Ultraradikal Nedir?

Ultraradical gerçek numarası, veya getirmek radikali quintic denkleminin tek gerçek kökü olarak tayin edilir .$a$$x^5+x+a=0$

Burada ultra radikal işlevi belirtmek için kullanıyoruz. Örneğin, , beri .$UR(\cdot)$$UR(-100010)=10$$10^5+10-100010=0$

Meydan okuma

Girdi olarak gerçek bir sayı alan ve ultra radikalini döndüren veya çıkaran tam bir program veya işlev yazın.

Gereksinimler

Standart boşluklara izin verilmez. Aşağıdaki test durumları için sonuçların en az 6 önemli haneye kadar doğru olması gerekir, ancak genel olarak program herhangi bir geçerli gerçek sayı girişi için karşılık gelen değerleri hesaplamalıdır.

Test Kılıfları

0'a yuvarlanan 9 ondalık basamak referans için verilmiştir. Bazı test durumları için açıklama eklendi.

 a                         | UR(a)
---------------------------+---------------------
             0             |   0.000 000 000        # 0
             1             |  -0.754 877 (666)      # UR(a) < 0 when a > 0
            -1             |   0.754 877 (666)      # UR(a) > 0 when a < 0
             1.414 213 562 |  -0.881 616 (566)      # UR(sqrt(2))
            -2.718 281 828 |   1.100 93(2 665)      # UR(-e)
             3.141 592 653 |  -1.147 96(5 385)      # UR(pi)
            -9.515 716 566 |   1.515 71(6 566)      # 5th root of 8, fractional parts should match
            10             |  -1.533 01(2 798)
          -100             |   2.499 20(3 570)
         1 000             |  -3.977 89(9 393)
      -100 010             |  10.000 0(00 000)      # a = (-10)^5 + (-10)
 1 073 741 888             | -64.000 0(00 000)      # a = 64^5 + 64

Kazanma Kriterleri

Her dilde en kısa geçerli gönderim kazanır.

Wolfram Dili (Mathematica) , 20 bayt

Root[xx^5+x+#,1]&

Çevrimiçi deneyin!

Hala bir yerleşik, ama en azından değil UltraRadical.

(karakter , JS'deki gibi |->, Mathematica'daki gibi görüntülenir =>)

Python 3.8 (yayın öncesi) , 60 bayt

f=lambda n,x=0:x!=(a:=x-(x**5+x+n)/(5*x**4+1))and f(n,a)or a

Çevrimiçi deneyin!

Newton yineleme yöntemi. $x' = x - \frac {f(x)} {f'(x)} = x - \frac {x^5+x+n} {5x^4+1}$

Kullanırken $\frac {4x^5-n} {5x^4+1}$ matematiksel olarak eşdeğerdir, program döngüsünü sonsuza dek yapar.

Diğer yaklaşım:

Python 3.8 (yayın öncesi) , 102 bayt

lambda x:a(x,-x*x-1,x*x+1)
a=lambda x,l,r:r<l+1e-9and l or(m:=(l+r)/2)**5+m+x>0and a(x,l,m)or a(x,m,r)

Çevrimiçi deneyin!

İkili arama, işlevin x^5+x+aarttığı göz önüne alındığında . İçin sınır ayarlayın -abs(x)ve abs(x)yeterli ama -x*x-1ve x*x+1kısadır.

BTW Python'un özyineleme sınırı biraz düşük, bu nedenle 1e-9 değerine sahip olmak gerekiyor ve :=buna mors operatörü denir.

JavaScript (ES7), 44 bayt

Aşağıdaki gibi aynı formülü kullanan ancak sabit sayıda yinelemeye sahip daha güvenli bir sürüm.

n=>(i=1e3,g=x=>i--?g(.8*x-n/(5*x**4+5)):x)``

Çevrimiçi deneyin!

JavaScript (ES7),  43  42 bayt

Newton'un yöntemi, f ′ ( x ) = 5 x 4 + 1'in yaklaşık olarak $5x^4+5$ kullanılması .$f'(x)=5x^4+1$

n=>(g=x=>x-(x-=(x+n/(x**4+1))/5)?g(x):x)``

Çevrimiçi deneyin!

Nasıl?

$x_0=0$ ile başlıyoruz ve tekrarlı olarak hesaplıyoruz:

kadar $x_k-x_{k+1}$ önemsizdir.

Jöle , 8 bayt

;17B¤ÆrḢ

Çevrimiçi deneyin!

Nasıl çalışır:

• Listesini , ikili temsili için [a, 1, 0, 0, 0, 1]hazırlayarak aoluşturur 17. Neden bu liste? Çünkü aradığımız katsayılara karşılık geliyor:

  [a, 1, 0, 0, 0, 1] -> P(x) := a + 1*x^1 + 0*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4 + 1*x^5 = a + x + x^5
  

• Daha sonra, katsayıların bir listesi verilen (daha önce inşa ettiklerimiz) verilen Ærpolinom denklemini çözen bir yerleşiktir P(x) = 0.

• Yalnızca gerçek çözümle ilgileniyoruz, bu nedenle çözüm listesine ilk girişi alıyoruz Ḣ.

APL (Dyalog Unicode) , 11 10 bayt ^SBCS

-1 dzaima sayesinde

Anonim zımni önek işlevi.

(--*∘5)⍣¯1

Çevrimiçi deneyin!

(… )⍣¯1 Bir kez aşağıdaki taktik fonksiyonunu negatif uygulayın:

 - reddedilen argüman

 - eksi

 *∘5 argüman 5 gücüne yükseltildi

Aslında, şunu sorar: Sonuç y olacak şekilde hangi $x$$f(x)=-x-x^5$ beslemem gerekir ?$y$

R , 43 bayt

function(a)nlm(function(x)abs(x^5+x+a),a)$e

Çevrimiçi deneyin!

nlm$x\mapsto |x^5+x+a|$nlma

R , 56 bayt

function(x)(y=polyroot(c(x,1,0,0,0,1)))[abs(Im(y))<1e-9]

Çevrimiçi deneyin!

polyroot$a$polyroot

J , 14 bayt

{:@;@p.@,#:@17

Çevrimiçi deneyin!

J, polinomları çözmek için yerleşikti. p.

Son 4 test TIO'da zaman aşımına uğradı, ancak teoride hala doğru.

Nasıl

J'nin yerleşikine ilişkin polinom katsayıları, x^0ilk katsayısı olan sayısal bir liste olarak alınır . Bunun anlamı listenin:

a 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1İkili sayı ise 17'dir, bu yüzden onu temsil ediyoruz #:@17, sonra girişi ekleyin ,, sonra uygulayın p., sonra sonuçları raze ile açın ;, sonra son elemanı alın.{:

Ruby , 53 41 bayt

->a{x=a/=5;99.times{x-=a/(x**4+1)+x/5};x}

Çevrimiçi deneyin!

Newton-Raphson’u sabit sayıda yineleme ve Arnauld ile aynı yaklaşım hilesiyle kullanma

Pari / GP , 34 32 26 24 bayt

a->-solve(X=0,a,a-X-X^5)

Çevrimiçi deneyin!

05AB1E , 12 bayt

ΔyIy4m>/+5/-

Çevrimiçi deneyin!

Newton'ın yöntemi.

k4, 33 31 bayt

{{y-(x+y+*/5#y)%5+5*/4#y}[x]/x}

newton-raphson, bir sayı bir araya gelinceye kadar yinelemeli olarak hesaplandı.

düzenleme: -2 ngn sayesinde!

Hata! Bunları yanlış anladım.

K (oK), 10 bayt

{-x+*/5#x}

Pari / GP , 24 bayt

a->polrootsreal(x^5+x+a)

Çevrimiçi deneyin!

Cı, 118b / 96b

#include<math.h>
double ur(double a){double x=a,t=1;while(fabs(t)>1e-6){t=x*x*x*x;t=(x*t+x+a)/(5*t+1);x-=t;}return x;}

Orijinal işlev adına ve bazı ekstra hassasiyetlere sahip 118 bayt (çift). Bit hackleri ile daha iyi olabilir ama taşınabilir değil.

Sabit yinelemeli 96 bayt.

double ur(double a){double x=a,t;for(int k=0;k<99;k++){t=x*x*x*x;x=(4*x*t-a)/(5*t+1);}return x;}

Aslında, fonksiyonumuz o kadar iyi ki Newton'un metodunu daha iyi uyarlayabiliriz. Çok daha hızlı ve pratik uygulama (150 bayt) olur

#include<math.h>
double ur(double a){double x=a/5,f=1,t;while(fabs(f)>1e-6){t=x*x*x*x;f=(t*(5*t*x+5*a+6*x)+a+x)/(15*t*t-10*a*x*x*x+1);x-=f;}return x;}

Çalıştığını kontrol ettim ama ne kadar hızlı olacağını bulmak için çok tembelim. Newton'dan en az bir sipariş daha hızlı olmalı.

Temiz , 61 60 bayt

import StdEnv
$a=iter 99(\x=(3.0*x^5.0-a)/inc(4.0*x^4.0))0.0

Çevrimiçi deneyin!

Newton'un metodu, ilk önce user202729'un cevabında uygulandı .

Temiz , 124 bayt

import StdEnv
$a= ?a(~a)with@x=abs(x^5.0+x+a);?u v|u-d==u=u|v+d==v=v= ?(u+if(@u< @v)0.0d)(v-if(@u> @v)0.0d)where d=(v-u)/3E1

Çevrimiçi deneyin!

Arama alanını, her yinelemede% 50 yerine yüksek ve düşük sınırlar arasındaki aralığın% 99,6'sının üst veya altına daraltan "ikili" bir arama.

Python 3 + sympy, 72 bayt

lambda y:float(sympy.poly("x**5+x+"+str(y)).all_roots()[0])
import sympy

Çevrimiçi deneyin!

Octave , 25 bayt

@(a)fzero(@(x)x^5+x+a,-a)

Çevrimiçi deneyin!

Maplesoft Maple , 23 bayt

f:=a->fsolve(x^5+x+a=0)

Ne yazık ki, orada çevrimiçi hiçbir Maple derleyici / hesap AFAIK yok. Ancak kod oldukça basittir.