(A → B) → (→B → ¬A)

Sanırım bir başka kanıt-golf sorunumuz daha var.

Bu sefer tanınmış mantıksal gerçeği kanıtlayacağız

$(A \rightarrow B) \rightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)$

Bunu yapmak için asukasiewicz’in , teklif mantığı üzerinde tamamlanmış, inanılmaz derecede zarif bir üç aksiyom kümesi olan üçüncü Axiom Şeması’nı kullanacağız .

İşte nasıl çalışıyor:

Aksiyomlar

Uukasiewicz sisteminin üç aksiyomu vardır. Onlar:

$\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

$(\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\chi))\rightarrow((\phi\rightarrow\psi)\rightarrow(\phi\rightarrow\chi))$

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

Aksiyomlar, $\phi$ , $\psi$ ve $\chi$ için ne seçtiğimize bakmaksızın evrensel gerçeklerdir . Kanıtın herhangi bir noktasında bu aksiyomlardan birini tanıtabiliriz. Biz aksiyomuna tanıtmak zaman her durumda yerine $\phi$ , $\psi$ ve $\chi$ , bir "kompleks ifadesi" ile. Karmaşık bir ekspresyon (harfler ile temsil edilen atomlarından yapılmış herhangi bir ifade, bir $A$ - $Z$ ) ve operatörler eder ( $\rightarrow$ () olup $\neg$ ).

Örneğin, ilk aksiyomu (LS1) tanıtmak isteseydim,

$A\rightarrow(B\rightarrow A)$

veya

$(A\rightarrow A)\rightarrow(\neg D\rightarrow(A\rightarrow A))$

İlk durumda $\phi$ oldu $A$ ve $\psi$ oldu $B$ ikinci durumda hem daha karmaşık ifadeler iken,. $\phi$ oldu $(A\rightarrow A)$ ve $\psi$ olduğu $\neg D$ .

Kullanmayı tercih ettiğiniz ikame maddeleri, şu anda ispatta ihtiyacınız olana bağlı olacaktır.

Modus Ponens

Artık ifadeler sunabildiğimiz için yeni ifadeler yapmak için bunları birbirleriyle ilişkilendirmeliyiz. Bunu asukasiewicz’in Axiom Schema (LS) 'da yapması, Modus Ponens ile. Modus Ponens formun iki ifadesini almamıza izin veriyor

$\phi$

$\phi\rightarrow \psi$

ve yeni bir ifadeyi başlat

$\psi$

Tıpkı Aksiyomlarımızda olduğu gibi $\phi$ ve $\psi$ herhangi bir keyfi ifadede durabilir.

İki ifade kanıtın herhangi bir yerinde olabilir, yan yana veya özel bir sıraya girmeleri gerekmez.

Görev

Senin görevin contrapositives yasasını kanıtlamak olacaktır . Bu ifade

$(A\rightarrow B)\rightarrow(\neg B\rightarrow\neg A)$

Şimdi bunun oldukça tanıdık olduğunu fark edebilirsiniz, üçüncü aksiyomumuzun tam tersidir.

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

Ancak bu önemsiz bir başarı değildir.

puanlama

Bu zorluk için puanlama oldukça basittir, bir aksiyomu her başlattığınızda bir nokta olarak sayılır ve her modus ponen kullanımı bir puan olarak sayılır. Bu aslında ispatınızdaki satır sayısıdır. Hedef, puanınızı en aza indirgemek olmalıdır (mümkün olduğu kadar düşük).

Örnek Kanıt

$A\rightarrow A$

φ
φ → (A → A)
A → A       M.P.

TeX

$\phi$ $\phi\rightarrow(A\rightarrow A)$ $(\neg A\rightarrow\neg A)$ $(A\rightarrow A)$

φ
ψ
ψ → (φ → (A → A))
φ → (A → A)        M.P.
A → A              M.P.

TeX

$\psi\rightarrow(\phi\rightarrow(A\rightarrow A))$

A → χ
A → (χ → A)
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

TeX

$(A\rightarrow(\chi\rightarrow A))$

A → χ
A → (χ → A)                         L.S.1
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

TeX

$\chi$ $A\rightarrow\chi$

A → (ω → A)                                     L.S.1
A → ((ω → A) → A)                               L.S.1
(A → ((ω → A) → A)) → ((A → (ω → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (ω → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

TeX

$\omega$ $A$ $B$ $A$

A → (B → A)                                     L.S.1
A → ((B → A) → A)                               L.S.1
(A → ((B → A) → A)) → ((A → (B → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (B → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

TeX

Çevrimiçi deneyin!

Ve bu bir kanıt.

kaynaklar

Doğrulama programı

İşte kanıtınızın gerçekten geçerli olduğunu doğrulamak için kullanabileceğiniz bir Prolog programı. Her adım kendi satırına yerleştirilmelidir. ->imalar için kullanılmalı ve -kullanılmamalıdır, atomlar herhangi bir alfabetik karakter dizisi ile temsil edilebilir.

Metamath

Metamat propukasiewicz sistemini önermeli hesaptaki kanıtları için kullanır, bu yüzden etrafta biraz dürtmek isteyebilirsiniz. Onlar da bu meydan bulunabileceği sorar teoremi bir kanıtı var burada . Burada ispatların nasıl okunacağına dair bir açıklama var .

İnanılmaz Dayanıklı Makine

@ Antony , güzel bir grafiksel prova sistemi kullanarak birkaç sistemde provalar oluşturmanıza olanak sağlayan The Incredible Proof machine adlı The Incredible Proof makinesi adlı aracın farkında olmamı sağladı . Aşağı kaydırırsanız Łukasiewicz sistemini desteklediğini göreceksiniz. Yani daha görsel odaklı bir kişiyseniz, orada kanıtınız üzerinde çalışabilirsiniz. Puanınız eksi 1 kullanılan blok sayısı olacaktır.

logic proof-golf

— Buğday Sihirbazı
kaynak

Bekle, ayrık matematik defterimi almama izin ver ...

— mbomb007

@DigitalTrauma Şu an bir öğrenciyim ve bu, sahip olduğum bir ev ödevi ödeviydi (eksi golf bölümü), bu yüzden onu incelemiş olmanız çok mümkün. "Uzmanlığım" olmasa bile denemenizi tavsiye ederim, bence bu zorluk en çok programlama yapan insanlar için bile uygulanabilir.

— Buğday Sihirbazı 19

@ mbomb007 Tümdengelim Teoremini kullanamazsınız ve asukasiewicz sistemi tamamlandığından kullanmanıza gerek yoktur.

— Buğday Sihirbazı

En azından aksiyomları tek bir evrensel şema ile sınırlandırmadın:((P → Q) → R) → ((R → P) → (S → P))

— mbomb007

The Incredible Proof Machine tüm sürükle ve bırak ve Łukasiewicz’in desteklemektedir. Neredeyse en altına kaydırın ve "Hilbert sistemi" arayın. Örneğin burada kanıtı @ user56656 verdi A → A

— Antony

Yanıtlar:

88 82 77 72 adımlar

10 adım kazandıran daha iyi birleştirici dönüşümleri için H.PWiz'e teşekkürler!

açıklama

Teoremlerin türlere ve ispatların bu tür programlara karşılık geldiği Curry-Howard yazışmalarına aşina olabilirsiniz . Asukasiewicz sistemindeki ilk iki aksiyoloji aslında K ve S birleştiricileridir ve lambda hesabı ifadelerini SK birleştirici ifadelerine çevirebileceğimiz iyi bilinmektedir .

Öyleyse aksiyomlarımıza karşılık gelen bazı ifadeleri not edelim (aşağıdaki geçerli Haskell sözdizimidir, çünkü uygun olan Haskell derleyicisini kullanarak ispatlarımızı gerçekten kontrol edebiliriz):

data Not φ

k :: φ -> (ψ -> φ)
k x _ = x

s :: (φ -> (ψ -> χ)) -> ((φ -> ψ) -> (φ -> χ))
s x y z = x z (y z)

c :: (Not φ -> Not ψ) -> (ψ -> φ)
c = error "non-computational axiom"

Ardından, bir program olarak istenen ifadeyi bir kanıt olarak yazabiliriz c(bu kısım biraz zekâlıdır, ancak bunu yazmak için 72 satırlık aksiyomatik bir kanıtdan çok daha kolaydır):

pf :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf x y = c (\z -> c (\_ -> y) (x (c (c (\_ -> z)) x))) k

ve onu SK birleşim ifadesine dönüştürün:

pf' :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf' =
  s (k (s (k (s c (k k)))))
    (s (k (s (s (k s) (s (k k) (s (k c) k)))))
       (s (k k) (s (k (s s (s (s (k c) (s (k c) k))))) k)))

Yukarıdaki 17 k, 16 sve 4 cbirleştiriciler aşağıdaki provadaki 16 LS1, 16 LS2 ve 4 LS3 çağrılarına karşılık gelir ve bir fonksiyonun yukarıdaki değere 38 uygulamaları aşağıdaki 38 MP çağrılarına karşılık gelir.

Neden sadece 16 LS1 çağrısı? kYukarıdaki birleştiricilerden birinin serbest tip değişkenine sahip olduğu ortaya çıktı ve dikkatlice başlatılması, onu önceden türetilmiş olanın bir kopyasına dönüştürdü.

Kanıt

(A → B) → (¬¬A → (A → B)) LS1
→A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A) LS1
(¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬A → ¬ (A → B)) LS3
((¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬A → ¬ (A → B))) → (¬¬A → (((¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬ A → ¬ (A → B)))) LS1
→A → ((→ (A → B) → ¬¬A) → (¬A → ¬ (A → B))) MP 4,3
(¬¬A → ((→ (A → B) → ¬¬A) → (→A → ¬ (A → B))) → (((¬¬A → (¬¬ (A → B)) ¬ ¬A)) → (→A → (¬A → ¬ (A → B)))) LS2
(¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → ¬ (A → B))) MP 6,5
→A → (→A → ¬ (A → B)) MP 7,2
(¬A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A) LS3
((¬A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A)) → (→A → ((¬A → ¬ (A → B))) → ((A → B) → A ))) LS1
→A → ((¬A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A)) MP 10,9
(¬¬A → ((→A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A))) → (((¬¬A → (¬A → ¬ (A → B)))) → ( →A → ((A → B) → A))) LS2
(¬¬A → (→A → ¬ (A → B))) → (→A → ((A → B) → A)) MP 12,11
→A → ((A → B) → A) MP 13,8
(¬¬A → ((A → B) → A)) → ((¬¬A → (A → B)) → (→A → A)) LS2
(¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → A) MP 15,14
(¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (→A → B)) LS2
((¬¬A → (A → B)) → (((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → ((((¬¬A → (A → B))) → (¬¬A → A)) → ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B))) LS2
((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → A)) → ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B)) MP 18,17
(¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B) MP 19,16
((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((A → B)) ) LS1
(A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → (→A → B)) MP 21,20
((A → B) → (((A → (A → B)) → (→A → B))) → ((((A → B)) (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → (¬¬A → B))) LS2
((A → B) → (→A → (A → B))) → ((A → B) → (→A → B)) MP 23,22
(A → B) → (¬¬A → B) MP 24,1
(¬¬A → B) → (→B → (¬¬A → B)) LS1
((→A → B) → (→B → (¬¬A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → B) → (→B → (→A → B) ))) LS1
(A → B) → ((→A → B) → (¬B → (¬¬A → B))) MP 27,26
((A → B) → ((¬¬A → B) → (→B → (¬¬A → B)))) → ((((A → B)) (¬¬A → B)) → (( A → B) → (→B → (¬¬A → B)))) LS2
((A → B) → (→A → B)) → ((A → B) → (→B → (→A → B))) MP 29,28
(A → B) → (→B → (¬¬A → B)) MP 30,25
→B → (¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) LS1
(¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) ) LS3
((¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A) ))) → (→B → ((¬¬ (¬¬A → (→ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A) → B) → ¬¬A))))) LS1
→B → ((¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬ A))))) MP 34,33
(¬B → ((¬¬ (¬¬A → (→ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((¬B → (¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B)) → (¬B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) LS2
(¬B → (¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B)) → (¬B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A) → B) → ¬¬A)))) MP 36,35
→B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) MP 37,32
(B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (→A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬) A)))) LS1
((B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (→A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬) ¬A))))) → (→B → ((B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬ A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) LS1
→B → ((B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) ) → ¬¬A))))) MP 40,39
(¬B → ((B → ¬ (¬¬A → (→ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A →) B) → ¬¬A)))))) → (((¬B → (B → ¬ (¬¬A → (→ (A → B) → ¬¬A)))))) (¬B → (¬ →A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) LS2
(¬B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬) ¬ (A → B) → ¬¬A))))) MP 42,41
→B → (→A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) MP 43,38
(¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A) → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) LS2
((¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) (((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬ A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (¬B → ((¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (→ (A → B)) → ¬¬ A)))) → ((→A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) LS1
→B → ((→A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬) (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) MP 46,45
(¬B → ((→A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) (((¬¬A → B) → (→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))))) ((¬B → (¬¬A → (B → → (¬¬A →) (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (¬B → ((¬¬A → B) → (→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) )))) LS2
(¬B → (→A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (¬B → ((¬¬A → B) → ( →A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) MP 48,47
→B → ((→A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) MP 49,44
(¬B → ((→A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((¬B → (¬¬) A → B)) → (→B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) LS2
(¬B → (→A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) MP 51,50
((¬B → (→A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((A → B) → ((→B → (¬¬A → B)) → (¬B → (→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) ) LS1
(A → B) → ((→B → (¬¬A → B)) → (¬B → (→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) )) 53,52 Milletvekili
((A → B) → ((¬B → (¬¬A → B)) → (¬B → (→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) ))))) → (((A → B) → (¬B → (→A → B))) → ((A → B) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A →) ¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) LS2
((A → B) → (→B → (¬¬A → B))) → ((A → B) → (→B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) ) → ¬¬A))))) MP 55,54
(A → B) → (→B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) MP 56,31
(¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬ →A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) LS1
(¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) MP 58,2
(¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ((¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬A ) LS3
((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ((¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬ A)) → (((¬¬A → ¬ (¬¬A → (→ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A) ))) → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A)) LS2
((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ( (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A) MP 61,60
(¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A MP 62,59
((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A) → (¬B → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬) ¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A)) LS1
→B → ((→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A) MP 64,63
(¬B → ((→A → ¬ (¬¬A → (→ (A → B) → ¬¬A))) ¬A)) → ((¬B → (¬¬A → ¬ (¬) →A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (→B → ¬A)) LS2
(¬B → (→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → ¬A) MP 66,65
((¬B → (→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → ¬A)) → ((A → B) → ( (¬B → (→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → ¬A))) LS1
(A → B) → ((→B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (→B → ¬A)) MP 68, 67
((A → B) → ((¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) ((¬B → ¬A))) → (((A → B) → (→B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((A → B) → (¬ B → ¬A))) LS2
((A → B) → (→B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((A → B) → (¬B → ¬A)) MP 70,69
(A → B) → (→B → ¬A) MP 71,57

Çevrimiçi deneyin!

— Anders Kaseorg
kaynak

Vay canına, bu harika.

— Zacharý,

Adımda daha kısa olup olmadığını söyleyemem ve şimdi gitmek zorunda. Ama s(s(k s)(s(k(s(k c)))(s(k(s(s(k s)(s(k k)(s(k c)k)))))(s(k k)(s(k(s s(s(s(k c)(s(k c)k)))))k)))))k hangisine benzediğini anladım ama biraz daha kısa

— bitende

@ H.PWiz Düzgün, aslında biraz farklı bir deneme programına karşılık geliyor. Güncellenmiş.

— Anders Kaseorg

Ne dersiniz s(k(s(k(s c(k s)))))(s(k(s(s(k s)(s(k k)(s(k c)k)))))(s(k k)(s(k(s s(s(s(k c)(s(k c)k)))))k)))?

— H.PWiz

@ H.PWiz Serbest tip değişken hilesiyle birlikte başka bir −5 için iyidir

— Anders Kaseorg

91 adım

Tam kanıtı:

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B)) LS1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) LS2
3. ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS1
4. (A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 3,2
5. ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) → (((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS2
6. ((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 5,4
7. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) MP 6,1
8. ¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) LS1
9. (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))) LS3
10. ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS1
11. ¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 10,9
12. (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) → ((¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS2
13. (¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 12,11
14. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))) MP 13,8
15. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) LS2
16. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))) MP 15,14
17. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A) LS3
18. ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) → ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS1
19. (¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 18,17
20. ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) → (((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS2
21. ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 20,19
22. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A) MP 21,16
23. (¬A → A) → (B → (¬A → A)) LS1
24. ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) → (((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A)) LS2
25. ((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A) MP 24,22
26. (¬A → A) → A MP 25,23
27. ¬¬A → (¬A → ¬¬A) LS1
28. (¬A → ¬¬A) → (¬A → A) LS3
29. ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) → (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) LS1
30. ¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) MP 29,28
31. (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) → ((¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A))) LS2
32. (¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A)) MP 31,30
33. ¬¬A → (¬A → A) MP 32,27
34. ((¬A → A) → A) → (¬¬A → ((¬A → A) → A)) LS1
35. ¬¬A → ((¬A → A) → A) MP 34,26
36. (¬¬A → ((¬A → A) → A)) → ((¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A)) LS2
37. (¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A) MP 36,35
38. ¬¬A → A MP 37,33
39. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A)) LS1
40. (A → B) → (¬¬A → A) MP 39,38
41. ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → (((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B))) LS2
42. ((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B)) MP 41,7
43. (A → B) → (¬¬A → B) MP 42,40
44. ¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) LS1
45. (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) LS3
46. ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS1
47. ¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 46,45
48. (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) → ((¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS2
49. (¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 48,47
50. ¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 49,44
51. (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) LS2
52. (¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 51,50
53. (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) LS3
54. ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS1
55. (¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 54,53
56. ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) → (((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS2
57. ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 56,55
58. (¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) MP 57,52
59. (¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B)) LS1
60. ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → (((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS2
61. ((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 60,58
62. (¬¬B → ¬B) → ¬B MP 61,59
63. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B) LS1
64. (¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B) LS3
65. ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) LS1
66. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) MP 65,64
67. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B))) LS2
68. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) MP 67,66
69. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬B) MP 68,63
70. ((¬¬B → ¬B) → ¬B) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS1
71. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 70,62
72. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B)) LS2
73. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B) MP 72,71
74. ¬¬¬B → ¬B MP 73,69
75. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B) LS3
76. B → ¬¬B MP 75,74
77. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B)) LS1
78. ¬¬A → (B → ¬¬B) MP 77,76
79. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) LS2
80. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 79,78
81. ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS1
82. (A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 81,80
83. ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) → (((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS2
84. ((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 83,82
85. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 84,43
86. (¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A) LS3
87. ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) → ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) LS1
88. (A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) MP 87,86
89. ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) → (((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A))) LS2
90. ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A)) MP 89,88
91. (A → B) → (¬B → ¬A) MP 90,85

Çevrimiçi deneyin!

5 lemayı kullanan daha okunabilir bir versiyon:

Lemma 1: From A → B and B → C, instantiate A → C. (5 steps)

1. B → C                                         given
2. (B → C) → (A → (B → C))                       L.S.1
3. A → (B → C)                                   M.P. (1,2)
4. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
5. (A → B) → (A → C)                             M.P. (3,4)
6. A → B                                         given
7. A → C                                         M.P. (6,5)

Lemma 2: ¬A → (A → B) (7 steps)

1. ¬A → (¬B → ¬A)                                L.S.1
2. (¬B → ¬A) → (A → B)                           L.S.3
3. ¬A → (A → B)                                  Lemma 1 (1,2)

Lemma 3: From A → (B → C) and A → B, instantiate A → C. (3 steps)

1. A → (B → C)                                   given
2. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
3. (A → B) → (A → C)                             M.P. (1,2)
4. A → B                                         given
5. A → C                                         M.P. (4,3)

Lemma 4: ¬¬A → A (31 steps)

1. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))                    Lemma 2
2. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → 
   ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))))           L.S.2
3. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))             M.P. (1,2)
4. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) →((B → (¬A → A)) → A)  L.S.3
5. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)               Lemma 1 (3,4)
6. (¬A → A) → (B → (¬A → A))                     L.S.1
7. (¬A → A) → A                                  Lemma 3 (5,6)
8. ¬¬A → (¬A → A)                                Lemma 2
9. ¬¬A → A                                       Lemma 1 (8,7)

Lemma 5: (A → B) → (¬¬A → B) (43 steps)

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B))                     L.S.1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))     L.S.2
3. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))             Lemma 1 (1,2)
4. ¬¬A → A                                       Lemma 4
5. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A))             L.S.1
6. (A → B) → (¬¬A → A)                           M.P. (4,5)
7. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 3 (3,6)

Theorem: (A → B) → (¬B → ¬A)

1. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 5
2. ¬¬¬B → ¬B                                     Lemma 4
3. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B)                       L.S.3
4. B → ¬¬B                                       M.P. (2,3)
5. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B))                 L.S.1
6. ¬¬A → (B → ¬¬B)                               M.P. (4,5)
7. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) L.S.2
8. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                       M.P. (6,7)
9. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                         Lemma 1 (1,8)
10.(¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)                       L.S.3
11.(A → B) → (¬B → ¬A)                           Lemma 1 (9,10)

— Poon Levi
kaynak

Siteye Hoşgeldiniz ve etkileyici cevap! Prolog betiği ile cevabınızı doğruladınız mı? Öyleyse, söz konusu doğrulamanın bağlantısını da dahil eder misiniz?

— caird coinheringaahing

@cairdcoinheringaahing Yanıtlanabilmesi için prolog betiğine bir tio bağlantısı ekledim, böylece doğrulanabilir (işe yarar). Genellikle bağlantıya yorum yapardım, ancak bağlantıya yorum yapmak için çok uzun.

— Buğday Sihirbazı,

Temelde, farklı lemmalar kullanmanız dışında, yapım sürecinde olduğumun kanıtıydı. Kimlik İlkesini kullandım. Ayrıca, Çifte Olumsuzluğun Ortadan Kaldırılmasını henüz kanıtlamamıştım, çünkü bunun kanıtı gerekli Çelişki Gerçekleşmesini yarattığımdı.

— mbomb007

Eğer Lemma 5 kesip yerine kanıtlamak ve almak değişikliği Teoremi kullanmak mümkün olacaktır (¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)için (A → B) → (¬B → ¬A)daha az adımda?

— mbomb007

Bence ilk adım gereksiz mi? Referans veren hiçbir şey bulamadım, bu yüzden TIO'da bu hat olmadan çalıştırmayı denedim ve herhangi bir "Geçersiz adım" uyarısı almadım.

— Antony,

59 adım

Metamath'ın yazarı Norman Megill, bana bu topluluk wiki'sinde göndereceğim 59 adımlık bir kanıtı anlattı . Orijinal bu sayfada teorem 2.16 bulunabilir.

http://us.metamath.org/mmsolitaire/pmproofs.txt

Norm diyor ki: Bu sayfa yenmen için bir çok zorluk getirecek!

İşte kanıtı

((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! *2.16
((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! Result of proof
DD2D1DD2D13DD2D1DD22D2DD2D13DD2D1311D2D1D3DD2DD2D13DD2D1311
; ! 59 steps

Kanıt Polonya'da yazılmıştır, bu nedenle sonuçtan başlar ve her terim bir aksiyom tarafından yerine getirilinceye kadar geriye doğru devam eder. Karakter eşleştirme aşağıdaki gibidir: "1", LS aksiyom 1, "2", LS aksiyom 2, "3", LS aksiyom 3, "D", Modus Ponens'tir.

İşte WW'nin önerdiği formatta ispat

01 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) )
02 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) )
03 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
04 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
05 3,4 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
06 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
07 5,6 ax-mp     $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
08 2,7 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
09 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
10 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
11 9,10 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
12 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
13 11,12 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
14 8,13 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
15 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) ) )
16 14,15 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) )
17 1,16 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B )
18 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) → ( B → ¬ ¬ B ) )
19 17,18 ax-mp   $a |- ( B → ¬ ¬ B )
20 ax-1          $a |- ( ( B → ¬ ¬ B ) → ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) )
21 19,20 ax-mp   $a |- ( A → ( B → ¬ ¬ B ) )
22 ax-2          $a |- ( ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
23 21,22 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) )
24 ax-1          $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
25 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) )
26 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
27 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
28 26,27 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
29 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
30 28,29 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
31 25,30 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
32 ax-3          $a |- ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
33 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
34 32,33 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
35 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
36 34,35 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
37 31,36 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
38 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) )
39 37,38 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) )
40 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
41 ax-2          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
42 40,41 ax-mp   $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
43 39,42 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
44 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
45 43,44 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
46 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
47 45,46 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
48 24,47 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
49 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
50 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
51 49,50 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
52 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
53 51,52 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
54 48,53 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
55 ax-1          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
56 54,55 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
57 ax-2          $a |- ( ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
58 56,57 ax-mp   $a |- ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
59 23,58 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )

Çevrimiçi deneyin!

İşte İnanılmaz Dayanıklı Makinede

png svg

— Antonius
kaynak

Böyle bir format önerdiğimi hatırlamıyorum ... Buna değer, karşılık gelen sk ifadesi s(k(s(k c)(s(k(s s(s(s(k c)(s(k c)k)))))k)))(s(k(c(s(s(k c)(s(k c)k))k)))). Yine de onu lambdalara dönüştürecek bir yolum yok

— H.PWiz

@ H.PWiz Bu

\x -> c (\y -> c (\z -> c (c (\_ -> z)) (\_ -> z)) (x (c (c (\_ -> y)) (\z -> c (\t -> c (c (\_ -> t)) (\_ -> t)) (x z)))))

. (Muhtemelen o yöne yaklaşıyor olsaydın, yazacağın şeyi değilsin.)

— Anders Kaseorg,

@AndersKaseorg Evet, daha yeni buldum ve faydalı teoremleri

— çıkardım

@ H.PWiz, üzgünüm, hayır, bu formatı önermediniz. Demek istediğim (marjdan arındırılmış) Prolog doğrulayıcınızla uyumlu.

— Antony

H.PWiz Korkarım @ ben adınızı WW birçok isimlerin arasında arka arkaya benziyordu, OP için teşekkür karıştırıyorsun için üzgünüm i.imgur.com/VoSVoqI.png

— Antony