75450611, 806373439, 1355814601,
  3626291857, 6149223463, 6330897721
]
.map(N => {
  [u, v] = f(N);
  [c, d] = g(N, u, v);
  console.log(
    'N = ' + N + ', ' +
    'u = ' + u + ', ' +
    'v = ' + v + ', ' +
    'N = ' + c + ' * ' + d
  );
});

Snippet'i genişlet

code-golf number-theory primes

— Arnauld
kaynak

NGirdinin gerçekte bir yarı periyot olacağı garanti ediliyor mu?

— Greg Martin

@GregMartin Evet, öylesin.

— Arnauld

8

Mathematica, 81 79 bayt

Martin Ender'e 2 bayt kazandığı için teşekkürler!

(c=Ceiling;For[j=0;z=E,c@z>z,p=(x=c@Sqrt[j+=#])+{z=Sqrt[x^2-j],-z}];p/#~GCD~p)&

Yarı-işlevi girdi olarak alan ve sıralı bir pozitif tamsayı çifti döndüren saf işlev. ForTam prosedür (kullanarak sözkonusu tarif edilen halka uygular #yerine girişi için nolan) xve saklama rağmen, orada tanımlanan j = k*nyerine kkendi başına z=Sqrt[y]yerine ytek başına. Ayrıca , bir bayt (yedinci deneme gibi) tasarrufu sağlayan döngü p={x+z,x-z}içinde de hesaplıyoruz For. Daha sonra istenen iki faktör (x+z)/GCD[#,x+z]ve (x-z)/GCD[#,x-z]öz ifadenin p/#~GCD~pdoğrudan sıralı bir çift olarak hesapladığı ve

Merak: zbir tam sayı olana kadar döngü istiyoruz ; ancak Ceilingkodda zaten kullanacağımız !IntegerQ@ziçin, tanımlamak için iki bayt kaydeder c=Ceiling(Mathematica golfçülerinin bildiği gibi dört bayta mal olur) ve sonra test edip etmediğini test eder c@z>z. Bir zşeye başlamalıyız ve bir şeyin bir tamsayı olmaması daha iyi olurdu, böylece döngü başlayabilir; Neyse ki, Ekısa bir seçimdir.

— Greg Martin
kaynak

4

JavaScript (ES7), 86 81 bayt

n=>(g=k=>(y=(n*k)**.5+1|0,y+=(y*y-n*k)**.5)%1?g(k+1):n*u++%y?g(k):[--u,k/u])(u=1)

Düzenleme: @Arnauld sayesinde 4 bayt kaydedildi.

— Neil
kaynak

4

Piton 2, 127 121 117 111 107 104 101 99 bayt

Neil sayesinde -1 bayt ve ovs sayesinde -3 bayt

N=input()
k=u=1;p=m=.5
while p%1:p=1+(k*N)**m//1;p+=(p*p-k*N)**m;k+=1
while N*u%p:u+=1
print~-k/u,u

Çevrimiçi deneyin!

İlginç:

p.5ilk yinelemede döngü koşulu doğru olacak şekilde başlatılır . Not hafızasın- kısa olduğu p(aynı x+ sqrt(y)o, her depolamak için olanın dışında) xve yayrıca.

— matematik bağımlısı
kaynak

x*xyerine x**2?

— Neil

@Neil Evet, elbette. Teşekkürler

— math junkie

1

Aksiyom, 131 115 bayt

v(x)==floor(x^.5)::INT;r(n)==(k:=0;repeat(k:=k+1;x:=1+v(k*n);y:=v(x*x-k*n);x^2-y^2=k*n=>break);[w:=gcd(k,x+y),k/w])

Soruyu çözecek fonksiyon yukarıdaki r (n) 'dir. ungolf ve testi

vv(x)==floor(x^.5)::INT    

--(x-y)*(x+y)=k*n
rr(n)==
  k:=0
  repeat
     k:=k+1
     x:=1+vv(k*n)
     y:=vv(x*x-k*n)
     x^2-y^2=k*n=>break
  [w:=gcd(k,x+y),k/w]


(4) -> [[i,r(i)] for i in [143,2519,199163,660713,4690243,11755703]]
   (4)
   [[143,[1,1]], [2519,[1,19]], [199163,[4,10]], [660713,[1,1]],
    [4690243,[9,5]], [11755703,[40,2]]]
                                                      Type: List List Any

— RosLuP
kaynak

Fermat'ın çarpanlara ayırma yardımcısı