Meydan okuma

Bir program P yaz hiçbir girdi alarak önerme “P yürütülmesi sonunda sona erer” Böyle olmasıdır bağımsız bir Peano aritmetik .

Resmi kurallar

(Yukarıdaki açıklamanın gayri resmi olduğunu düşünen matematiksel bir mantıkçıysanız)

Bir, ilke olarak, olabilir dönüştürmek bazı Evrensel Turing makinesi U bir içine (örneğin sevdiğiniz programlama dili) Peano aritmetik değişken üzerinde formül HALT p HALT ( p ) önermeyi “kodlar U programı sonlandırır ( Gödel kodlanmış tarafından) p ”. Buradaki zorluk p'yi , ne HALT ( p ) ne de ¬HALT ( p ) 'nin Peano aritmetiğinde kanıtlanamayacağı şekilde bulmaktır .

Programınızın sınırsız hafızaya ve erişebilecek kadar büyük tam sayılara / işaretçilere sahip ideal bir makinede çalıştığını varsayabilirsiniz.

Örnek

Bu tür programların var olduğunu görmek için, bir örnek, 0 = 1 değerinde Peano aritmetik kanıtını ayrıntılı olarak arayan bir programdır. Peano aritmetik yana tutarlıdır ancak kendi tutarlılığını ispat edemez , bu programın alıkoymalarla karar olamaz.

Ancak, Peano aritmetiğinden bağımsız olarak, programınızı temel alabileceğiniz birçok öneri var.

Motivasyon

Bu sorun, yeni esinlenerek Yedidia ve Aaronson (2016) tarafından kağıt olan nontermination bağımsız bir 7.918 durumlu Turing makinesi sergileyen ZFC , Peano aritmetik çok daha güçlü bir sistem. Alıntıyla ilgilenebilirsin [22]. Bu zorluk için, tabii ki, gerçek Turing makineleri yerine, seçtiğiniz programlama dilini kullanabilirsiniz.

Haskell, 838 bayt

“Bir şey yapılmasını istiyorsan…”

import Control.Monad.State
data T=V Int|T:$T|A(T->T)
g=guard
r=runStateT
s!a@(V i)=maybe a id$lookup i s
s!(a:$b)=(s!a):$(s!b)
s@((i,_):_)!A f=A(\a->((i+1,a):s)!f(V$i+1))
c l=do(m,k)<-(`divMod`sum(1<$l)).pred<$>get;g$m>=0;put m;l!!fromEnum k
i&a=V i:$a
i%t=(:$).(i&)<$>t<*>t
x i=c$[4%x i,5%x i,(6&)<$>x i]++map(pure.V)[7..i-1]
y i=c[A<$>z i,1%y i,(2&)<$>y i,3%x i]
z i=(\a e->[(i,e)]!a)<$>y(i+1)
(i?h)p=c[g$any(p#i)h,do q<-y i;i?h$q;i?h$1&q:$p,do f<-z i;a<-x i;g$p#i$f a;c[i?h$A f,do b<-x i;i?h$3&b:$a;i?h$f b],case p of A f->c[(i+1)?h$f$V i,do i?h$f$V 7;(i+1)?(f(V i):h)$f$6&V i];V 1:$q:$r->c[i?(q:h)$r,i?(2&r:h)$V 2:$q];_->mzero]
(V a#i)(V b)=a==b
((a:$b)#i)(c:$d)=(a#i)c&&(b#i)d
(A f#i)(A g)=f(V i)#(i+1)$g$V i
(_#_)_=0<0
main=print$(r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$3&V 7:$(6&V 7))=<<[0..])!!0

açıklama

Bu program doğrudan P = 0 aritmetik kanıtı arar: 1 = PA tutarlı olduğundan, bu program hiçbir zaman sona ermez; Ancak ÖİB kendi tutarlılığını kanıtlayamadığından, bu programın uygulanamaması ÖİB'den bağımsızdır.

T İfadelerin ve önermelerin türü:

• A P∀ x [ P ( x )] önermesini temsil eder .
• (V 1 :$ P) :$ QP → Q önermesini temsil eder .
• V 2 :$ Pönerme ¬ temsil P .
• (V 3 :$ x) :$ yx = y önermesini temsil eder .
• (V 4 :$ x) :$ ydoğal x + y'yi temsil eder .
• (V 5 :$ x) :$ yDoğal temsil x ⋅ y .
• V 6 :$ xdoğal S ( x ) = x + 1'i temsil eder .
• V 7 doğal 0 değerini değiştirir.

Olan bir ortamda i serbest değişkenler, biz 2 × 2 tam sayı matrisleri [1, 0 olarak ifadeleri, önermeler ve deliller kodlar; a , b ], aşağıdaki gibidir:

• M ( i , ∀ x [ P ( x )]) = [1, 0; 1,4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)])
• M ( i , x x [ F ( x )]) = M ( i + 1, F ( x )) ki burada M ( j , x ) = [1, 0; 5 + i , 4 + j ] hepsi için j > i
• M ( i , P → Q ) = [1, 0; 2, 4] ⋅ M ( i , P ) ⋅ M ( i , Q )
• M ( i , ¬ P ) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , P )
• M ( i , x = y ) = [1, 0; 4, 4] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• M ( i , x + y ) = [1, 0; 1, 4 + i ] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• M ( i , x ⋅ y ) = [1, 0; 2, 4 + i ] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• M ( i , Sx ) = [1, 0; 3, 4 + i ] ⋅ M ( i , x )
• M ( i , 0) = [1, 0; 4, 4 + i ]
• M ( i , ( Γ , P ) ⊢ P ) = [1, 0; 1, 4]
• M ( i , y olan ⊢ P ) = [1, 0; 2, 4] ⋅ M ( i , Q ) ⋅ M ( i , Γ ⊢ Q ) ⋅ M ( i , Γ ⊢ Q → P )
• M ( i , y olan ⊢ p ( x )) = [1, 0; 3,4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)]) ⋅ M ( i , x ) ⋅ [1, 0; 1, 2] ⋅ M ( i , Γ ⊢ ∀ x P (x))
• M ( i , y olan ⊢ p ( x )) = [1, 0; 3,4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)]) ⋅ M ( i , x ) ⋅ [1, 0; 2, 2] ⋅ M ( i , y ) ⋅ M ( i , Γ ⊢ y = x ) ⋅ M ( i , Γ ⊢ P ( y ))
• M ( i , Γ ⊢ ∀ x , P ( x )) = [1, 0; 8, 8] ⋅ M ( i , λ x [ Γ ⊢ P ( x )])
• M ( i , Γ ⊢ ∀ x , P ( x )) = [1, 0; 12, 8] ⋅ M ( I , Γ ⊢ P (0)) ⋅ M ( I , λ x [( Γ , P ( x )) ⊢ P (S ( x ))])
• M ( i , y olan ⊢ P → S ) = [1, 0; 8, 8] ⋅ M ( i , ( Γ , P ) ⊢ Q )
• M ( i , y olan ⊢ P → S ) = [1, 0; 12, 8] ⋅ M ( i , ( Γ , ¬ Q ) ⊢ ¬ P )

Kalan aksiyomlar sayısal olarak kodlanır ve ilk ortama Γ dahil edilir :

• M (0, ∀ x [ x = x ]) = [1, 0; 497, 400]
• M (0, ∀ x [¬ (S ( x ) = 0)]) = [1, 0; 8269, 8000]
• M (0, ∀ x ∀ y [S ( x ) = S ( y ) → x = y ]) = [1, 0; 56106533, 47775744]
• M (0, ∀ x [ x + 0 = x ]) = [1, 0; 12033, 10000]
• M (0, ∀ y [ x + S ( y ) = S ( x + y )]) = [1, 0; 123263749, 107495424]
• M (0, ∀ x [ x ⋅ 0 = 0]) = [1, 0; 10049, 10000]
• M (0, ∀ x ∀ y [ x ⋅ S ( y ) = x ⋅ y + x ]) = [1, 0; 661072709, 644972544]

Matrisli bir ispat [1, 0; a , b ] sadece sol alt köşeye a (veya bir modulo b ile uyumlu herhangi bir diğer değer ) kontrol edilebilir; diğer değerler provaların kompozisyonunu mümkün kılmak için vardır.

Örneğin, burada eklemenin değişmeli olduğuna dair bir kanıt.

• M (0, Γ ⊢ ∀ x ∀ y [ x + y = y + x]) = [1, 0; 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644, 14010499234317302152403198529613715336094817740448888109376168978138227692104106788277363562889534501599380268163213618740021570705080096139804941973102814335632180523847407060058534443254569282138051511292576687428837652027900127452656255880653718107444964680660904752950049505280000000000000000000000000000000000000000000000000000000]

Programla aşağıdaki gibi doğrulayabilirsiniz:

*Main> let p = A $ \x -> A $ \y -> V 3 :$ (V 4 :$ x :$ y) :$ (V 4 :$ y :$ x)
*Main> let a = 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644
*Main> r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$p)a :: [((),Integer)]
[((),0)]

Kanıt geçersizse, bunun yerine boş listeyi alırsınız.