C, 0.026119'lar (12 Mar 2016)
#include <math.h>
#include <stdint.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <time.h>
#define cache_size 16384
#define Phi_prec_max (47 * a)
#define bit(k) (1ULL << ((k) & 63))
#define word(k) sieve[(k) >> 6]
#define sbit(k) ((word(k >> 1) >> (k >> 1)) & 1)
#define ones(k) (~0ULL >> (64 - (k)))
#define m2(k) ((k + 1) / 2)
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define ns(t) (1000000000 * t.tv_sec + t.tv_nsec)
#define popcnt __builtin_popcountll
#define mask_build(i, p, o, m) mask |= m << i, i += o, i -= p * (i >= p)
#define Phi_prec_bytes ((m2(Phi_prec_max) + 1) * sizeof(int16_t))
#define Phi_prec(i, j) Phi_prec_pointer[(j) * (m2(Phi_prec_max) + 1) + (i)]
#define Phi_6_next ((i / 1155) * 480 + Phi_5[i % 1155] - Phi_5[(i + 6) / 13])
#define Phi_6_upd_1() t = Phi_6_next, i += 1, *(l++) = t
#define Phi_6_upd_2() t = Phi_6_next, i += 2, *(l++) = t, *(l++) = t
#define Phi_6_upd_3() t = Phi_6_next, i += 3, *(l++) = t, *(l++) = t, *(l++) = t
typedef unsigned __int128 uint128_t;
struct timespec then, now;
uint64_t a, primes[4648] = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }, *primes_fastdiv;
uint16_t *Phi_6, *Phi_prec_pointer;
inline uint64_t Phi_6_mod(uint64_t y)
{
if (y < 30030)
return Phi_6[m2(y)];
else
return (y / 30030) * 5760 + Phi_6[m2(y % 30030)];
}
inline uint64_t fastdiv(uint64_t dividend, uint64_t fast_divisor)
{
return ((uint128_t) dividend * fast_divisor) >> 64;
}
uint64_t Phi(uint64_t y, uint64_t c)
{
uint64_t *d = primes_fastdiv, i = 0, r = Phi_6_mod(y), t = y / 17;
r -= Phi_6_mod(t), t = y / 19;
while (i < c && t > Phi_prec_max) r -= Phi(t, i++), t = fastdiv(y, *(d++));
while (i < c && t) r -= Phi_prec(m2(t), i++), t = fastdiv(y, *(d++));
return r;
}
uint64_t Phi_small(uint64_t y, uint64_t c)
{
if (!c--) return y;
return Phi_small(y, c) - Phi_small(y / primes[c], c);
}
uint64_t pi_small(uint64_t y)
{
uint64_t i, r = 0;
for (i = 0; i < 8; i++) r += (primes[i] <= y);
for (i = 21; i <= y; i += 2)
r += i % 3 && i % 5 && i % 7 && i % 11 && i % 13 && i % 17 && i % 19;
return r;
}
int output(int result)
{
clock_gettime(CLOCK_REALTIME, &now);
printf("pi(x) = %9d real time:%9ld ns\n", result , ns(now) - ns(then));
return 0;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
uint64_t b, i, j, k, limit, mask, P2, *p, start, t = 8, x = atoi(argv[1]);
uint64_t root2 = sqrt(x), root3 = pow(x, 1./3), top = x / root3 + 1;
uint64_t halftop = m2(top), *sieve, sieve_length = (halftop + 63) / 64;
uint64_t i3 = 1, i5 = 2, i7 = 3, i11 = 5, i13 = 6, i17 = 8, i19 = 9;
uint16_t Phi_3[] = { 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8 };
uint16_t *l, *m, Phi_4[106], Phi_5[1156];
clock_gettime(CLOCK_REALTIME, &then);
sieve = malloc(sieve_length * sizeof(int64_t));
if (x < 529) return output(pi_small(x));
for (i = 0; i < sieve_length; i++)
{
mask = 0;
mask_build( i3, 3, 2, 0x9249249249249249ULL);
mask_build( i5, 5, 1, 0x1084210842108421ULL);
mask_build( i7, 7, 6, 0x8102040810204081ULL);
mask_build(i11, 11, 2, 0x0080100200400801ULL);
mask_build(i13, 13, 1, 0x0010008004002001ULL);
mask_build(i17, 17, 4, 0x0008000400020001ULL);
mask_build(i19, 19, 12, 0x0200004000080001ULL);
sieve[i] = ~mask;
}
limit = min(halftop, 8 * cache_size);
for (i = 21; i < root3; i += 2)
if (sbit(i))
for (primes[t++] = i, j = i * i / 2; j < limit; j += i)
word(j) &= ~bit(j);
a = t;
for (i = root3 | 1; i < root2 + 1; i += 2)
if (sbit(i)) primes[t++] = i;
b = t;
while (limit < halftop)
{
start = 2 * limit + 1, limit = min(halftop, limit + 8 * cache_size);
for (p = &primes[8]; p < &primes[a]; p++)
for (j = max(start / *p | 1, *p) * *p / 2; j < limit; j += *p)
word(j) &= ~bit(j);
}
P2 = (a - b) * (a + b - 1) / 2;
for (i = m2(root2); b --> a; P2 += t, i = limit)
{
limit = m2(x / primes[b]), j = limit & ~63;
if (i < j)
{
t += popcnt((word(i)) >> (i & 63)), i = (i | 63) + 1;
while (i < j) t += popcnt(word(i)), i += 64;
if (i < limit) t += popcnt(word(i) & ones(limit - i));
}
else if (i < limit) t += popcnt((word(i) >> (i & 63)) & ones(limit - i));
}
if (a < 7) return output(Phi_small(x, a) + a - 1 - P2);
a -= 7, Phi_6 = malloc(a * Phi_prec_bytes + 15016 * sizeof(int16_t));
Phi_prec_pointer = &Phi_6[15016];
for (i = 0; i <= 105; i++)
Phi_4[i] = (i / 15) * 8 + Phi_3[i % 15] - Phi_3[(i + 3) / 7];
for (i = 0; i <= 1155; i++)
Phi_5[i] = (i / 105) * 48 + Phi_4[i % 105] - Phi_4[(i + 5) / 11];
for (i = 1, l = Phi_6, *l++ = 0; i <= 15015; )
{
Phi_6_upd_3(); Phi_6_upd_2(); Phi_6_upd_1(); Phi_6_upd_2();
Phi_6_upd_1(); Phi_6_upd_2(); Phi_6_upd_3(); Phi_6_upd_1();
}
for (i = 0; i <= m2(Phi_prec_max); i++)
Phi_prec(i, 0) = Phi_6[i] - Phi_6[(i + 8) / 17];
for (j = 1, p = &primes[7]; j < a; j++, p++)
{
i = 1, memcpy(&Phi_prec(0, j), &Phi_prec(0, j - 1), Phi_prec_bytes);
l = &Phi_prec(*p / 2 + 1, j), m = &Phi_prec(m2(Phi_prec_max), j) - *p;
while (l <= m)
for (k = 0, t = Phi_prec(i++, j - 1); k < *p; k++) *(l++) -= t;
t = Phi_prec(i++, j - 1);
while (l <= m + *p) *(l++) -= t;
}
primes_fastdiv = malloc(a * sizeof(int64_t));
for (i = 0, p = &primes[8]; i < a; i++, p++)
{
t = 96 - __builtin_clzll(*p);
primes_fastdiv[i] = (bit(t) / *p + 1) << (64 - t);
}
return output(Phi(x, a) + a + 6 - P2);
}
Bu Meissel-Lehmer yöntemini kullanır .
zamanlamalar
Makinemde birleştirilmiş test durumları için yaklaşık 5,7 milisaniye alıyorum . Bu, openSUSE 13.2’yi çalıştıran 1867 MHz’de DDR3 RAM’e sahip Intel Core i7-3770’de.
$ ./timepi '-march=native -O3' pi 1000
pi(x) = 93875448 real time: 2774958 ns
pi(x) = 66990613 real time: 2158491 ns
pi(x) = 62366021 real time: 2023441 ns
pi(x) = 34286170 real time: 1233158 ns
pi(x) = 5751639 real time: 384284 ns
pi(x) = 2465109 real time: 239783 ns
pi(x) = 1557132 real time: 196248 ns
pi(x) = 4339 real time: 60597 ns
0.00572879 s
Çünkü varyans çok yüksek var , ben gayri resmi çalışma süreleri için programın içinden zamanlamaları kullanıyorum. Bu, birleştirilmiş çalışma zamanlarının ortalamasını hesaplayan komut dosyasıdır.
#!/bin/bash
all() { for j in ${a[@]}; do ./$1 $j; done; }
gcc -Wall $1 -lm -o $2 $2.c
a=(1907000000 1337000000 1240000000 660000000 99820000 40550000 24850000 41500)
all $2
r=$(seq 1 $3)
for i in $r; do all $2; done > times
awk -v it=$3 '{ sum += $6 } END { print "\n" sum / (1e9 * it) " s" }' times
rm times
Resmi zamanlar
Bu kez skor durumlarını 1000 kez yapmak içindir.
real 0m28.006s
user 0m15.703s
sys 0m14.319s
Nasıl çalışır
formül
Let pozitif tamsayı.x
Her pozitif tamsayı , aşağıdaki koşullardan tam olarak birini karşılar.n ≤ x
n = 1
n bir asal sayı bölünemeyen bir içinde .p[ 1 , x--√3]
n = p q , ki burada ve (kesinlikle farklı olmamalıdır) içindeki asal sayılardır .pq( x--√3, x2--√3)
n asaldır ven > x--√3
Let asal sayısını göstermek öyle ki . Var dördüncü kategoride yer alan sayılar.π( y)pp ≤ yπ( x ) - π( x--√3)
Pk( y, C )m ≤ ykcP2( x , π( x--√3) )
ϕ ( y, C )k ≤ ycx - ϕ ( x , π( x--√3) )
x
1 + x - ϕ ( x , π( x--√3) ) + P2( x , π( x--√3) ) + π( x ) - π( x--√3) = x
ve bu nedenle,
π( x ) = ϕ ( x , π( x--√3) ) + π( x--√3) - 1 - P2( x , π( x--√3) )
p ≤ qp ≤ x--√pqx−−√3<p≤q≤xpπ(xp)−π(p)+1qpP2(x,π(x−−√3))=∑π(x√3)<k≤π(x√)(π(xpk)−π(pk)+1)pkkth
n≤ycn=pkfpknk≤cfk−1
Bu özyinelemeli formül yol açarϕ(y,c)=y−∑1≤k≤cϕ(ypk,k−1)c=0ϕ(y,0)=y
Şimdi yi hesaplamamıza izin veren bir formüle sahibiz.π(x)π(x2−−√3)
Algoritma
π(xp)px−−√3x2−−√3
[1,x−−√]π(x−−√3)π(x−−√)xpkk(π(x−−√3),π(x−−√)]
∑π(x√3)<k≤π(x√)(−π(pk)+1)π(x√3)−π(x√))(π(x√3)+π(x√)−12P2(x,π(x−−√3))
ϕ2cϕ(y,c)
ϕ(0,c)=0cϕ(y,c)=y−∑1≤k≤c,pk≤yϕ(ypk,k−1)2⋅109
yc′ϕϕ(y,c)=ϕ(y,c′)−∑c′<k≤c,pk≤yϕ(ypk,k−1)ϕ(y,c′)c′y
mc=∏1≤k≤cpkϕ(mc,c)=φ(mc)[1,mc]p1,⋯,pcmcgcd(z+mc,mc)=gcd(z,mc)ϕ(y,c)=ϕ(⌊ymc⌋mc,c)+ϕ(y .
Euler'in dikkat işlevi çarpımsal olduğundan, ve kolay bir şekilde elde etmek için tüm yalnızca değerleri precomputing ile de .φ(mc)=∏1≤k≤cφ(pk)=∏1≤k≤c(pk−1)ϕ(y,c)yy[0,mc)
Ayrıca, ayarlarsak , . Lehmer'in makalesinden orijinal tanım. Bu bize precompute için basit bir yol sağlar artan değerleri için .c′=c−1ϕ(y,c)=ϕ(y,c−1)−ϕ(ypc,c−1)ϕ(y,c)c
Belirli bir düşük değeri için ön hesaplanmasına ek olarak , düşük değerleri için de önceden hesaplayacağız, özyinlemeyi belirli bir eşiğin altına düştükten kısa bir süre sonra keseriz.ϕ(y,c)cy
uygulama
Önceki bölüm, kodun çoğu bölümünü kapsar. Kalan, önemli bir detay, fonksiyondaki bölümlerin nasıl Phiyapıldığıdır.
hesaplamak yalnızca ilk asal sayılarına bölünmeyi gerektirdiğinden , bunun yerine işlevi kullanabiliriz . Bunun yerine, sadece bir bölme daha bir ana tarafından , biz çarpma ile yerine ve geri olarak . Çünkü ne kadar tam sayı çarpma bölgesinin üzerine uygulanan x 64 bolunmesı gerekli değildir; daha yüksek 64 bit kendi kayıt defterinde saklanır.ϕπ(x−−√3)fastdivypydp≈264pyp 264dpydpy264264dpy
Bu yöntemin, önceden hesaplanan hesaplamasından daha hızlı olmayan, hesaplamalarını gerektirdiğini unutmayın . Bununla birlikte, aynı primerleri tekrar tekrar bölmek zorunda olduğumuz ve bölme çarpmadan çok daha yavaş olduğu için, bu önemli bir hızlanma ile sonuçlanır. Bu algoritmanın yanı sıra resmi bir ispatın yanı sıra, Çarpma İşlemini Kullanan Değişmez Tamsayılar Bölümü'nde bulunabilir .ydpyp