Giriş

Sayı teorisinde, asal faktörleri en fazla olduğunda bir sayının -pürüzsüz olduğunu söylüyoruz . Örneğin, 2940 = 7 pürüzsüzdür çünkü .$k$$k$$2940=2^2\cdot3\cdot5\cdot7^2$

Burada bir pürüzsüz çiftini, her ikisi de pürüzsüz olan iki ardışık tamsayı olarak tanımlarız. 7-düzgün çift örneği çünkü ve . Eğlenceli gerçek: Bu aslında en büyük 7 pürüzsüz çift .$k$$k$$(4374,4375)$$4374=2\cdot3^7$$4375=5^4\cdot7$

Størmer 1897'de her için sadece son derece çok sayıda pürüzsüz çift$k$$k$ olduğunu kanıtladı ve bu gerçek Størmer Teoremi olarak biliniyor .

Meydan okuma

Göreviniz, asal sayı girişi verildiğinde , tüm -çift çiftlerini çoğaltmadan (çift içindeki sıra önemli değil) çıktısı veren veya döndüren bir program veya işlev yazmaktır.$k$$k$

Lütfen , varsayıldığında, ve asal sayıları için , tüm pürüzsüz çiftlerinin de pürüzsüz çiftler olduğunu unutmayın.$p$$q$$p<q$$p$$q$

Örnek G / Ç

Input: 2
Output: (1, 2)

Input: 3
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (8, 9)

Input: 5
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (8, 9), (9, 10), (15, 16), (24, 25), (80, 81)

Input: 7
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10), (14, 15),
        (15, 16), (20, 21), (24, 25), (27, 28), (35, 36), (48, 49), (49, 50), (63, 64),
        (80, 81), (125, 126), (224, 225), (2400, 2401), (4374, 4375)

kısıtlama

Program veya fonksiyon teorik olarak tüm girdiler için sınırlı bir sürede sona ermelidir. Standart boşluklara varsayılan olarak izin verilmez.

Kazanma Kriterleri

Bu bir kod golf zorluğu olduğundan, her dil için en kısa geçerli başvuru kazanır.

JavaScript (ES7),  234  232 bayt

formundaki Pell denklemlerini çözerek çözümleri bulur; burada , düzgün karesız bir sayıdır.$x^2-2qy^2=1$$q$$P$

Bu, Derrick Henry Lehmer'ın Størmer'ın orijinal prosedüründen türetilen prosedürünün bir uygulamasıdır .

Anahtarları ve değerleri pürüzsüz çiftlerini tanımlayan bir nesne döndürür .$P$

P=>[...Array(P**P)].map((_,n)=>(s=(n,i=0,k=2)=>k>P?n<2:n%k?s(n,i,k+1):s(n/k,i,k+i))(n,1)&&(_=>{for(x=1;(y=((++x*x-1)/n)**.5)%1;);(h=(x,y)=>k--&&h(X*x+n*Y*y,X*y+Y*x,x&s(x=~-x/2)&s(x+1)?r[x]=x+1:0))(X=x,Y=y,k=P<5?3:-~P/2)})(),r={})&&r

Çevrimiçi deneyin!

Nasıl?

Yardımcı işlev , belirli bir tamsayısının ile çağrıldığında düz bir sayı olup olmadığını ya da ile çağrıldığında bir kare ¹ düz sayı olup olmadığını test eder .$s$$n$$P$$i=0$P i = 1 $P$$i=1$

s = (
  n,
  i = 0,
  k = 2
) =>
  k > P ?
    n < 2
  :
    n % k ?
      s(n, i, k + 1)
    :
      s(n / k, i, k + i)

Hepimiz kare ücretsiz arayın ¹ de Pürüzsüz numaraları , nerede bir üst gitmekte olarak kullanılır.$P$$[1..P^P-1]$$P^P$$P!$

P=>[...Array(P ** P)].map((_, n) => s(n, 1) && (...))

Yukarıda bulunan her sayısı için, Pell denkleminin temel çözümünü arıyoruz :$n$$x^2-ny^2=1$

(_ => {
  for(x = 1; (y = ((++x * x - 1) / n) ** .5) % 1;);
  ...
})()

(Yukarıdaki kod olmayan özyinelemeli versiyonudur cevabım için bu diğer meydan )

Temel çözüm bulunduğunda , yineleme ilişkilerini kullanarak çözümleri ile :$(x_1,y_1)$$(x_k,y_k)$$k\le max(3,(P+1)/2)$

Her biri için biz olmadığını test tek ve hem de ve olan Pürüzsüz. Eğer öyleyse, onları nesnesinde saklarız .$x_k$$x_k$$(x_k-1)/2$$(x_k+1)/2$$P$$r$

( h = (x, y) =>
  k-- &&
  h(
    X * x + n * Y * y,
    X * y + Y * x,
    x &
    s(x = ~-x / 2) &
    s(x + 1) ?
      r[x] = x + 1
    :
      0
  )
)(X = x, Y = y, k = P < 5 ? 3 : -~P / 2)

^{1: bölenler asallık test etmez çünkü işlev aslında ile denir bile, bazı kare olmayan serbest sayılar için truthy olacak . Fikir, çok fazla işe yaramayan Pell denkleminin çözülmemesi için çoğunu filtrelemektir.$s$$i=1$}

Jöle , 16 14 bayt

4*ÆfṀ<ɗƇ‘rƝLÐṂ

Çevrimiçi deneyin!

Daha büyük için verimsiz olan ancak hiçbirinin kaçırılmadığından emin olması gereken kadar çiftleri kontrol eder .$4^k$$k$

@JonathanAllan'a 1 bayt kaydettiği için teşekkürler!

açıklama

4*ÆfṀ<ɗƇ‘rƝLÐṂ  | Monadic link, input k

4*              | 4**k, call this n
      ɗƇ        | For each number from 1..n filter those where:
  Æf            |   - Prime factors
    Ṁ           |   - Maximum
     <  ‘       |   - Less than k+1
         rƝ     | Inclusive range between neighbouring values
           LÐṂ  | Keep only those of minimum length (i.e. adjacent values)

05AB1E , 8 bayt

°Lü‚ʒfà@

Çevrimiçi deneyin!

Açıklama:

°            # 10 ** the input
 Lü‚         # list of pairs up to that number
    ʒ        # filtered by...
     fà      # the greatest prime factor (of either element of the pair)...
       @     # is <= the input

Jöle , 123 bayt

¹©Æ½Ø.;µU×_ƭ/;²®_$÷2ị$}ʋ¥⁸;+®Æ½W¤:/$$µƬṪ€F¹;Ḋ$LḂ$?ṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ịWµ1ịżU×®W¤Ɗ$æ.0ị$ṭµ³’H»3¤¡
ÆRŒPP€ḟ2ḤÇ€ẎḢ€+€Ø-HÆfṀ€<ẠʋƇ‘

Çevrimiçi deneyin!

$2×$$\max(3, \frac{k+1}{2})$$\frac{x-1}{2}, \frac{x+1}{2}$

Tek bir argüman alan, ve çift listelerinin listesini döndüren tam bir program . Yukarıdaki kod son çıktıyı sıralamaz, ancak TIO bağlantısı sıralar.$k$

Haskell , 118107 bayt

Nimi sayesinde -11 bayt

q 1=[1]
q n=(:)<*>q.div n$[x|x<-[2..n],mod n x==0]!!0
f k|let r=all(<=k).q=[(n,n+1)|n<-[1..4^k],r n,r(n+1)]

Çevrimiçi deneyin!

• q n tüm asal faktörlerin bir listesini hesaplar n
• f klistesini oluşturur bütün çiftlerinin bir listesini filtreleyerek, belirli bir k Pürüzsüz çiftleri$k$

Jöle , 24 bayt

³!²R‘Ė
ÇÆFḢ€€€’<³FȦ$€Tị¢

Çevrimiçi deneyin!

Bu 7 için uzun zaman alır, ancak faktöriyelerin karesini kaldırırsanız çok daha hızlı hesaplar: Çevrimiçi deneyin!

Açıklama:

³!²R‘Ė                Generates a list like [[1,2],[2,3],...]
³!²                  Take the square of the factorial of the input
   R                 Range 1 through through the above number.
    ‘Ė               Decrement and enumerate, yielding desired list


ÇÆFḢ€€€’<³FȦ$€Tị¢  
Ç                    Get the list of pairs  
 ÆF                  Get the prime factors of each number
   Ḣ€€€              Get the base of each
       ’<³           Is each base less than or equal to the input?
          FȦ$€       Check that all bases of a pair fit the above.
              T      Get a list of the truthy indexes
               ị¢    Index into the original list of pairs
                     Implicit output

@JonathanAllen sayesinde -3 bayt

Python 3 + sympy, 116 bayt

import sympy
def f(k):x=[i for i in range(2,4**k)if max(sympy.factorint(i))<=k];return[(y,y+1)for y in x if y+1in x]

Çevrimiçi deneyin!

Python 3 + sympy, 111 bayt

from sympy import*
def f(k):
 b=1
 for i in range(2,4**k):
  x=max(factorint(i))<=k
  if x&b:print(i-1,i)
  b=x

Çevrimiçi deneyin!

Jelly'imde ama Python 3'te iki varyasyon var . İkisi de argümanı kabul eden bir işlev tanımlar k. Birincisi, kriterlere uyan çiftlerin tuples listesini döndürür. İkincisi onları stdout'a yazdırır.

Wolfram Dili (Mathematica) , 241 bayt

Pell denklemlerini kullanır

(s=#;v@a_:=Max[#&@@@#&/@FactorInteger@a]<=s;Select[{#-1,#+1}/2&/@(t={};k=y=1;While[k<=Max[3,(s+1)/2],If[IntegerQ[x=Sqrt[1+2y^2#]],t~AppendTo~x;k++];y++];t),v@#&]&/@Join[{1},Select[Range[3,Times@@Prime@Range@PrimePi@s],SquareFreeQ@#&&v@#&]])&

Çevrimiçi deneyin!

Pyth , 15 bayt

f!>#QsPMTCtBS^4

Çevrimiçi deneyin!

Nick Kennedy'nin hiçbir çıktı sayısından daha büyük olmayacağı gözlemini kullanır 4^k.

05AB1E , 16 bayt

°LʒfàI>‹}Xšü‚ʒ¥`

$n\gt3$

Açıklama:

°                # Take 10 to the power of the (implicit) input
 L               # Create a list in the range [1, 10^input]
  ʒ              # Filter this list by:
   fà            #  Get the maximum prime factor
     I>‹         #  And check if it's smaller than or equal to the input
        }Xš      # After the filter: prepend 1 again
           ü‚    # Create pairs
             ʒ   # And filter these pairs by:
              ¥` #  Where the forward difference / delta is 1

Stax , 14 bayt

Θ",²aÇu,á‼⌐çLB

Çalıştır ve hata ayıkla

Bu mümkün olan en kısa program değildir, ancak eşleşen çiftler bulunur bulunmaz çıktı üretmeye başlar. Sonunda sona erer , ancak çıktı bulunduğu gibi üretilir.

Yakut , 89 + 8 = 97 bayt

-rprime$i$$4^n$[i, i+1]$n$falsefalse

->n{g=->x{x.prime_division.all?{|b,_|b<=n}};(1..4**n).map{|i|g[i]&&g[i+1]&&[i,i+1]}-[!1]}

Çevrimiçi deneyin!