İki n ve m sayısı verildiğinde, sonsuz güç kulesini değerlendirin:

n ^ (n + 1) ^ (n + 2) ^ (n + 3) ^ (n + 4) ^ ... mod m

^ Öğesinin doğru ilişkilendirici olduğunu unutmayın. Yani 2 ^ 3 ^ 4 = 2 ^ (3 ^ 4). Şimdi, sağ ilişkisel operatörlerin sonsuz sırasına nasıl bir değer atayabilirsiniz?

F (n, m, i) değerini, sonsuz güç kulesinin ilk i terimlerini içeren güç kulesi olarak tanımlayın. Sonra her i> C için f (n, m, i) = f (n, m, C) olacak şekilde bir sabit C vardır. Sonsuz güç kulesinin belirli bir değer üzerinde birleştiğini söyleyebilirsiniz. Bu değerle ilgileniyoruz.

Programınız makul bir modern bilgisayarda n = 2017, m = 10 ^ 10'u 10 saniyenin altında hesaplayabilmelidir. Yani, gerçek bir algoritma uygulamanız gerekir, kaba kuvvet uygulamanız gerekmez.

Programlama dilinizdeki sayısal sınırlar için n <2 ³⁰ ve m <2 ⁵⁰ olduğunu varsayabilirsiniz , ancak algoritmanızın teorik olarak herhangi bir n , m boyutu için çalışması gerekir . Ancak programınızın bu boyut sınırları içindeki girişler için doğru olması gerekir ; girişler bu sınırlar dahilindeyse ara değer taşmaları hariç tutulmaz .

Örnekler:

2, 10^15
566088170340352

4, 3^20
4

32, 524287
16

Pyth, 23 bayt

M&tG.^HsgBu-G/GH{PGGhHG

Bir sırayı sırayla m ve ng alarak bir işlev tanımlar .

Çevrimiçi deneyin

Nasıl çalışır

M&tG.^HsgBu-G/GH{PGGhHG
M                         def g(G, H):
 &tG                        0 if G == 1, else …
                 PG         prime factors of G
                {           deduplicate that
          u-G/GH   G        reduce that on lambda G,H:G-G/H, starting at G
                              (this gives the Euler totient φ(G))
        gB          hH      bifurcate: two-element list [that, g(that, H + 1)]
       s                    sum
    .^H               G     H^that mod G

Python 2, 109 76 bayt

import sympy
def g(n,m):j=sympy.totient(m);return m-1and pow(n,j+g(n+1,j),m)

Çevrimiçi deneyin!

Neden çalışıyor?

Euler teoreminin aşağıdaki genelleştirmesini kullanıyoruz .

Lemma. n ^{2φ ( m )} ≡ n ^{φ ( m )} (mod m ) tüm n için ( n , m ile eşzamanlı olsun ya da olmasın ).

Kanıt: Bütün asal güçler için p ^k bölücü m ,

• Eğer p bölme n , daha sonra da φ ( m ) ≥ φ ( p ^k ) = p ^{k 1 -} ( p - 1) ≥ 2 ^{k 1 -} ≥ k , biz , n ^{2φ ( m )} ≡ 0 ≡ n ^{φ ( m )} (mod p ^k ).
• Aksi takdirde, φ ( p ^k ) φ ( m ) 'yi böldüğü için , Euler teoremi n ^{2φ ( m )} ≡ 1 ≡ n ^{φ ( m )} (mod p ^k ) ^değerini verir .

Bu nedenle, n ^{2φ ( m )} ≡ n ^{φ ( m )} (mod m ).

Doğal sonucu. Eğer k ≥ φ ( m ), daha sonra n- ^k ≡ n ^{φ ( m ) + ( k mod φ ( m ))} (mod m ).

Korumalı: Eğer k ≥ 2φ ( m ), lemması verir , n ^k = N ^{2φ ( m )} n, ^{k - 2φ ( m )} ≡ n ^{φ ( m )} n, ^{k - 2φ ( m )} = n- ^{k - φ ( m )} ( mod m ) ve üs 2φ ( m ) ' den daha az olana kadar tekrar ediyoruz .

Haskell , 156 bayt

(?)iki Integers alır ve bir döndürür Integer, olarak kullanın (10^10)?2017(OP ile karşılaştırıldığında ters sırada).

1?n=0
m?n=n&m$m#2+m#2?(n+1)
1#_=1
n#p|m<-until((<2).gcd p)(`div`p)n=m#(p+1)*1`max`div(n*p-n)(p*m)
(_&_)0=1
(x&m)y|(a,b)<-divMod y 2=mod(x^b*(mod(x*x)m&m)a)m

Çevrimiçi deneyin! (Bu kez üstelleme gösterimini kullandıkları için vakaları bu kez başlıkta test ettim.)

İlginç yavaş test durumu bir hız sınırı olan bir (neredeyse anlık var), ama değil 524287 ? 32, çünkü bir 524287diğer test vakalarının faktörler göründüğünü çok daha büyük asal olduğunu.

Nasıl çalışır

• (x&m)yolduğu x^y `mod` m, ya da güç mod karesi alınarak üs kullanarak.
• n#pEuler totient fonksiyonudur n, varsayımından ndaha küçük bir asal faktör yoktur p.
  • molan ntüm pfaktörleri göz bölünmüş.
  • kBöyle faktörler varsa , totient kendisi (p-1)*p^(k-1)olarak hesaplanan karşılık gelen bir faktör almalıdır div(n*p-n)(p*m).
  • 1`max`...ngerçekte bölünemez durumdaki durumu ele alır p, bu da diğer argümana maxeşittir 0.
• Ana işlev m?n, yyeterince büyük olduğunda , totient ile ne zaman n^y `mod` maynı olduğunu kullanır . (Bu asal faktörler için gereklidir ve hepsi en üst düzeye çıkarılmış ortak noktalara sahiptir.)n^(t+(y`mod`t)) `mod` mtmt+nm
• Yinelenen totient fonksiyonları sonunda 1'e çarptığından algoritma durur.

Mathematica, 55 bayt

n_~f~1=0;n_~f~m_:=PowerMod[n,(t=EulerPhi@m)+f[n+1,t],m]

Örnekler:

In[1]:= n_~f~1=0;n_~f~m_:=PowerMod[n,(t=EulerPhi@m)+f[n+1,t],m]

In[2]:= f[2, 10^15]

Out[2]= 566088170340352

In[3]:= f[4, 3^20]

Out[3]= 4

In[4]:= f[32, 524287]

Out[4]= 16

In[5]:= f[2017, 10^10]

Out[5]= 7395978241

Pari / GP , 59 bayt

f(n,m)=if(m==1,0,lift(Mod(n,m)^((t=eulerphi(m))+f(n+1,t))))

Çevrimiçi deneyin!