Doğal Kesinti Sisteminin on çıkarımının kullanılması, DeMorgan yasalarını ispatlamaktadır .

Doğal Kesinti Kuralları

• Olumsuz Giriş: {(P → Q), (P → ¬Q)} ⊢ ¬P

• Olumsuzluğun Ortadan Kaldırılması: {(¬P → Q), (¬P → ¬Q)} ⊢ P

• Ve Giriş: {P, Q} ⊢ P ʌ Q

• Ve Eliminasyon: P ʌ Q ⊢ {P, Q}

• Veya Giriş: P ⊢ {(P ∨ Q),(Q ∨ P)}

• Veya Eliminasyon: {(P ∨ Q), (P → R), (Q → R)} ⊢ R

• Iff Giriş: {(P → Q), (Q → P)} ⊢ (P ≡ Q)

• Iff Eliminasyonu: (P ≡ Q) ⊢ {(P → Q), (Q → P)}

• Giriş ise: (P ⊢ Q) ⊢ (P → Q)

• Eger Eliminasyon: {(P → Q), P} ⊢ Q

Geçirmez yapısı

Kanıtınızdaki her ifade, daha önce türetilmiş bazı önerilere (dairesel mantık yok) veya bir varsayıma (aşağıda açıklanmıştır) uygulanan on kuraldan birinin sonucu olmalıdır. Her kural ⊢(mantıksal sonuç operatörünün) sol tarafındaki bazı önermelerde çalışır ve sağ taraftan herhangi bir sayıda teklif oluşturur. If Giriş, operatörlerin geri kalanından biraz farklı çalışır (aşağıda ayrıntılı olarak açıklanmaktadır). Bir diğerinin mantıksal sonucu olan bir ifadeyle çalışır.

örnek 1

Aşağıdaki ifadelere sahipsiniz:

{(P → R), Q}

Ve Giriş'i aşağıdakileri yapmak için kullanabilirsiniz:

(P → R) ʌ Q

Örnek 2

Aşağıdaki ifadelere sahipsiniz:

{(P → R), P}

Eğer Eleme yapmak için kullanabilirsiniz:

R

Örnek 3

Aşağıdaki ifadelere sahipsiniz:

(P ʌ Q)

Yapmak için Eleme'yi kullanabilirsiniz:

P

veya yapmak için:

Q

Varsayım Yayılımı

Herhangi bir noktada dilediğiniz herhangi bir ifadeyi kabul edebilirsiniz. Bu varsayımlardan türetilmiş olan ifadeler, bunlara "bağlı" olacaktır. İfadeler ayrıca, ana beyanlarının dayandığı varsayımlara bağlı olacaktır. Varsayımları ortadan kaldırmanın tek yolu If If. Çünkü eğer giriş Q, bir cümleye dayanan bir İfade ile başlar Pve biter (P → Q). Her varsayım üzerine yeni açıklama güvenen Qgüvenir hariç varsayımı için P. Son ifadeniz varsayımlara dayanmamalı.

Özellikler ve puanlama

Doğal Kesinti Hesaplaması'nın yalnızca 10 çıkarımını kullanarak DeMorgan'ın iki yasasının her biri için bir kanıt oluşturacaksınız.

İki kural:

¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ʌ ¬Q

¬(P ʌ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q

Puanınız, kullanılan çıkarımların sayısı ve yapılan varsayımların sayısıdır. Son ifadeniz herhangi bir varsayıma dayanmamalı (yani bir teorem olmalı).

Kanıtınızı uygun gördüğünüz şekilde biçimlendirmekte özgürsünüz.

Herhangi bir Lemmayı bir ispattan diğerine puan vermeden ücretsiz olarak taşıyabilirsiniz.

Örnek Kanıt

Bunu kanıtlayacağım (P and not(P)) implies Q

(Her madde işareti noktası +1 puandır)

• üstlenmek not (Q)

• üstlenmek (P and not(P))

• Üzerinde Ve Elim kullanma (P and not(P))derived{P, not(P)}

• Kullanımı ve Tanıtımı Pve not(Q)türetilmesi(P and not(Q))

• Sadece türetmek için türetilmiş ifadesinde And Elim kullanın. P

Yeni Pteklif daha önce türettiğimizden farklı. Yani varsayımlara dayanıyor not(Q)ve (P and not(P)). Oysa asıl ifade sadece güveniyordu (P and not(P)). Bu bize yapmamızı sağlar:

• Giriş, Ptanıtım not(Q) implies P(hala (P and not(P))varsayıma bağlı)

• Türetmek not(P)ve not(Q)(3. adımdan itibaren) türetmek için kullanın.(not(P) and not(Q))

• Sadece türetmek için türetilmiş ifadede And Elim kullanın not(P) (şimdi bağımlı not(Q))

• Yeni not(P)tanıtıma Giriş isenot(Q) implies not(P)

• Şimdi olumsuzlama giderimini kullanacağız not(Q) implies not(P)ve not(Q) implies Ptüretmek için kullanacağız.Q

Bu Qsadece varsayıma bağlı (P and not(P)), ispat ile bitirebiliriz.

• Giriş Qtüretmek üzerine(P and not(P)) implies Q

Bu kanıt toplam 11 puan alır.

Skor: 81

Her satır 1 puan değerinde olmalıdır. De Morgan'ın yasaları (3) ve (6) ifadelerinde bulunur. Parantez içindeki etiketler, bir satırın hemen öncekinden geçmemesine bağlı olan önceki ifadeleri ifade eder.

(a) assume P {
    (aa) P ^ P
    (ab) P
    (ac) P v Q
} (a1) P -> P
  (a2) P -> P v Q
(1) assume ~P ^ ~Q {
    (1a) assume P v Q {
        (1aa) assume Q {
            (1aaa) assume ~P {
                (1aaaa) Q ^ Q [1aa]
                (1aaab) Q
                (1aaac) ~Q [1]
            } (1aaa1) ~P -> Q
              (1aaa2) ~P -> ~Q
            (1aab) P
        } (1aa1) Q -> P
        P [1a, a1, 1aa1]
        ~P [1]
    } (1a1) P v Q -> P
      (1a2) P v Q -> ~P
    (1b) ~(P v Q)
} (11) ~P ^ ~Q -> ~(P v Q)
(2) assume ~(P v Q) {
    (2a) ~(P v Q) ^ ~(P v Q)
    (2b) assume P {
        (2aa) ~(P v Q) [2a]
    } (2b1) P -> ~(P v Q)
    (2c) ~P [a2, 2b1]
    (2d) assume Q {
        (2da) ~(P v Q) [2a]
        (2db) P v Q
    } (2d1) Q -> ~(P v Q)
      (2d2) Q -> P v Q
    (2e) ~Q
    (2f) ~P ^ ~Q
} (21) ~(P v Q) -> ~P ^ ~Q
(3) ~(P v Q) == ~P ^ ~Q [11, 21]
(4) assume ~P v ~Q {
    (4a) assume ~P {
        (4aa) assume P ^ Q {
            (4aaa) P
            (4aab) ~P ^ ~P [4a]
            (4aac) ~P
        } (4aa1) P ^ Q -> P
          (4aa2) P ^ Q -> ~P
        (4ab) ~(P ^ Q)
    } (4a1) ~P -> ~(P ^ Q)
    (4b) assume ~Q {
        (4ba) assume P ^ Q {
            (4baa) Q
            (4bab) ~Q ^ ~Q [4b]
            (4bac) ~Q
        } (4ba1) P ^ Q -> Q
          (4ba2) P ^ Q -> ~Q
        (4bb) ~(P ^ Q)
    } (4b1) ~P -> ~(P ^ Q)
    (4c) ~(P ^ Q) [4, 4a1, 4b1]
} (41) ~P v ~Q -> ~(P ^ Q) 
(5) assume ~(P ^ Q) {
    (5a) assume ~(~P v ~Q) {
        (5aa) ~(~P v ~Q) ^ ~(P ^ Q) [5, 5a]
        (5ab) assume ~P {
            (5aba) ~P v ~Q
            (5abb) ~(~P v ~Q) [5aa]
        } (5ab1) ~P -> ~P v ~Q
          (5ab2) ~P -> ~(~P v ~Q)
        (5ac) P
        (5ad) assume ~Q {
            (5ada) ~P v ~Q
            (5adb) ~(~P v ~Q) [5aa]
        } (5ad1) ~Q -> ~P v ~Q
          (5ad2) ~Q -> ~(~P v ~Q)
        (5ae) Q
        (5af) P ^ Q [5ac, 5ae]
        (5ag) ~(P ^ Q) [5aa]
    } (5a1) ~(~P v ~Q) -> P ^ Q
      (5a2) ~(~P v ~Q) -> ~(P ^ Q)
    (5b) ~P v ~Q
} (51) ~(P ^ Q) -> ~P v ~Q
(6) ~(P ^ Q) == ~P v ~Q [41, 51]

Puan: 59

açıklama

Bu stili oldukça okunaklı bulduğum için ispat için bir ağaç benzeri yapı kullanacağım. Her satır kullanılan kuralların sayısına göre açıklanmıştır, örneğin, meydan okumadaki "Örnek 1" bu ağaç olarak gösterilecektir (aşağıdan yukarıya doğru büyür):

Bilinmeyen A, B sayımlarını ve count varsayımını not alın - bu bir teorem değildir. Bir teoremin nasıl ispatlanacağını göstermek için, A'yı alalım ve bir Or-girişini şu şekilde kullanalım:

Şimdi bu hala A varsayımına dayanıyor ancak bir If-girişi uygulayarak bir teorem türetebiliriz:

Böylece, ⊢ A → ( A ∨ B ) teoremini toplam 3 adımda türetebildik (1 varsayım ve 2 uygulamalı kural).

Bununla DeMorgan Yasasını kanıtlamamıza yardımcı olacak birkaç yeni kuralı kanıtlamaya devam edebiliriz.

Ek Kurallar

İlk önce Patlama Prensibi'ni çıkaralım ve bunu kanıtlarla PE ile gösterelim :

Bundan, başka bir formunu türetiriz : A ⊢ ¬ A → X - ona CPE diyoruz :

Biz Terslenmis terim (¬) bir varsayımdır başka bir ihtiyacı ve o sonuca referans alırız CPE ^- :

Yeni oluşturduğumuz iki kuraldan ( CPE ve CPE ^- ) önemli bir kural çıkartabiliriz : Negatiflik :

Sonraki şey yapmak için böyle bir şey kanıtlamak Modus Tollens - dolayısıyla MT :

lemmaları

Lemma A

Lemma A1

Aşağıdaki kurala iki kez ihtiyacımız olacak:

Lemma A

Kanıtlanmış lemayı iki kez başlatarak eşdeğerliğin bir yönünü gösterebiliriz, final kanıtında buna ihtiyacımız olacaktır:

Lemma B

Başka bir yön göstermek için, iki kez bazı tekrarlayan şeyler yapmamız gerekecek ( A ve B'nin her ikisinde de ( A ∨ B ) argümanları için ) - bu, burada kanıtı daha fazla golf oynayacağım anlamına gelir.

Lemma B1 '

Lemma B1

Lemma B2 '

Lemma B2

Lemma B

Sonunda B1 ve B2'nin vardığı sonuç :

Gerçek kanıtı

Bir keresinde bu iki ifadeyi kanıtladık:

• Lemma A : ⊢ ( A ∨ B ) → ¬ (¬ A ʌ ¬ B )
• Lemma B : ⊢ ¬ ( A ∨ B ) → (¬ A ʌ ¬ B )

İlk denkliği (¬ ( A ∨ B ) ≡ ¬ A ʌ ¬ B )) aşağıdaki gibi ispatlayabiliriz :

Ve Iff-Eliminasyon ile birlikte kanıtlanmış kuralla, ikinci denkliği de kanıtlayabiliriz:

Skordan emin değilim - doğru yaptıysam, yanlış bir şey olup olmadığını bilmeme izin ver.

açıklama

Kaynak

Biri tex kaynağını istiyorsa ( mathpartir gerekiyor ):

In the following a rule \textbf{XYZ'} will denote the rule XYZ's second last
step, for example \textbf{PE'} will be $ A \land \lnot A \vdash X $.

\section*{Principle of Explosion [PE]}

\begin{mathpar}
  \inferrule*[Left=$\to$-Intro,Right=10]
    {\inferrule*[Left=$\lnot$-Elim,Right=9]
      {\inferrule*[Left=$\to$-Intro,Right=4]
        {\inferrule*[Left=$\land$-Elim,Right=3]
          {\inferrule*[Left=Axiom,Right=2]
            { }
            { A \land \lnot A, \lnot X \vdash A \land \lnot A }
          }
          { A \land \lnot A, \lnot X \vdash A }
        }
        { A \land \lnot A \vdash \lnot X \to A } \\
       \inferrule*[Right=$\to$-Intro,Left=4]
          {\inferrule*[Right=$\land$-Elim,Left=3]
            {\inferrule*[Right=Axiom,Left=2]
              { }
              { A \land \lnot A, \lnot X \vdash A \land \lnot A }
            }
            { A \land \lnot A, \lnot X \vdash \lnot A }
          }
        { A \land \lnot A \vdash \lnot X \to \lnot A }
      }
      { A \land \lnot A \vdash X }
    }
    { \vdash (A \land \lnot A) \to X }
\end{mathpar}

\section*{Conditioned PE [CPE]}

\begin{mathpar}
  \inferrule*[Left=$\to$-Intro,Right=5]
  {\inferrule*[Left=$\to$-Elim,Right=4]
    {\inferrule*[Left=$\land$-Intro,Right=3]
      {\inferrule*[Left=Axiom,Right=1]
        { } { A \vdash A } \\
       \inferrule*[Right=Axiom,Left=1]
        { } { \lnot A \vdash \lnot A }
      }
      { A, \lnot A \vdash A \land \lnot A } \\
     \inferrule*[Right=PE,Left=0]
      { } { \vdash (A \land \lnot A) \to X }
    }
    { A, \lnot A \vdash X }
  }
  { A \vdash \lnot A \to X }
\end{mathpar}

to get \textbf{CPE$^-$}:

\begin{mathpar}
  \inferrule*[Left=$\to$-Intro,Right=1]
    {\inferrule*[Left=CPE',Right=0]
      { }
      { A, \lnot A \vdash X }
    }
    { \lnot A \vdash A \to X }
\end{mathpar}

\section*{Double Negation [DN]}

\begin{mathpar}
  \inferrule*[Left=$\equiv$-Intro,Right=5]
    {\inferrule*[Left=$\to$-Intro,Right=2]
      {\inferrule*[Left=$\lnot$-Elim,Right=1]
        {\inferrule*[Left=CPE$^-$,Right=0]
          { }
          { \lnot\lnot A \vdash \lnot A \to X } \\
          \inferrule*[Right=CPE$^-$,Left=0]
          { }
          { \lnot\lnot A \vdash \lnot A \to \lnot X }
        }
        { \lnot\lnot A \vdash A }
      }
      { \vdash \lnot\lnot A \to A } \\ \\ \\
      \inferrule*[Left=$\to$-Intro,Right=2]
        {\inferrule*[Left=$\lnot$-Intro,Right=1]
          {\inferrule*[Left=CPE,Right=0]
            { }
            {  A \vdash \lnot A \to X } \\
            \inferrule*[Right=CPE,Left=0]
            { }
            { A \vdash \lnot A \to \lnot X }
          }
          { A \vdash \lnot\lnot A }
        }
        { \vdash A \to \lnot\lnot A }
    }
    { \vdash \lnot\lnot A \equiv A  }
\end{mathpar}

\section*{Modus Tollens [MT]}

\begin{mathpar}
  \inferrule*[Left=$\to$-Intro,Right=6]
    {\inferrule*[Left=$\lnot$-Intro,Right=5]
      {\inferrule*[Left=Axiom,Right=1]
       { }
       { A \to \lnot B \vdash A \to \lnot B } \\
       \inferrule*[Right=$\to$-Intro,Left=3]
         {\inferrule*[Right=Axiom,Left=2]
           { }
           { A, B \vdash B }
         }
         { B \vdash A \to B }
       }
      { A \to \lnot B, B \vdash \lnot A }
    }
    { A \to \lnot B \vdash B \to \lnot A }
\end{mathpar}

\section*{Lemma A}

\textbf{Lemma A1}:

\begin{mathpar}
  \inferrule*[Left=$\to$-Intro,Right=9]
    {\inferrule*[Left=$\lor$-Elim,Right=8]
       { \inferrule*[Left=CPE,Right=3]
          {\inferrule*[Left=$\land$-Elim,Right=2]
            {\inferrule*[Left=Axiom,Right=1]
              { }
              { A \land B \vdash A \land B }
            }
            { A \land B \vdash B}
          }
          { A \land B \vdash \lnot B \to X } \\
         \inferrule*[Right=CPE,Left=3]
          {\inferrule*[Right=$\land$-Elim,Left=2]
            {\inferrule*[Right=Axiom,Left=1]
              { }
              { A \land B \vdash A \land B }
            }
            { A \land B \vdash A }
          }
          { A \land B \vdash \lnot A \to X } \\ \\ \\
         \inferrule*[Right=Axiom,Left=1]
          { }
          { \lnot A \lor \lnot B \vdash \lnot A \lor \lnot B }
       }
       { A \land B, \lnot A \lor \lnot B \vdash X }
    }
    { \lnot A \lor \lnot B \vdash (A \land B) \to X }
\end{mathpar}

\textbf{Lemma A}:

Puan: 65

De Morgan yasaları satır 30 ve satır 65'tir.

(Bunu başarabilmek için herhangi bir çaba sarf etmedim, örneğin, başlangıçta soyutlanabilecek bazı tekrarlanan kanıtlar olup olmadığını görmek için.)

 1. assume ~(P\/Q)
 2.   assume P
 3.     P\/Q  by or-introl, 2
 4.   P -> P\/Q  by impl-intro, 2, 3
 5.   P -> ~(P\/Q)  by impl-intro, 2, 1
 6.   ~P  by neg-intro, 4, 5
 7.   assume Q
 8.     P\/Q  by or-intror, 7
 9.   Q -> P\/Q  by impl-intro, 7, 8
10.   Q -> ~(P\/Q) by impl-intro, 7, 1
11.   ~Q  by neg-intro, 9, 10
12.   ~P /\ ~Q  by and-intro, 6, 11
13. ~(P\/Q) -> ~P/\~Q  by impl-intro, 1, 12
14. assume ~P /\ ~Q
15.   ~P, ~Q  by and-elim, 14
16.   assume P \/ Q
17.     assume P
18.     P -> P  by impl-intro, 17, 17
19.     assume Q
20.       assume ~P
21.       ~P -> Q  by impl-intro, 20, 19
22.       ~P -> ~Q  by impl-intro, 20, 15
23.       P  by neg-elim, 21, 22
24.     Q -> P  by impl-intro, 19, 23
25.     P  by or-elim, 16, 18, 24
26.   P\/Q -> P  by impl-elim, 16, 25
27.   P\/Q -> ~P  by impl-elim, 16, 15
28.   ~(P\/Q)  by neg-intro, 26, 27
29. ~P/\~Q -> ~(P\/Q)  by impl-intro, 14, 28
30. ~(P\/Q) <-> ~P/\~Q  by iff-intro, 13, 29
31. assume ~(P/\Q)
32.   assume ~(~P\/~Q)
33.     assume ~P
34.       ~P\/~Q  by or-introl, 33
35.     ~P -> ~P\/~Q  by impl-intro, 33, 34
36.     ~P -> ~(~P\/~Q)  by impl-intro, 33, 32
37.     P  by neg-elim, 35, 36
38.     assume ~Q
39.       ~P\/~Q  by or-intror, 38
40.     ~Q -> ~P\/~Q  by impl-intro, 38, 39
41.     ~Q -> ~(~P\/~Q)  by impl-intro, 38, 32
42.     Q  by neg-elim, 40, 41
43.     P /\ Q  by and-intro, 37, 42
44.   ~(~P\/~Q) -> P /\ Q  by impl-intro, 32, 43
45.   ~(~P\/~Q) -> ~(P /\ Q)  by impl-intro, 32, 31
46.   ~P \/ ~Q  by neg-elim, 44, 45
47. ~(P/\Q) -> ~P\/~Q  by impl-intro, 31, 46
48. assume ~P\/~Q
49.   assume ~P
50.     assume P/\Q
51.       P, Q  by and-elim, 50
52.     P/\Q -> P  by impl-intro, 50, 51
53.     P/\Q -> ~P  by impl-intro, 50, 49
54.     ~(P/\Q)  by neg-intro, 52, 53
55.   ~P -> ~(P/\Q)  by impl-intro, 49, 54
56.   assume ~Q
57.     assume P/\Q
58.       P, Q  by and-elim, 57
59.     P/\Q -> Q  by impl-intro, 57, 58
60.     P/\Q -> ~Q  by impl-intro, 57, 56
61.     ~(P/\Q)  by neg-intro, 59, 60
62.   ~Q -> ~(P/\Q)  by impl-intro, 56, 61
63.   ~(P/\Q)  by or-elim, 48, 55, 62
64. ~P\/~Q -> ~(P/\Q)  by impl-intro, 48, 63
65. ~(P/\Q) <-> ~P\/~Q  by iff-intro, 47, 64