Görev tanımı

Sayı teorisinde, Carmichael fonksiyonu  λ pozitif bir tamsayı alır  n ve getiri azından pozitif tamsayı k böylece k her tamsayı ait ıncı güç asal için n 1 modulo eşittir n .

Olumlu bir tamsayı n verildiğinde , çözümünüz λ (n) 'yi hesaplamalıdır . Bayt cinsinden en kısa kod kazanır.

Programınız isteğe bağlı olarak büyük girdiler için teorik olarak çalışmalı, ancak verimli olması gerekmez.

İpuçları

Tüm sekans X (n) olan OEIS A002322 .

Yıpranmış bir Python uygulaması gibi görünüyor

from fractions import gcd

def carmichael(n):
    coprimes = [x for x in range(1, n) if gcd(x, n) == 1]
    k = 1
    while not all(pow(x, k, n) == 1 for x in coprimes):
        k += 1
    return k

(Python'da pow(A, B, C)verimli bir şekilde hesaplar pow(A, B) % C.)

Test durumları

Input    Output
1        1
2        1
3        2
10       4
35       12
101      100
530      52
3010     84
6511     3056
10000    500

Mathematica, 16 bayt

CarmichaelLambda

İyi...

Python, 76 73 67 bayt

f=lambda n,k=1:1-any(a**-~k*~-a**k%n for a in range(n))or-~f(n,k+1)

Çevrimiçi deneyin!

Bir başka bayt döndürerek kaydedilmiş olabilir True yerine 1 .

Alternatif uygulama

Aynı yaklaşımı kullanarak, @feersum tarafından liste kavramalarını kullanmayan aşağıdaki uygulama da vardır.

f=lambda n,k=1,a=1:a/n or(a**-~k*~-a**k%n<1)*f(n,k,a+1)or-~f(n,k+1)

Bu uygulamanın O (n ^{λ (n)} ) zaman gerektirdiğini unutmayın . Aslında ise Verimlilik dramatik geliştirilebilir azalan skoru 66 bayt , ancak işlevi dönecekti Gerçek girişi için 2 .

f=lambda n,k=1,a=1:a/n or~-a**k*a**-~k%n<1==f(n,k,a+1)or-~f(n,k+1)

Arka fon

Tanımlar ve gösterim

Kullanılan tüm değişkenler tamsayıları belirtir; n , k ve a , pozitif tamsayıları belirtir ; ve p , pozitif bir prime işaret edecektir .

bir | b ise b bölünebilen bir varsa, örneğin, q, öyle ki B = qa .

a b b ( mod m), eğer a ve b , aynı kalıntı modulo m'ye sahipse, yani m | a - b .

λ (n) küçüğüdür k öyle ki bir ^k ≡ 1 ( mod n) - yani, öyle ki n | Bir ^k - 1 - herkes için a kadar aralarında asal olan n .

f (n) en küçük k'dir ki öyle bir ^{2k + 1} ≡ a ^{k + 1} ( mod n) - yani n | a ^{k + 1} (a ^k - 1) - tümü için a .

λ (n) ≤ f (n)

Düzeltme n ve let bir etmek be asal n .

F tanımı ile , n | a ^{f (n) +1} (a ^{f (n)} -1) . Yana bir ve n ortak bir asal çarpanı var, ne yapmıyoruz bir ^{f (n) +1} ve n , ima hangi n | bir ^{f (n)} -1 .

Yana λ (n) en küçük tamsayıdır k öyle | n Bir ^k - 1 tüm tamsayılar için bir karşı aralarında asal olan n , o kadar izler  (n) ≤ f (n) .

λ (n) = f (n)

Λ (n) ≤ f (n) eşitsizliğini zaten kurduğumuzdan , k = λ (n) 'in f , yani n | ' yi tanımlayan koşulu sağladığını doğrulamak yeterlidir. Bir ^{λ (n) + 1} , (a ^{λ (n)} - 1) için tüm a . Bunun için p ^α | Bir ^{λ (n) + 1} , (a ^{λ (n)} - 1) her s ^a | n .

λ (k) | λ (n) ne zaman k | n ( kaynak ), yani (a ^{k (k)} -1) (a ^{λ (n) -λ (k)} + a ^{λ (n) -2λ (k)} + ⋯ + a ^{λ (k)} + 1) = a ^{λ (n)} - 1 ve bu nedenle bir ^{λ (k)} - 1 | bir ^{λ (n)} - 1 | bir ^{λ (n) +1} (a ^{λ (n)} -1) .

Eğer a ve p ^α eşdüzeyse, λ ve yukarıdakilerin tanımlarına göre , p ^α | a ^{λ (p α )} - 1 | istenildiği gibi bir ^{λ (n) +1} (a ^{λ (n)} - 1) takip eder.

Eğer a = 0 ise , tüm tamsayılar tarafından bölünebilen bir ^{λ (n) +1} (a ^{λ (n)} - 1) = 0 olur .

Son olarak, a ve p ^α'nın ortak bir asal çarpan olduğu durumu düşünmeliyiz . Yana p asal, bu ima | s a . Carmichael teoremi kurar bu λ (s ^α ) (p = 1 -) p- ^{α - 1} ise p> 2 ya da α <3 ve λ (s ^α ) p = ^{α - 2} başka şekilde. Her durumda, λ (p ^α ) ≥ p ^{α - 2} ≥ 2 ^{α - 2} > α - 2 .

Bu nedenle λ (n) + 1 ≥ (p ^α ) + 1> α - 1 , yani λ (n) + 1 ≥ α ve p ^α | p ^{λ (n) +1} | a ^{λ (n) +1} | bir ^{λ (n) +1} (a ^{λ (n)} -1) . Bu ispat tamamlar.

Nasıl çalışır

Tanımları da f (n) ve λ (n) tüm olası değerleri dikkate bir , bunun içinde o bu yalan test etmek için yeterlidir [0, ..., n - 1] .

Ne zaman f (n, k) denir, bu hesaplar bir ^{k + 1} (a ^k - 1)% n tüm değerleri için bir olduğunu aralığında 0 ancak ve ancak n | bir ^{k + 1} (a ^k - 1) .

Tüm hesaplanan kalıntıları sıfır ise, K = λ (n) ve anydöner yanlış , yani f (n, k) döndürür 1 .

Öte yandan, k <n (n) , 01-any(...) değerini döndürürken , f art arda k değeri ile tekrarlanır . Öncü , f (n, k + 1) ' in dönüş değerini artırır , bu yüzden [1, ..., λ (n) - 1' deki her tam sayı için 1 - f (n, λ (n)) = 1 ekleriz ] . Son sonuç λ (n) 'dir .-~

Yerleşik yerleşik Mathematica, 58 57 bayt

Hata bulduğu için Martin Ender'e teşekkürler, sonra düzeltmek için gereken baytları kurtardım!

1 bayt kaydettiğiniz için mil teşekkürler! (bana 2 gibi geldi)

Yerleşikler tamamen iyi ... ama kaba kuvvet kullanmadan uygulamak isteyenler için, işte Carmichael işlevi için bir formül:

LCM@@(EulerPhi[#^#2]/If[#==2<#2,2,1]&@@@FactorInteger@#)&

P asal ise, Carmichael işlevi λ (p ^ r), φ (p ^ r) = (p-1) * p ^ (r-1) eşittir - p = 2 ve r≥3 hariç yarısı, yani 2 ^ (r-2).

Ve n'nin asal güç faktoringi p1 ^ r1 * p2 ^ r2 * ... 'e eşitse, λ (n), {λ (p1 ^ r1), λ (p2 ^ r2), .. .}.

Çalışma zamanı, tam sayıyı ilk etapta hesaba katmaktan bir an daha fazladır.

Zararlı Sayılan Şablonlar , 246 bayt

Fun<Ap<Fun<If<Eq<A<2>,T>,A<1>,And<Eq<Ap<Fun<If<A<1>,Ap<A<0>,Rem<A<2>,A<1>>,A<1>>,A<2>>>,A<1,1>,A<2>>,T>,Sub<Ap<Fun<Rem<If<A<1>,Mul<A<2,1>,Ap<A<0>,Sub<A<1>,T>>>,T>,A<1,2>>>,A<1>>,T>>,Ap<A<0>,Add<A<1>,T>,A<1,1>>,Ap<A<0>,A<1>,Sub<A<2>,T>>>>,T,A<1>>>

Adsız bir işlev (adlandırılmış işlevler değil).

Bu, C ++ derleyici örnekleme şablonları tarafından yorumlanan, unutulmuş bir esolang. Varsayılan maksimum şablon derinliği ile g++λ (35) yapabilir, ancak λ (101) yapamaz (tembel değerlendirme işleri daha da kötüleştirir).

Haskell, 57 56 bayt

f n=[k|k<-[1..],and[mod(m^k)n<2|m<-[1..n],gcd m n<2]]!!0

Jöle, 2 bayt

Æc

Yerleşik için teşekkür ederiz, @Lynn

Pyth - 19 18 17 bayt

@BikingViking sayesinde bir bayt kurtarıldı.

Doğruca kaba kuvvet.

f!sm*t.^dTQq1iQdQ

Burada çevrimiçi deneyin .

Yakut, 59 56 bayt

->x{a=1..x
a.detect{|k|a.all?{|y|x.gcd(y)>1||y**k%x<2}}}

J, 28 27 bayt

[:*./@(5&p:%2^0=8&|)2^/@p:]

Carmichael işlevi λ ( n ) ve totient işlevi φ ( n ) 'dir.

Λ ( p ^k ) = φ ( p ^k ) / 2 ise p = 2 ve k > 2 başkası φ ( p ^k ) tanımını kullanır . Daha sonra, genel olarak n = p ₁ ^{k ₁} p ₂ ^{k ₂} ⋯ p _i ^{k _i} , λ ( n ) = LCM [λ ( p ₁ ^{k ₁} ) λ ( p ₂ ^{k ₂} ) ⋯ λ ( p _i ^{k _i} )] .

kullanım

Çoklu giriş / çıkışı formatlamak için kullanılan ekstra komutlar.

   f =: [:*./@(5&p:%2^0=8&|)2^/@p:]
   f 530
52
   (,.f"0) 1 2 3 10 35 101 530 3010 6511 10000
    1    1
    2    1
    3    2
   10    4
   35   12
  101  100
  530   52
 3010   84
 6511 3056
10000  500

açıklama

[:*./@(5&p:%2^0=8&|)2^/@p:]  Input: integer n
                          ]  Identity function, get n
                    2   p:   Get a table of prime/exponent values for n
                     ^/@     Raise each prime to its exponent to get the prime powers of n
[:    (            )         Operate on the prime powers
                8&|            Take each modulo 8
              0=               Test if its equal to 0, 1 if true else 0
            2^                 Raise 2 to the power of each
       5&p:                    Apply the totient function to each prime power
           %                   Divide it by the powers of 2
  *./@                       Reduce using LCM and return

Aslında, 30 28 25 19 26 bayt

Carmichael işlevi, λ(n)burada n = p_0**k_0 * p_1**k_1 * ... * p_a**k_a, bölünen λ(p_i**k_i)en büyük asal güçlerin en az kullanılan katları (LCM) olarak tanımlanır . Asal olduğu hariç her asal güç için göz önüne alındığında , Carmichael fonksiyonu Euler totient işlevine eşdeğerdir , kullandığımız yerine. Özel durumları için , sadece kontrol içine böler bu olursa 2 oranında programın başında, böl de.p_i**k_in2λ(n) == φ(n)φ(n)2**kk ≥ 32**3 = 8n

Ne yazık ki, aslında şu anda bir LCM yerleşikine sahip değil, bu yüzden kaba bir LCM yaptım. Golf önerileri kabul edilir. Çevrimiçi deneyin!

;7&Yu@\w`iⁿ▒`M╗2`╜@♀%ΣY`╓N

Ungolfing

         Implicit input n.
;        Duplicate n.
7&       n&7 == n%8.
Yu       Logical NOT and increment. If n%8 == 0, return 2. Else, return 1.
@\       Integer divide n by 2 if n%8==0, by 1 otherwise.
          Thus, we have dealt with the special case where p_i == 2 and e_i >= 3.
w        Full prime factorization of n as a list of [prime, exponent] lists.
`...`M   Map the following function over the prime factorization.
  i        Flatten the array, pushing exponent, then prime to the stack.
  ⁿ▒       totient(pow(prime, exponent)).
╗        Save that list of totients in register 0.
2`...`╓  Get the first two values of n where the following function f(n) is truthy.
         Those two numbers will be 0 and our LCM.
  ╜@       Push the list in register 0 and swap with our n.
  ♀%       Get n mod (every number in the list)
  Σ        Sum the modulos. This sum will be 0, if and only if this number is 0 or LCM.
  Y        Logical NOT, so that we only get a truthy if the sum of modulos is 0.
N        Grab the second number, our LCM. Implicit return.

JavaScript (ES6), 143 135 bayt

Düzenleme: Neil sayesinde 8 bayt kaydedildi

İşlevsel programlama kullanan bir uygulama.

n=>(A=[...Array(n).keys()]).find(k=>k&&!c.some(c=>A.slice(0,k).reduce(y=>y*c%n,1)-1),c=A.filter(x=>(g=(x,y)=>x?g(y%x,x):y)(x,n)==1))||1

Ungolfed ve yorum yaptı

n =>                                          // Given a positive integer n:
  (A = [...Array(n).keys()])                  // Build A = [0 ... n-1].
  .find(k =>                                  // Try to find k in [1 ... n-1] such as
    k && !c.some(c =>                         // for each coprime c: c^k ≡ 1 (mod n).
      A.slice(0, k).reduce(y =>               // We use reduce() to compute
        y * c % n, 1                          // c^k mod n.
      ) - 1                                   // Compare it with 1.
    ),                                        // The list of coprimes is precomputed
    c = A.filter(x =>                         // before the find() loop is executed:
      (                                       // for each x in [0 ... n-1], keep
        g = (x, y) => x ? g(y % x, x) : y     // only integers that verify:
      )(x, n) == 1                            // gcd(x, n) = 1
    )                                         // (computed recursively)
  ) || 1                                      // Default result is 1 (for n = 1)

gösteri

Onun için çalışır halde 6511ve 10000biraz yavaş olma eğilimindedir, ben onları burada içermez.

let f =
n=>(A=[...Array(n).keys()]).find(k=>k&&!c.some(c=>A.slice(0,k).reduce(y=>y*c%n,1)-1),c=A.filter(x=>(g=(x,y)=>x?g(y%x,x):y)(x,n)==1))||1

console.log(f(1));     // 1
console.log(f(2));     // 1
console.log(f(3));     // 2
console.log(f(10));    // 4
console.log(f(35));    // 12
console.log(f(101));   // 100
console.log(f(530));   // 52
console.log(f(3010));  // 84

Ruby, 101 86 91 90 bayt

Aslında cevabımın Ruby limanı . Golf önerileri kabul edilir.

Düzenleme: -4 bayt kaldırarak aama +9 bayt 1geri döndü bir hatayı düzeltmek nil. Cyoce sayesinde -1 bayt.

require'prime'
->n{((n%8<1?n/2:n).prime_division<<[2,1]).map{|x,y|x**~-y*~-x}.reduce :lcm}

Ungolfing

require 'prime'
def carmichael(n)
  if n%8 < 1
    n /= 2
  end
  a = []
  n.prime_division.do each |x,y|
    a << x**(y-1)*(x-1)
  end
  return a.reduce :lcm
end

JavaScript (ES 2016) 149

Python referans uygulaması JS'ye aktarılmıştır. Bazı fantazi Pyhton yerleşikleri js'de gcdve gibi eksiktir powve dizi anlama ES 6'da standart değildir. Bu, Firefox'ta çalışır.

n=>eval('for(g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a,p=(a,b,c)=>eval("for(r=1;b--;)r=r*a%c"),c=[for(_ of Array(i=n))if(g(i--,n)<2)i+1],k=1;c.some(x=>p(x,k,n)-1);)++k')

Daha az golf oynadı

n=>{
  g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a
  p=(a,b,c)=>{ 
    for(r=1;b--;)
      r=r*a%c
    return r
  }
  c=[for(_ of Array(i=n)) if(g(i--,n)<2) i+1]
  for(k=1;c.some(x=>p(x,k,n)-1);)
    ++k
  return k
} 

Java, 209 207 202 194 192 bayt

Kod (96 bayt):

n->{for(int x,k=1,a;;k++){for(a=1,x=0;++x<=n&&a<2;)a=g(x,n)<2?p(x,k,n):1;if(a<2||n<2)return k;}}

Ekstra işlevler (96 bayt):

int g(int a,int b){return b<1?a:g(b,a%b);}int p(int n,int p,int m){return p<2?n:n*p(n,p-1,m)%m;}

Test ve asılsız

import java.util.Arrays;
import java.util.function.IntUnaryOperator;

public class Main2 {

  static int g(int a,int b) { // recursive gcd
    return b < 1
        ? a
        : g(b,a%b);
  }

  static int p(int n, int p, int m) { // recursive modpow
    return p < 2
      ? n
      : n * p(n, p - 1, m) % m;
  }

  public static void main(String[] args) {

    IntUnaryOperator f = n -> {
      for(int x,k=1,a;;k++) { // for each k
        for(a=1,x=0;++x<=n&&a<2;) // for each x
          a=g(x,n)<2?p(x,k,n):1; // compute modpow(x,k,n) if g(x,n)
        if(a<2||n<2) // if all modpow(x,k,n)=1. Also check for weird result for n=1.
          return k;
      }
    };

    Arrays.stream(new int[]{1, 2, 3, 10, 35, 101, 530, 3010, 6511, 10000})
        .map(f)
        .forEach(System.out::println);
  }
}

notlar

• aolmanın kullanımı, testlerimi yapmak intiçin a kullanmam gerekenden daha kısa boolean.
• Evet, ayrı bir işlev oluşturmaktan valueOftamamen yeni olanlar için BigIntegerdaha kısa (5, artı ONEsabit bir freebie).
• Algoritma @Master_ex'in algoritmasından farklıdır, bu yüzden sadece bir golf repostu değildir. Ayrıca, bu algoritma gcdaynı değerler için tekrar tekrar hesaplandığından daha az verimlidir .

tıraş

1. 209 -> 207 bayt:
   • if(...)a=...; -> a=...?...:1;
   • a==1 -> a<2
2. 207 -> 202 bayt
   • BigIntegerGolf oynayarak gcdve modPowiçin kurtuldum int.
3. 202 -> 194 bayt
   • döngü modPow-> özyinelemeli
4. 194 -> 192 bayt
   • ==1-> <2(tüm test durumları için çalışıyor gözüküyor, diğer numaralar için bilmiyorum.)

Java8 38 19 + 287 295 253 248 241 = 325 333 272 267 260 bayt

BigInteger B(int i){return new BigInteger(""+i);}int c(int...k){int n=k[0];for(k[0]=1;n>1&!java.util.stream.IntStream.range(0,n).filter(i->B(n).gcd(B(i)).equals(B(1))).allMatch(x->B(x).modPow(B(k[0]),B(n)).equals(B(1)));k[0]++);return k[0];}

İthalat, 19 bayt

import java.math.*;

açıklama

Bu yalındır bir uygulama. Yardımcı primerler hesaplanır Set pve her birinin kuvveti 1 moduloya eşit olup olmadığını kontrol etmek için kullanılır.

BigIntegerHassas sorunlar yüzünden kullanmak zorunda kaldım .

kullanım

public static void main(String[] args) {
    Carmichael c = new Carmichael();
    System.out.println(c.c(3)); // prints 2
}

Ungolfed

// returns the BigInteger representation of the given interger
BigInteger B(int i) {
    return new BigInteger(""+i);
}
// for a given integer it returns the result of the carmichael function again as interger
// so the return value cannot be larger
int c(int... k) {
    int n = k[0];
    // iterate k[0] until for all co-primes this is true: (x^n) mod n == 1, if n==1 skip the loop
    for (k[0]=1;n > 1 && !java.util.stream.IntStream.range(0, n)
                .filter(i -> B(n).gcd(B(i)).equals(B(1)))
                .allMatch(x -> B((int) x).modPow(B(k[0]), B(n)).equals(B(1)));k[0]++);
    return k[0];
}

Daha fazla golf için herhangi bir öneriniz :-) bekliyoruz

Güncelleştirme

• Durumu koruyan işlevlerin dışında hiçbir öğe yok
• Olivier Grégoire'nin tavsiyesini takip etti ve B()
• k()Metot kaldırıldı ve p(eş-asal) Set.
• İnt için gerekli döküm kaldırıldı
• Varags eklendi ve bir süre yerine kullanın.

Java, 165 163 158 152 143 bayt

int l(int n){int k=1,x,a,b,t,d=1;for(;d>0;)for(d=x=0;++x<n;d=a<2&t>1?k++:d){for(a=x,b=n;b>0;b=a%b,a=t)t=b;for(t=b=1;b++<=k;t=t*x%n);}return k;}

C uygulamamın başka bir limanı .

Ideone'da dene

C ++, 208 200 149 144 140 134 bayt

[](int n){int k=1,x,a,b,t,d=1;for(;d;)for(d=x=0;++x<n;d=a<2&t>1?k++:d){for(a=x,b=n;t=b;a=t)b=a%b;for(t=1,b=k;b--;t=t*x%n);}return k;};

C uygulamamın bir limanı .

Ideone'da dene

Raket 218 bayt

(λ(n)(let((fl #f)(cl(for/list((i n) #:when(coprime? n i))i)))(for/sum((k(range 1 n))#:break fl)(set! fl #t)
(for((i(length cl))#:break(not fl))(when(not(= 1(modulo(expt(list-ref cl i)k)n)))(set! fl #f)))(if fl k 0))))

Ungolfed versiyonu:

(require math)
(define f
  (λ(n)
    (let ((fl #f)
          (cl (for/list ((i n) #:when (coprime? n i))
                i)))
             (for/sum ((k (range 1 n)) #:break fl)
               (set! fl #t)
               (for ((i (length cl)) #:break (not fl))
                 (when (not (= 1 (modulo (expt (list-ref cl i) k) n)))
                   (set! fl #f)))
               (if fl k 0)))))

Test yapmak:

(f 2) 
(f 3)
(f 10)
(f 35)
(f 101)
(f 530)
(f 3010)
(f 6511)
(f 10000)

Çıktı:

1
2
4
12
100
52
84
3056
500

C, 278 276 272 265 256 243 140 134 125 bayt

k,x,a,b,t,d;l(n){for(k=d=1;d;)for(d=x=0;++x<n;d=a<2&t>1?k++:d){for(a=x,b=n;t=b;a=t)b=a%b;for(t=1,b=k;b--;t=t*x%n);}return k;}

Bu yavaş modüler bir üstel algoritma kullanır, GCD'yi çok sık hesaplar ve artık hafızadan sızıntı yapmaz!

Ungolfed:

int gcd( int a, int b ) {
  int t;
  while( b ) {
    t = b;
    b = a%b;
    a = t;
  }
  return a;
}
int pw(int a,int b,int c){
  int t=1;
  for( int e=0; e<b; e++ ) {
    t=(t*a)%c;
  }
  return t;
}
int carmichael(int n) {
  int k = 1;
  for( ;; ) {
    int done = 1;
    for( int x=1; x<n; x++ ) {
      if( gcd(x,n)==1 && pw(x,k,n) != 1 ) {
        done = 0;
        k++;
      }
    }
    if( done ) break;
  }
  return k;
}

Ideone'da dene

Aksiyom 129 bayt

c(n)==(r:=[x for x in 1..n|gcd(x,n)=1];(v,k):=(1,1);repeat(for a in r repeat(v:=powmod(a,k,n);v~=1=>break);v<=1=>break;k:=k+1);k)

daha az golf

cml(n)==
 r:=[x for x in 1..n|gcd(x,n)=1];(v,k):=(1,1)
 repeat 
   for a in r repeat(v:=powmod(a,k,n);v~=1=>break)
   v<=1=>break
   k:=k+1
 k

Sonuçlar

(3) -> [i,c(i)] for i in [1,2,3,10,35,101,530,3010,6511,10000]
   Compiling function c with type PositiveInteger -> PositiveInteger

   (3)
   [[1,1], [2,1], [3,2], [10,4], [35,12], [101,100], [530,52], [3010,84],
    [6511,3056], [10000,500]]
                                             Type: Tuple List PositiveInteger