İki pozitif sayı verildiğinde xve nile x<2^n, hesaplamak için mümkün olan en kısa fonksiyonu yazın x^-1 mod 2^n. Başka bir deyişle, yböyle bulun x*y=1 mod 2^n.

İşleviniz en azından makul bir sürede tamamlanmalıdır n=64, bu nedenle kapsamlı arama çalışmaz.

Tersi yoksa, bunu arayana bir şekilde belirtmelisiniz (bir istisna atın, bir sentinel değeri döndürün, vb.).

Nereden başlayacağınızı merak ediyorsanız Genişletilmiş Öklid Algoritmasını deneyin .

Python 95 89

csenin fonksiyonun. Tersi yoksa 0 döndürür (yani x eşit olduğunda).

p=lambda x,y,m:y and p(x,y/2,m)**2*x**(y&1)%m or 1
c=lambda x,n:[0,p(x,2**n-1,2**n)][x%2]

Python, 29 bayt

lambda x,n:pow(x,2**n-1,2**n)

Bu çift x için 0 döndürür . Euler teoremini, Python'un yerleşik hızlı modüler üstellemesi yoluyla 2 ^ n - 1'in 2 ^ ( n - 1) - 1 ile bölünebileceği gözlemiyle kullanır . Bu, yaklaşık bir saniyeden fazla sürmeye başladığı 7000'e kadar n için yeterince hızlıdır .

Mathematica - 22

f=PowerMod[#,-1,2^#2]&

f[x,n]döner yile x*y=1 mod 2^naksi halde,x is not invertible modulo 2^n

GolfScript (23 karakter)

{:^((1${\.**2^?%}+*}:f;

Var olmayan bir tersin nöbetçi sonucu budur 0.

Bu, Euler teoreminin basit bir uygulamasıdır . , yani$x^{\varphi(2^n)} \equiv 1 \pmod {2^n}$$x^{-1} \equiv x^{2^{n-1}-1} \pmod {2^n}$

Ne yazık ki bu doğrudan hesaplamak için çok büyük bir üstel, bu yüzden bir döngü kullanmalı ve döngü içinde modüler azaltma yapmalıyız. Yinelemeli adım ve temel durum bir seçim: ya ile$x^{2^k-1} = \left(x^{2^{k-1}-1}\right)^2 \times x$k=1

{1\:^(@{\.**2^?%}+*}:f;

veya k=2ile

{:^((1${\.**2^?%}+*}:f;

Başka bir yaklaşım üzerinde çalışıyorum, ancak nöbetçi daha zor.

Temel gözlem, tersi inşa edebilmemizdir: sonra ve eğer garip Elimizdeki . (Eğer ikna değilseniz, iki vakayı ayrı ayrı kontrol edin). Böylece herhangi bir uygun temel durumda başlayabilir ve dönüşümünü uygun sayıda uygulayabiliriz .$xy \equiv 1 \pmod{2^{k-1}}$$xy \in \{ 1, 1 + 2^{k-1} \} \pmod{2^k}$$x$$x(y + xy-1) \equiv 1 \pmod{2^k}$$y' = (x+1)y - 1$

beri indüksiyonla$0x \equiv 1 \pmod {2^0}$

$x\left(\frac{1 - (x+1)^n}{x}\right) \equiv 1 \pmod {2^n}$

burada tersi geometrik dizinin toplamıdır. Şapkadan tavşan efektinden kaçınmak için derivasyonu gösterdim: bu ifade verildiğinde bunu görmek kolaydır (köşeli parantez değerinin bir tamsayı toplamı olarak türetilmesinden sonra gelen bir tam sayı olduğu göz önüne alındığında) sekans) eşitse soldaki ürün doğru eşdeğerlik sınıfında olmalıdır .$x+1$

19 karakterlik fonksiyon

{1$)1$?@/~)2@?%}:f;

tersi olan girdiler için doğru cevaplar verir. Ancak, eşit olduğunda o kadar da basit değildir . Bulduğum potansiyel olarak ilginç bir seçenek, eklemek yerine eklemek .$x$x&11

{1$.1&+1$?@/~)2@?%}:f;

Bu, veya sentinel değerleri veriyor gibi görünüyor , ancak henüz bunu kanıtlamadım.$0$$2^{n-1}$

Bundan başka bir adım, biz bir sentinel sağlamak olabilir alarak ekspresyonunu değiştirerek çift sayı için içine :$0$$1 - (x+1)^n$$1 - 1^n$

{1$.1&*)1$?@/~)2@?%}:f;

Bu, kod uzunluğu için Euler teoreminin doğrudan uygulanmasına bağlıdır, ancak büyük için daha kötü performans gösterecektir . Eğer argümanları başka bir yoldan alırsak, bir karakteri kaydedebilir ve 22 karakter elde edebiliriz :$n$n x f

{..1&*)2$?\/~)2@?%}:f;

Ruby - 88 karakter

İşlevi kullanın f.

def e a,b;a%b==0?[0,1]:(x,y=e(b,a%b);[y,x-(y*(a/b))])end
def f x,n;e(x,2**n)[0]*(x%2)end

Bağlantılı wiki sayfasındaki özyinelemeli işlev, hata durumunda 0 döndürür.

Haskell, 42 bayt

_!1=1
x!n|r<-x!div(n+1)2=(2-r*x)*r`mod`2^n

Her yinelemede basamak sayısını iki katına çıkaran Hensel lemmasına dayanan bir algoritma kullanarak , bu yaklaşık 30 milyona kadar n için bir saniyenin altında çalışır !

Pyth , 9 bayt

.^Et^2Q^2

Burada deneyin!

Girişi ters sırada alır. Veya, 9 çok bayt: .^EtK^2QK.

açıklama

. ^ Et ^ 2Q ^ 2 - Tam program.

. ^ - Pow işlevi. Aynı şey Python (pow) için de geçerlidir.
  E - İkinci giriş.
    ^ 2Q - Ve 2 ^ ilk giriş.
   t - Azalan.
       ^ 2 - Ve tekrar 2 ^ ilk giriş.

GAP, 39 bayt

f:=function(x,n)return 1/x mod 2^n;end;

f(x,n)xmodulo'nun tersini döndürür 2^nve bir hata mesajı verir

Error, ModRat: for <r>/<s> mod <n>, <s>/gcd(<r>,<s>) and <n> must be coprime

tersi yoksa.