Dihedral grup , karenin simetri grubudur , yani bir kareyi dönüşler ve yansımalar yoluyla kendisine dönüştüren hareketlerdir. 8 elemandan oluşur: 0, 90, 180 ve 270 derecelik dönüşler ve yatay, dikey ve iki diyagonal eksen boyunca yansımalar.$D_4$

Resimler Larry Riddle'ın bu güzel sayfasından .

Bu zorluk şu hareketleri oluşturmakla ilgilidir: iki hareket verildiğinde, bunları birbiri ardına yapmaya eşdeğer olan hareketin çıktısını alın. Örneğin, hamle 7 ve ardından hamle 4 yapmak hamle 5 ile aynıdır.

Sırayı 4'e ve sonra 7'ye taşımak için sıralamanın değiştirilmesinin, bunun yerine hamle 6'ya neden olduğunu unutmayın.

Sonuçlar aşağıda sıralanmıştır; bu grubunun Cayley tablosu . Örneğin, girişler çıktıyı üretmelidir .$D_4$$7, 4$$5$

$$\begin{array}{*{20}{c}} {} & {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \end{array} } \\ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \\ \end{array} } & {\boxed{\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 8 & 7 & 5 & 6\\ 3 & 4 & 1 & 2 & 6 & 5 & 8 & 7\\ 4 & 1 & 2 & 3 & 7 & 8 & 6 & 5\\ 5 & 7 & 6 & 8 & 1 & 3 & 2 & 4\\ 6 & 8 & 5 & 7 & 3 & 1 & 4 & 2\\ 7 & 6 & 8 & 5 & 4 & 2 & 1 & 3\\ 8 & 5 & 7 & 6 & 2 & 4 & 3 & 1\\ \end{array} }} \\ \end{array}$$

Meydan okuma

Amacınız bu işlemi olabildiğince az bayt olarak uygulamaktır, ancak koda ek olarak, 1'den 8'e kadar olan hareketleri temsil eden etiketleri de seçersiniz. Etiketler 0 ile 255 arasında veya 8 adede 8 farklı sayı olmalıdır. kod noktalarının temsil ettiği bayt karakterler.

seçtiğiniz 8 etiketten ikisi verilecektir ve dihedral grubundaki bileşimlerine karşılık gelen etiketi .$D_4$

Misal

Diyelim ki 1'den 8'e kadar hamleler için C, O, M, P, U, T, E, R karakterlerini seçtiniz. Ardından, kodunuz bu tabloyu uygulamalıdır.

$$\begin{array}{*{20}{c}} {} & {\begin{array}{*{20}{c}} \, C \, & \, O \, & M \, & P \, & U \, & \, T \, & \, E \, & R \, \\ \end{array} } \\ {\begin{array}{*{20}{c}} C \\ O \\ M \\ P \\ U \\ T \\ E \\ R \\ \end{array} } & {\boxed{\begin{array}{*{20}{c}} C & O & M & P & U & T & E & R \\ O & M & P & C & R & E & U & T\\ M & P & C & O & T & U & R & E\\ P & C & O & M & E & R & T & U\\ U & E & T & R & C & M & O & P\\ T & R & U & E & M & C & P & O\\ E & T & R & U & P & O & C & M\\ R & U & E & T & O & P & M & C\\ \end{array} }} \\ \end{array}$$

E ve P girişleri verildiğinde, U çıktısını almalısınız. Girişleriniz her zaman C, O, M, P, U, T, E, R harflerinden ikisidir ve çıktılarınız her zaman bu harflerden biri olmalıdır.

Kopyalama için metin tablosu

1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 8 7 5 6
3 4 1 2 6 5 8 7
4 1 2 3 7 8 6 5
5 7 6 8 1 3 2 4
6 8 5 7 3 1 4 2
7 6 8 5 4 2 1 3
8 5 7 6 2 4 3 1

Ruby , 18 bayt

->a,b{a+b*~0**a&7}

Ungolfed

->a,b{ (a+b*(-1)**a) % 8}  
# for operator precedence reasons, 
#-1 is represented as ~0 in the golfed version 

Çevrimiçi deneyin!

Aşağıdaki kodlama numaralarını 0 ila 7 kullanır

Koda özgü yerel olarak:

Native     Effect                    Codes per
Code                                 Question
0          rotate 0 anticlockwise    1C
1 /        flip in y=x               7E
2 /|       rotate 90 anticlockwise   2O
3 /|/      flip in x axis            5U
4 /|/|     rotate 180 anticlockwise  3M
5 /|/|/    flip in y=-x              8R
6 /|/|/|   rotate 270 anticlockwise  4P
7 /|/|/|/  flip in y axis            6T

Soru başına sırayla

Native     Effect                    Codes per
Code                                 Question
0          rotate 0 anticlockwise    1C
2 /|       rotate 90 anticlockwise   2O
4 /|/|     rotate 180 anticlockwise  3M
6 /|/|/|   rotate 270 anticlockwise  4P
3 /|/      flip in x axis            5U
7 /|/|/|/  flip in y axis            6T
1 /        flip in y=x               7E
5 /|/|/    flip in y=-x              8R

açıklama

/doğrultusunda bir flip temsil y=xve |y ekseni bir kapağı ifade etmektedir.

Bu iki çizgide dönüşümlü olarak ters çevirerek D4 grubunun simetrilerinden herhangi birini üretmek mümkündür. Örneğin /bunu saat yönünün tersine 90 derecelik bir dönüş olan |verir /|.

Toplam ardışık döndürme sayısı aritmetik manipülasyon için çok uygun bir gösterim sağlar.

İlk hareket bir döndürme ise, döndürme sayısını ekleyebiliriz:

Rotate 90 degrees   +  Rotate 180 degrees = Rotate 270 degrees
/|                     /|/|                 /|/|/|

Rotate 90 degress   +  Flip in y=x        = Flip in x axis   
/|                    /                     /|/

İlk hamle bir yansıma ise, yan yana bazı özdeş yansımalarımız /ve |sembollerimiz var. Yansıtma kendinden ters olduğu için bu çevirmeleri tek tek iptal edebiliriz. Bu yüzden bir hamleyi diğerinden çıkarmamız gerekiyor

Flip in x axis     +  Flip in y=x        = Rotate 90 degrees
/|/                   /                    /|/ / (cancels to) /|

Flip in x axis     +  Rotate 90 degrees  = Flip in y=x
/|/                   /|                   /|/ /| (cancels to ) / 

Wolfram Dili (Mathematica) , 31 bayt

Etiket olarak tam sayılarını kullanma .$0, 5, 2, 7, 1, 3, 6, 4$

BitXor[##,2Mod[#,2]⌊#2/4⌋]&

Çevrimiçi deneyin!

Açıklama:

Dihedral grubu $D_4$ alanın üzerine derecesi üç unitriangular matris grubu izomorf $\mathbb{F}_2$ :

$$D_4 \cong U(3,2) := \left\{\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a,b,c \in \mathbb{F}_2\right\}.$$

Ve bizde

$$\begin{pmatrix} 1 & a_1 & b_1 \\ 0 & 1 & c_1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & a_2 & b_2 \\ 0 & 1 & c_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a_1+a_2 & b_1+b_2+a_1c_2 \\ 0 & 1 & c_1+c_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$

Bitsel işlemlerle kolayca yazılabilir.

Wolfram Dili (Mathematica) , 51 bayt

⌊#/4^IntegerDigits[#2,4,4]⌋~Mod~4~FromDigits~4&

Çevrimiçi deneyin!

Etiketleri kullanma {228, 57, 78, 147, 27, 177, 198, 108}.

Bunlar {3210, 0321, 1032, 2103, 0123, 2301, 3012, 1230}4 tabanında. Neyse ki 256 = 4 ^ 4.

---

Alt düzey uygulama, ayrıca 51 bayt

Sum[4^i⌊#/4^⌊#2/4^i⌋~Mod~4⌋~Mod~4,{i,0,3}]&

Çevrimiçi deneyin!

Python 2 , 22 bayt

$0, 6, 1, 7, 2, 3, 5, 4$

lambda a,b:a^b^a/2&b/4

Çevrimiçi deneyin!

Python 2 , 26 23 21 bayt

lambda x,y:y+x*7**y&7

$D_3$andxnor

 id | r1 | r2 | r3 | s0 | s1 | s2 | s3 
----+----+----+----+----+----+----+----
 0  | 2  | 4  | 6  | 1  | 3  | 5  | 7  

TI-BASIC, 165 bayt

Ans→L₁:{.12345678,.23417865,.34126587,.41238756,.58671342,.67583124,.75862413,.86754231→L₂:For(I,1,8:10fPart(.1int(L₂(I)₁₀^(seq(X,X,1,8:List▶matr(Ans,[B]:If I=1:[B]→[A]:If I-1:augment([A],[B]→[A]:End:[A](L₁(1),L₁(2

Girdi iki inç uzunluğunda bir listedir Ans.
Çıktı, (row, column)tablodaki dizindeki sayıdır .

Baytları kurtaracak daha iyi bir sıkıştırma yöntemi olabilir, ancak buna bakmam gerekecek.

Örnekler:

{1,2
           {1 2}
prgmCDGF1B
               2
{7,4
           {7 4}
prgmCDGF1B
               5

Açıklama:
(Okunabilirlik için yeni satırlar eklendi.)

Ans→L₁                              ;store the input list into L₁
{.123456 ... →L₂                    ;store the compressed matrix into L₂
                                    ; (line shortened for brevity)
For(I,1,8                           ;loop 8 times
10fPart(.1int(L₂(I)₁₀^(seq(X,X,1,8  ;decompress the "I"-th column of the matrix
List▶matr(Ans,[B]                   ;convert the resulting list into a matrix column and
                                    ; then store it into the "[B]" matrix variable
If I=1                              ;if the loop has just started...
[B]→[A]                             ;then store this column into "[A]", another matrix
                                    ; variable
If I-1                              ;otherwise...
augment([A],[B]→[A]                 ;append this column onto "[A]"
End
[A](L₁(1),L₁(2                      ;get the index and keep it in "Ans"
                                    ;implicit print of "Ans"

İşte 155 baytlık bir çözüm, ancak sadece matrisi kodlar ve dizini alır.
Daha sıkıcı buldum, bu yüzden resmi sunumum olmadı:

Ans→L₁:[[1,2,3,4,5,6,7,8][2,3,4,1,8,7,5,6][3,4,1,2,6,5,8,7][4,1,2,3,7,8,6,5][5,7,6,8,1,3,2,4][6,8,5,7,3,1,4,2][7,6,8,5,4,2,1,3][8,5,7,6,2,4,3,1:Ans(L₁(1),L₁(2

---

Not: TI-BASIC tokenize bir dildir. Karakter sayısı bayt sayısına eşit değil .

Jöle , 6 bayt

N⁹¡+%8

Bileşik dönüşümü sağlayan sağdaki ilk dönüşümü ve soldaki ikinci dönüşümü kabul eden ikili bağlantı.

Dönüşümler nerede:

as in question:  1    2    3    4    5    6    7    8
transformation: id  90a  180  90c  hor  ver  +ve  -ve
  code's label:  0    2    4    6    1    5    7    3

Çevrimiçi deneyin! ... Ya da sorudaki etiketlerle eşlenmiş tabloya bakın.

(Argümanlar 6 byter kullanılarak diğer sırada alınabilir, _+Ḃ?%8)

Nasıl?

Her etiket, dönüşümle eşdeğer olan (örneğin , eşdeğer ) bir dönüşüm horve +vedönüşüm dizisinin uzunluğudur .180hor, +ve, hor, +ve

Kompozisyon A,B, iki eşdeğer sekansın birleştirilmesine eşdeğerdir ve çıkarma veya toplama modulo sekiz için basitleştirmeye izin verir ...

Sorunun 7, 4örneğini kullanarak +ve, 90c:
hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve, hor , hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve

çünkü ... ama hor, horolan idelimizdeki:
hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve , +ve, hor, +ve, hor, +ve

çünkü ... ve +ve, +veolan idelimizdeki:
hor, +ve, hor, +ve, hor , hor, +ve, hor, +ve

... ve bu iptalleri şu şekilde tekrarlayabiliriz:
hor
.. uzunlukların çıkarılmasına eşdeğerdir ( 7-6=1).

90a, 180 $\rightarrow$ 2+4=6 $\rightarrow$ 90c

Son olarak, idsonuçta elde edilen sekans uzunluğu modülo sekizini alabilmemiz için sekiz uzunluklu bir sekans olduğuna dikkat edin .

N⁹¡+%8 - Link: B, A
  ¡    - repeat (applied to chain's left argument, B)...
 ⁹     - ...times: chain's right argument, A
N      - ...action: negate  ...i.e. B if A is even, otherwise -B
   +   - add (A)
    %8 - modulo eight

---

Sözlüksel permütasyon indeksleri kullanılarak bu uygulamadan 1 bayt daha kısadır :

œ?@ƒ4Œ¿

... [first, second]etiketli monadic Link kabul ediyor :

as in question:  1    2    3    4    5    6    7    8
transformation: id  90a  180  90c  hor  ver  +ve  -ve
  code's label:  1   10   17   19   24    8   15    6

JavaScript (Node.js) , 22 17 bayt

(x,y)=>y+x*7**y&7

$D_3$

 id | r1 | r2 | r3 | s0 | s1 | s2 | s3 
----+----+----+----+----+----+----+----
 0  | 2  | 4  | 6  | 1  | 3  | 5  | 7  

JavaScript'in eski sürümleri 22 bayt için çeşitli şekillerde desteklenebilir:

(x,y)=>(y&1?y-x:y+x)&7
(x,y)=>y-x*(y&1||-1)&7
(x,y)=>y+x*(y<<31|1)&7

Pas , 16 bayt

|a,b|a^b^a/2&b/4

Çevrimiçi deneyin!

Alephalpha'nın Python cevap limanı. Ama daha kısa.

Karaağaç , 42 bayt 19 bayt

\a b->and 7<|b+a*7^b

Neil'ın Node.js sürümünün bağlantı noktası

Çevrimiçi deneyin

Önceki versiyon:

\a b->and 7<|if and 1 a>0 then a-b else a+b

Python, 82 71 bayt

0-7

-11 ASCII yalnızca sayesinde bayt

lambda a,b:int("27pwpxvfcobhkyqu1wrun3nu1fih0x8svriq0",36)>>3*(a*8+b)&7

TIO

Scala , 161 bayt

BİLGİSAYAR'ı etiket olarak seçme .

val m="0123456712307645230154763012675446570213574620316574310274651320"
val s="COMPUTER"
val l=s.zipWithIndex.toMap
def f(a: Char, b: Char)=s(m(l(a)*8+l(b))-48)

Çevrimiçi deneyin!

Scala , 70 bayt

Etiket olarak 0-7 yerel tamsayı seçimi.

Matrisi 32 bayt ASCII dizgisine sıkıştırdı, her bir sayı çifti n0, n1 1 karakterine c = n0 + 8 * n1 + 49. 49'dan başlayarak kodlanmış dizede \ yok.

(a:Int,b:Int)=>"9K]oB4h]K9Vh4BoVenAJne3<_X<AX_J3"(a*4+b/2)-49>>b%2*3&7

Çevrimiçi deneyin!

C # (Visual C # Etkileşimli Derleyici) , 17 bayt

a=>b=>a^b^a/2&b/4

Port of alpehalpha'nın Python cevabı.

Çevrimiçi deneyin!

Perl 6 , 19 bayt

{($^x*7**$^y+$y)%8}

Neil limanının Python çözümü .

Çevrimiçi deneyin!

Wolfram Dili (Mathematica), 7 bayt (UTF-8 kodlaması)

#⊙#2&

İki argüman alan saf bir işlev. Burada gösterilen sembol ⊙aslında Mathematica'nın işlevi temsil eden özel Unicode sembolü F3DE (3 bayt) PermutationProduct.

Mathematica, dihedral grupları bilir ve Cycleskomutla yazılan çeşitli grupların elementlerini permütasyon olarak temsil eder . Örneğin, komutu çalıştırmak

GroupElements[DihedralGroup[4]]

çıktı verir:

{Cycles[{}], Cycles[{{2, 4}}], Cycles[{{1, 2}, {3, 4}}], 
 Cycles[{{1, 2, 3, 4}}], Cycles[{{1, 3}}], Cycles[{{1, 3}, {2, 4}}], 
 Cycles[{{1, 4, 3, 2}}], Cycles[{{1, 4}, {2, 3}}]}

PermutationProduct bu formda yazıldığında grup öğelerini çoğaltan işlevdir.

Kendi etiketlerimizi seçmemize izin verildiğinden, bu işlev grup etiketleri için bu etiketleri varsayar; bu etiketlerle sorunlu yerdekiler arasındaki dernek şu şekilde verilir:

Cycles[{}] -> 1
Cycles[{{1, 2, 3, 4}}] -> 2
Cycles[{{1, 3}, {2, 4}}] -> 3
Cycles[{{1, 4, 3, 2}}] -> 4
Cycles[{{2, 4}}] -> 5
Cycles[{{1, 3}}] -> 6
Cycles[{{1, 2}, {3, 4}}] -> 7
Cycles[{{1, 4}, {2, 3}}] -> 8

tl; dr Bir yerleşik var.