Arka fon

Bir üçgen ızgara Aşağıdaki resim üçgen ızgara örneğidir kenar uzunluğu 1 eşkenar üçgen düzenli düzlemi döşeme oluşturduğu bir ızgaradır.

Bir üçgen kafes noktası , üçgen ızgarayı oluşturan bir üçgenin tepe noktasıdır .

Köken üçgen kafes noktalarından biri olan düzlem üzerinde sabit bir nokta.

Meydan okuma

Negatif olmayan bir tamsayı verildiğinde n, orijinden Öklid uzaklığına eşit veya daha az olan üçgen kafes noktalarının sayısını bulun n.

Örnek

Aşağıdaki şekil n = 7(A noktası menşeli iken kolaylık sağlamak için sadece 60 derecelik alanı gösteren) bir örnektir :

Test Kılıfları

Input | Output
---------------
    0 |       1
    1 |       7
    2 |      19
    3 |      37
    4 |      61
    5 |      91
    6 |     127
    7 |     187
    8 |     241
    9 |     301
   10 |     367
   11 |     439
   12 |     517
   13 |     613
   14 |     721
   15 |     823
   16 |     931
   17 |    1045
   18 |    1165
   19 |    1303
   20 |    1459
   40 |    5815
   60 |   13057
   80 |   23233
  100 |   36295
  200 |  145051
  500 |  906901
 1000 | 3627559

İpucu : Bu dizi OEIS A003215 değil .

kurallar

Kod golf için standart kurallar geçerlidir. En kısa gönderim kazanır.

Lütfen gönderiminizdeki zorluğu nasıl çözdüğünüzü de ekleyin.

Python 2 , 43 bayt

f=lambda n,a=1:n*n<a/3or n*n/a*6-f(n,a+a%3)

Çevrimiçi deneyin!

Bu kara büyü.

Yazılı bir ispat için 250 temsilci sunmak. Bir kanıt ve açıklama içinLynn'in cevabınabakınız.

Haskell , 48 bayt

f n=1+6*sum[(mod(i+1)3-1)*div(n^2)i|i<-[1..n^2]]

Çevrimiçi deneyin!

Xnor'ın "kara büyü" formülünü kullanır:

$$f(n)=1+6\sum_{a=0}^\infty \left\lfloor \frac{n^2}{3a+1}\right\rfloor - \left\lfloor \frac{n^2}{3a+2}\right\rfloor$$

Doğruluğunun bir kanıtı ve Xnor'ın 43 byte Python ile nasıl ifade etmeyi başardığının bir açıklaması burada bulunabilir .

$1 \le N \le n^2$$N = (x+y\omega)(x+y\omega^*)$$(x,y)$

$$6 \times ((\text{# of divisors of }N \equiv 1\space(\text{mod }3)) - (\text{# of divisors of }N \equiv 2\space(\text{mod }3)))$$

$1$$n^2$

Wolfram Dili (Mathematica) , 53 51 50 bayt

^{@Miles sayesinde -1 bayt}

Sum[Boole[x(x+y)+y^2<=#^2],{x,-2#,2#},{y,-2#,2#}]&

Çevrimiçi deneyin!

Nasıl?

Bunu düşünmek yerine:

Bunun gibi düşünün:

Bu yüzden [[sqrt(3)/2, 0], [1/2, 1]]ikinci rakamı birincisine dönüştürmek için tranformation matrisini uyguluyoruz .

Daha sonra, daireyi üçgen ızgarada Kartezyen koordinatlarına göre bulmalıyız.

(sqrt(3)/2 x)^2 + (1/2 x + y)^2 = x^2 + x y + y^2

Böylece kafes noktaları buluruz x, y öylex^2 + x y + y^2 <= r^2

Örneğin, şununla r = 3:

Wolfram Dili (Mathematica) , 48 bayt

OEIS göre A004016 .

1+6Sum[DivisorSum[i,#~JacobiSymbol~3&],{i,#^2}]&

Çevrimiçi deneyin!

CJam (24 bayt)

{_*_,f{)_)3%(@@/*}1b6*)}

Bu, yığın üzerinde bir argüman alan ve sonucu yığın üzerinde bırakan isimsiz bir bloktur (fonksiyon). Çevrimiçi test paketi . En büyük iki vakanın çok yavaş olduğuna dikkat edin.

açıklama

alephalpha , bu soruya yaptığı bir yorumda kaydetti

OEIS A004016'nın ilk n ^ 2 + 1 terimlerinin toplamıdır.

$$f(n) = 1 + 6 \sum_{a=0}^\infty \left\lfloor\frac{n^2}{3a+1}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n^2}{3a+2}\right\rfloor$$

Bu formülün doğruluğuna dair kanıtım, alephalpha'nın OEIS linkinden derlenen bazı bilgilere dayanıyor:

Gf: 1 + 6 * Toplam_ {n> = 1} x ^ (3 * n-2) / (1-x ^ (3 * n-2)) - x ^ (3 * n-1) / (1- x ^ (3 x n-1)). - Paul D. Hanna, 03 Temmuz 2011

$x^a$

$$\prod_{k=0}^\infty (1-q^{k+1})(1 + xq^{k+1})(1 + x^{-1}q^k) = \sum_{k\in \mathbb{Z}} q^{k(k+1)/2}x^k$$ $$\sum_{m,n \in \mathbb{Z}} \omega^{m-n} q^{m^2+mn+n^2} = \prod_{k=1}^\infty \frac{(1-q^k)^3}{1-q^{3k}}$$ $\omega$ $$\sum_{m,n \in \mathbb{Z}} q^{m^2+mn+n^2} = 1 + 6 \sum_{k \ge 0} \left(\frac{q^{3k+1}}{1-q^{3k+1}} - \frac{q^{3k+2}}{1-q^{3k+2}} \right)$$

Kod diseksiyonu

{          e# Define a block. Stack: ... r
  _*       e#   Square it
  _,f{     e#   Map with parameter: invokes block for (r^2, 0), (r^2, 1), ... (r^2, r^2-1)
    )      e#     Increment second parameter. Stack: ... r^2 x with 1 <= x <= r^2
    _)3%(  e#     Duplicate x and map to whichever of 0, 1, -1 is equal to it (mod 3)
    @@/*   e#     Evaluate (r^2 / x) * (x mod 3)
  }
  1b6*     e#   Sum and multiply by 6
  )        e#   Increment to count the point at the origin
}

J , 27 bayt

[:+/@,*:>:(*++&*:)"{~@i:@+:

Çevrimiçi deneyin!

JungHwan Min'in yöntemine dayanır .

açıklama

[:+/@,*:>:(*++&*:)"{~@i:@+:  Input: n
                         +:  Double
                      i:     Range [-2n .. 2n]
                  "{~        For each pair (x, y)
                *:             Square both x and y
              +                Add x^2 and y^2
             +                 Plus
            *                  Product of x and y
        >:                   Less than or equal to
      *:                     Square of n
     ,                       Flatten
  +/                         Reduce by addition

APL (Dyalog Klasik) , 23 bayt

{1+6×+/-/⌊⍵÷1+3⊥¨⍳⍵2}×⍨

Çevrimiçi deneyin!

xnor ve lynn'nin cevaplarına övgü

son test yorumlanmıştır, çünkü daha fazla hafızaya ihtiyaç duyar, örneğin MAXWS=200Menv

Jöle , 14 bayt

ḤŒR+²_×ʋþ`F½»ċ

Kullanımları @ JungHwanMin yöntemini .

Çevrimiçi deneyin!

Jelly ,  15  13 bayt

-2 (Dennis sayesinde) sıfıra denk gelmemesi için kareyi arttırın; fark öncesi bir dilim yerine post-fark modulo dilimi kullanarak kafadan kaçının)

^{Python cevabında xnor tarafından açığa çıkan cevabın üzerinde durma "kara büyü" yöntemini kullanır, ancak özyineleme yerine yinelemeyi kullanır (ve biraz daha az hesaplama yapar)}

²:Ѐ‘$Im3S×6C

Negatif olmayan bir tamsayıyı kabul eden ve pozitif bir tamsayı döndüren monadik bir bağlantı.

Çevrimiçi deneyin! Veya test odasına bakın .

Nasıl?

²:Ѐ‘$Im3S×6C - Main Link: non-negative integer, n     e.g. 7
²             - square                                     49
     $        - last two links as a monad:
    ‘         -   increment                                50
  Ѐ          -   map across (implicit range of) right with:
 :            -     integer division                       [49,24,16,12,9,8,7,6,5,4,4,4,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0]
      I       - incremental differences                    [-25,-8,-4,-3,-1,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1]
       m3     - every third element                        [-25,-3,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1]
         S    - sum (vectorises)                           -31
          ×6  - multiply by six                           -186
            C - complement (1-X)                           187

JavaScript (ES6), 65 bayt

Bu @ JungHwanMin'in çözümünün limanı .

f=(n,y=x=w=n*2)=>y-~w&&(x*x+x*y+y*y<=n*n)+f(n,y-=--x<-w&&(x=w,1))

Çevrimiçi deneyin!

---

Orijinal cevap (ES7), 70 bayt

Basitçe ızgara boyunca yürür ve eşleşen noktaları sayar.

f=(n,y=x=n*=2)=>y+n+2&&(x*x*3+(y-x%2)**2<=n*n)+f(n,y-=--x<-n&&(x=n,2))

Çevrimiçi deneyin!

Java 8, 65 bayt

n->f(n,1)int f(int n,int a){return n*n<a/3?1:n*n/a*6-f(n,a+a%3);}

Port @xnor 'Python 2 cevap s .

Çevrimiçi deneyin.

Pari / GP , 42 bayt

Yerleşik kullanımı qfrep.

n->1+2*vecsum(Vec(qfrep([2,1;1,2],n^2,1)))

qfrep (q, B, {flag = 0}): integral ve kesin kuadratik form q için 1'den B'ye norm vektörlerinin sayısının (yarısı) vektörü. Bayrak 1 ise, 1 ila 2B arasındaki norm çiftlerini sayın.

Çevrimiçi deneyin!

C # (Visual C # Etkileşimli Derleyici) , 68 bayt

n=>{int g(int x,int y)=>x*x<y/3?1:x*x/y*6-g(x,y+y%3);return g(n,1);}

Çevrimiçi deneyin!

Maalesef diğer herkesle aynı. Muhtemelen bunu yazmanın daha iyi bir yolu olduğunu biliyorum, ama aynı anda c # ile aynı anda bir lambda ilan etmek ve çağırmak tam olarak yaptığım bir şey değil. Savunmam olsa da, bunu yapmak için iyi bir neden (dış kod golf, elbette) düşünemiyorum. Yine de, birileri bunu nasıl yapabileceğinizi biliyorsa, bana bildirin ve / veya krediyi çalın.

Wolfram Dili (Mathematica) , 39 bayt

Length@Solve[x(x+y)+y^2<=#^2,Integers]&

Çevrimiçi deneyin!

Kullanılması Junghwan Min koordinat dönüşümü var ve sadece tamsayılar üzerinde çözümler sayma.

05AB1E , 15 bayt

nD>L÷¥ā3%ÏO6*±Ì

Port @JonathanAllan s Jelly cevap sırayla bir türevidir, @ XNOR en 'kara büyü' formülü .

Çevrimiçi deneyin veya tüm test durumlarını doğrulayın .

Açıklama:

n                # Square the (implicit) input-integer
 D>              # Duplicate it, and increase the copy by 1
   L             # Create a list in the range [1, input^2+1]
    ÷            # Integer divide input^2 by each of these integers
     ¥           # Take the deltas
      ā          # Push a list in the range [1, length] without popping the deltas itself
       3%        # Modulo each by 3
         Ï       # Only leave the values at the truthy (==1) indices
          O      # Take the sum of this list
           6*    # Multiply it by 6
             ±   # Take the bitwise NOT (-n-1)
              Ì  # And increase it by 2
                 # (after which the result is output implicitly)