Hangi sonlu abelyan grubu bu?

12

Açıklama

f(m, G)Bağımsız değişken olarak bir eşleme mve farklı, negatif olmayan tamsayıların bir kümesini / listesini kabul eden bir işlev yazın G.

miçindeki tamsayı çiftlerini Gyeni tamsayılarla eşleştirmelidir G. ( G, m) 'nin sonlu bir abelya grubu oluşturması garanti edilir , ancak herhangi bir unsuru Gkimlik olabilir.

Önemli bir teorem var:

[Her sonlu abelya grubu], döngüsel prime güç düzeni gruplarının doğrudan çarpımı için izomorfiktir.

fasal güçlerin listesini [p1, ... pn]artan sırada döndürmelidir .G, Z_p1 kere izomorfiktir ... kez Z_pn

Örnekler

  • f((a, b) → (a+b) mod 4, [0, 1, 2, 3])dönmelidir [4]parametreler grup açıklamak gibi Z 4 .

  • f((a, b) → a xor b, [0, 1, 2, 3])dönmelidir [2, 2]parametreleri izomorf bir grubu tarif olarak, Z 2 x Z 2 .

  • f((a, b) → a, [9])[]parametreler önemsiz grubu tanımladığı için geri dönmelidir ; yani sıfır siklik grupların ürünü.

  • Aşağıdaki mgibi tanımlayın :

    (a, b) → (a mod 3 + b mod 3) mod 3
       + ((floor(a / 3) + floor(b / 3)) mod 3) * 3
       + ((floor(a / 9) + floor(b / 9)) mod 9) * 9

    Daha sonra f(m, [0, 1, ..., 80])geri [3, 3, 9]dönmelisiniz, çünkü bu grup Z 3 × Z 3 × Z 9'a izomorfiktir

kurallar

  • mbir işlev (veya bazı işlevlere ilişkin işlev işaretçisi) Int × Int → Intveya sözlüğünün G × Gyeni öğelerine eşlenen bir sözlük eşlemesi olabilir G.

  • fparametrelerini ters sırayla alabilir, yani uygulayabilirsiniz f(G, m).

  • Uygulamanız teorik olarak keyfi olarak büyük girdiler için çalışmalıdır, ancak aslında verimli olması gerekmez.

  • Herhangi bir tür yerleşik kullanım konusunda herhangi bir sınırlama yoktur.

  • Standart kod golf kuralları geçerlidir. Bayt cinsinden en kısa kod kazanır.

Liderler Sıralaması

Puanınızın tahtada görünmesi için şu biçimde olması gerekir:

# Language, Bytes

Kod snippet'ini göster

code-golf  math  abstract-algebra 
— Lynn
kaynak
Eğer mbir sözlük olmasına izin, siz de sözlüklerde olarak test durumları sağlayabilir?
— Martin Ender
Bunu düşündüm, ama oldukça büyükler, özellikle son durum (binlerce anahtar / değer çifti) ve onlar için çok iyi bir format düşünemiyorum. Yanıtlayanların işlev tanımlarını kopyalaması ve daha sonra sözlükleri kendileri (örneğin bir şeyle for a in G: for b in G: d[(a, b)] = m(a, b)) oluşturmaları muhtemelen daha kolaydır .
— Lynn
Bence doğru. Yaptığınızı doğrulamak için macununuzu yeterince anlamlandıramıyorum, ancak bu bunu kanıtlamalıdır: bpaste.net/show/5821182a9b48
— Lynn
Başınızı etrafına sarmaya yardımcı olmak için: biçimdeki tritlere sahip üçlü sayılar üzerinde çalışır, AABCbunları üçlü olarak muamele eder (A, B, C), çift ekleme modülü ile (9, 3, 3).
— Lynn
Oh, sadece (çok aptalca) hatamı fark ettim. Snippet'in için teşekkürler!
— flawr

Yanıtlar:

5

Matlab, 326 bayt

Bazı grup teorileriyle bu fikir oldukça basittir: İşte TL; DR Grubun elemanlarının tüm olası emirlerini hesaplayın. Sonra belli bir ana güç düzeninin en büyük alt grubunu bulun ve gruptan "çarpanlarına ayırın", durulayın, tekrarlayın.

function r=c(h,l)

                            %factorize group order
N=numel(L);
f=factor(N);
P=unique(f);                %prime factors
for k=1:numel(P);
    E(k)=sum(f==P(k));    %exponents of unique factors
end;

                            %calculate the order O of each element
O=L*0-1; 
l=L;
for k=2:N+1;

    l=h(l,L);

    O(l==L & O<0)=k-1
end;

%%

O=unique(O);               % (optional, just for speedupt)
R=[];
                           % for each prime,find the highest power that
                           % divides any of the orders of the element, and
                           % each time substract that from the remaining
                           % exponent in the prime factorization of the
                           % group order
for p=1:nnz(P);                          % loop over primes
    while E(p)>1;                        % loop over remaining exponent
        for e=E(p):-1:1;                 % find the highest exponent
            B=mod(O,P(p)^e)==0;          
            if any(B)
                R=[R,P(p)^e];            % if found, add to list
                O(B)=O(B)/(P(p)^e);
                E(p)=E(p)-e;
                break;
            end;
        end;
    end;
    if E(p)==1;
        R=[R,P(p)];
    end;
end;
r=sort(R)

Örnek girişler:

L = 0:3;
h=@(a,b)mod(a+b,4);
h=@(a,b)bitxor(a,b);
L = 0:80;
h=@(a,b)mod(mod(a,3)+mod(b,3),3)+mod(floor(a/3)+floor(b/3),3)*3+ mod(floor(a/9)+floor(b/9),9)*9;

Golf versiyonu:

function r=c(h,l);N=numel(L);f=factor(N);P=unique(f);for k=1:numel(P);E(k)=sum(f==P(k));end;O=L*0-1;l=L;for k=2:N+1;l=h(l,L);O(l==L&O<0)=k-1;end;R=[];for p=1:nnz(P);while E(p)>1;for e=E(p):-1:1;B=mod(O,P(p)^e)==0; if any(B);R=[R,P(p)^e]; O(B)=O(B)/(P(p)^e);E(p)=E(p)-e;break;end;end;end;if E(p)==1;R=[R,P(p)];end;end;r=sort(R)
— flawr
kaynak
1

GAP , 159111 bayt

GAP, bir grubu çarpım tablosuyla oluşturmamıza ve onun abelyan değişmezlerini hesaplamamıza izin verir:

ai:=    # the golfed version states the function w/o assigning it
function(m,G)
  local t;
  t:=List(G,a->List(G,b->Position(G,m(a,b))));
  # t is inlined in the golfed version
  return AbelianInvariants(GroupByMultiplicationTable(t));
end;

Eski sürüm

G jeneratörleri ve a * b = m (a, b) (son olarak G'den a, b) ile ilişkiler içeren sonlu olarak sunulan grup, başladığımız gruptur (G, m). Bunu oluşturabilir ve abelyan değişmezlerini GAP ile hesaplayabiliriz:

ai:=    # the golfed version states the function w/o assigning it
function(m,G)
  local F,n,rels;
  n:=Size(G);
  F:=FreeGroup(n);
  rels:=Union(Set([1..n],i->
                Set([1..n],j->
                  F.(i)*F.(j)/F.(Position(G,m(G[i],G[j]))) ) ));
  # rels is inlined in the golfed version
  return AbelianInvariants(F/rels);
end;

Örnekler

m1:=function(a,b) return (a+b) mod 4; end;
# I don't feel like implementing xor
m3:=function(a,b) return 9; end;
m4:=function(a,b)
  return (a+b) mod 3 # no need for inner mod
         + ((QuoInt(a,3)+QuoInt(b,3)) mod 3) * 3
         + ((QuoInt(a,9)+QuoInt(b,9)) mod 9) * 9;
  end;

Şimdi yapabiliriz:

gap> ai(m1,[0..3]);
[ 4 ]

Aslında, tamsayıların listesini kullanmakla sınırlı değiliz. Doğru etki alanını kullanarak genel artıyı kullanabiliriz:

ai(\+,List(Integers mod 4));
[ 4 ]

Yani esas olarak, ikinci örneğini, grubunun 2 elemanlı alan üzerinde 2 boyutlu vektör uzayının ilave grubuna izomorf olduğunu kullanarak yapabilirim:

gap> ai(\+,List(GF(2)^2));
[ 2, 2 ]

Ve geri kalan örnekler:

gap> ai(m3,[9]);
[  ]
gap> ai(m4,[0..80]);
[ 3, 3, 9 ]

Ek açıklamalar

Eski versiyonda, m'nin G için bir grup kompozisyonu tanımlaması gerekmiyordu. M (a, b) = m (a, c) ise, bu sadece b = c olduğunu söyler. Böylece yapabiliriz ai(m1,[0..5])ve ai(m3,[5..15]). Yeni sürüm bu durumlarda korkunç başarısız olur, m her ikisi de m'de G olmayan değerleri döndürürse.

(G, m) abelyan değilse, onun abelyanlaştırılmış versiyonunun bir tanımını alırız, bu onun en büyük abelya faktör grubu:

gap> ai(\*,List(SymmetricGroup(4)));
[ 2 ]

Bu nedir AbelianInvariantsgenellikle, normalde sadece çağırır için kullanılır AbelianInvariants(SymmetricGroup(4)).

Golfçü versiyon

function(m,G)return AbelianInvariants(GroupByMultiplicationTable(List(G,a->List(G,b->Position(G,m(a,b))))));end
— Hıristiyan Elekler
kaynak
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.