Sayısal Matematiğe Giriş

Bu "Merhaba Dünya!" PDE'ler (Kısmi Diferansiyel Denklemler). Laplace veya Difüzyon Denklemi Fizikte sıklıkla görülür, örneğin Isı Denklemi, Deforme, Akışkanlar Dinamiği, vb ... Gerçek hayat 3D olduğundan, "Merhaba Dünya!" "99 şişe bira, ..." şarkı söylemeyin, bu görev 1D'de verilir. Bunu, her iki ucunda bir duvara bağlı, üzerine kuvvet uygulanmış bir kauçuk elbise olarak yorumlayabilirsiniz.

Bir [0,1]etki alanında ubelirli kaynak işlevi fve sınır değerleri için bir işlev bulun u_Lve u_Rbu şekilde:

• -u'' = f
• u(0) = u_L
• u(1) = u_R

u'' "" nin ikinci türevini belirtir. u

Bu tamamen teorik olarak çözülebilir, ancak göreviniz, puan için ayrı bir x alanında sayısal olarak çözmektir N:

• x = {i/(N-1) | i=0..N-1}veya 1 tabanlı:{(i-1)/(N-1) | i=1..N}
• h = 1/(N-1) aralık mı

Giriş

• f işlev veya ifade veya dize olarak
• u_L, u_Rkayan nokta değerleri olarak
• N tamsayı olarak> = 2

Çıktı

• Dizi, Liste, bir Ayrılmış dize çeşit uöyle kiu_i == u(x_i)

Örnekler

örnek 1

Girdi: f = -2, u_L = u_R = 0, N = 10(alamaz Do f=-2yanlış, bir değer ancak döner bir sabit fonksiyon değildir -2herkes için x. Bu bizim ipe sabit yerçekimi kuvvetinin gibidir.)

Çıktı: [-0.0, -0.09876543209876543, -0.1728395061728395, -0.22222222222222224, -0.24691358024691357, -0.24691358024691357, -0.22222222222222224, -0.1728395061728395, -0.09876543209876547, -0.0]

Kolay ve kesin bir çözüm var: u = -x*(1-x)

ÖRNEK 2

Girdi: f = 10*x, u_L = 0 u_R = 1, N = 15(Burada sağ tarafta rüzgâra karşı bir sürü vardır)

Çıktı: [ 0., 0.1898688, 0.37609329, 0.55502915, 0.72303207, 0.87645773, 1.01166181, 1.125, 1.21282799, 1.27150146, 1.29737609, 1.28680758, 1.2361516, 1.14176385, 1.]

Bu durumlar için kesin çözüm: u = 1/3*(8*x-5*x^3)

ÖRNEK 3

Girdi: f = sin(2*pi*x), u_L = u_R = 1, N = 20(Birisi yerçekimi kırdı veya yukarı ve rüzgar altı bir tür vardır)

Çıktı: [ 1., 1.0083001, 1.01570075, 1.02139999, 1.0247802, 1.0254751, 1.02340937, 1.01880687, 1.01216636, 1.00420743, 0.99579257, 0.98783364, 0.98119313, 0.97659063, 0.9745249, 0.9752198, 0.97860001, 0.98429925, 0.9916999, 1.]

İşte kesin çözüm u = (sin(2*π*x))/(4*π^2)+1

Örnek 4

Girdi: f = exp(x^2), u_L = u_R = 0,N=30

Çıktı: [ 0. 0.02021032 0.03923016 0.05705528 0.07367854 0.0890899 0.10327633 0.11622169 0.12790665 0.13830853 0.14740113 0.15515453 0.16153488 0.1665041 0.17001962 0.172034 0.17249459 0.17134303 0.16851482 0.1639387 0.15753606 0.1492202 0.13889553 0.12645668 0.11178744 0.09475961 0.07523169 0.05304738 0.02803389 0. ]

Hafif simetriye dikkat edin

FDM

Bunu çözmek için olası bir yöntem Sonlu Farklar Yöntemi'dir :

• yeniden yazmak -u_i'' = f_iolarak
• (-u_{i-1} + 2u_i - u{i+1})/h² = f_i hangisine eşit
• -u_{i-1} + 2u_i - u{i+1} = h²f_i
• Denklemleri kurun:

• Bir matris-vektör denklemine eşit olan:

• Bu denklemi çözün ve u_i

Python'da gösteri için bunun bir uygulaması:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def laplace(f, uL, uR, N):
 h = 1./(N-1)
 x = [i*h for i in range(N)]

 A = np.zeros((N,N))
 b = np.zeros((N,))

 A[0,0] = 1
 b[0] = uL

 for i in range(1,N-1):
  A[i,i-1] = -1
  A[i,i]   =  2
  A[i,i+1] = -1
  b[i]     = h**2*f(x[i])

 A[N-1,N-1] = 1
 b[N-1]     = uR

 u = np.linalg.solve(A,b)

 plt.plot(x,u,'*-')
 plt.show()

 return u

print laplace(lambda x:-2, 0, 0, 10)
print laplace(lambda x:10*x, 0, 1, 15)
print laplace(lambda x:np.sin(2*np.pi*x), 1, 1, 20)

Matris Cebiri olmadan alternatif uygulama ( Jacobi yöntemini kullanarak )

def laplace(f, uL, uR, N):
 h=1./(N-1)
 b=[f(i*h)*h*h for i in range(N)]
 b[0],b[-1]=uL,uR
 u = [0]*N

 def residual():
  return np.sqrt(sum(r*r for r in[b[i] + u[i-1] - 2*u[i] + u[i+1] for i in range(1,N-1)]))

 def jacobi():
  return [uL] + [0.5*(b[i] + u[i-1] + u[i+1]) for i in range(1,N-1)] + [uR]

 while residual() > 1e-6:
  u = jacobi()

 return u

Ancak Laplace denklemini çözmek için başka bir yöntem kullanabilirsiniz. Eğer iteratif yöntemi kullanırsanız, artık dek yineleme gerektiğini |b-Au|<1e-6ile, bsağ taraf vektörü olmaku_L,f_1h²,f_2h²,...

notlar

Çözüm yönteminize bağlı olarak, verilen çözümlerle ilgili örnekleri tam olarak çözemeyebilirsiniz. En azından N->infinityhata sıfıra yaklaşmalıdır.

Standart boşluklara izin verilmez , PDE'ler için yerleşik girişlere izin verilir.

Bonus

Grafik veya ASCII-art çözümünü görüntülemek için% -30'luk bir bonus.

Kazanan

Bu codegolf, baytlardaki en kısa kod kazanıyor!

Mathematica, 52.5 bayt (= 75 * (% 1-30))

@Flawr'ın yorumu başına +0,7 bayt.

ListPlot[{#,u@#}&/@Subdivide@#4/.NDSolve[-u''@x==#&&u@0==#2&&u@1==#3,u,x]]&

Bu çıktıyı çizer.

Örneğin

ListPlot[ ... ]&[10 x, 0, 1, 15]

açıklama

NDSolve[-u''@x==#&&u@0==#2&&u@1==#3,u,x]

İşlev için çözün u.

Subdivide@#4

Subdivide [0,1] değerini N (4. giriş) parçalarına ayırın.

{#,u@#}&/@ ...

Harita uçıktısı Subdivide.

ListPlot[ ... ]

Nihai sonucu çizin.

Grafik içermeyen çözüm: 58 bayt

u/@Subdivide@#4/.NDSolve[-u''@x==#&&u@0==#2&&u@1==#3,u,x]&

Matlab, 84, 81.2 79.1 bayt = 113 -% 30

function u=l(f,N,a,b);A=toeplitz([2,-1,(3:N)*0]);A([1,2,end-[1,0]])=eye(2);u=[a,f((1:N-2)/N)*(N-1)^2,b]/A;plot(u)

Bu örnekte satır vektörleri kullandığımı, matrisin Atranspoze edildiği anlamına gelir . ffonksiyon tutamacı olarak alınır a,b, sol / sağ taraf Dirichlet kontrendikedir.

function u=l(f,N,a,b);
A=toeplitz([2,-1,(3:N)*0]);       % use the "toeplitz" builtin to generate the matrix
A([1,2,end-[1,0]])=eye(2);        % adjust first and last column of matrix
u=[a,f((1:N-2)/N)*(N-1)^2,b]/A;   % build right hand side (as row vector) and right mu
plot(u)                           % plot the solution

Örnek olarak f = 10*x, u_L = 0 u_R = 1, N = 15bunun sonucu:

R, 123,2 102,9 98,7 bayt (% 141-30)

Edit: @Angs sayesinde bir avuç bayt kurtardı!

Birisi resimleri düzenlemek istiyorsa, bunu yapmaktan çekinmeyin. Bu temel olarak hem matlab hem de python sürümlerinin bir R uyarlamasıdır.

function(f,a,b,N){n=N-1;x=1:N/n;A=toeplitz(c(2,-1,rep(0,N-2)));A[1,1:2]=1:0;A[N,n:N]=0:1;y=n^-2*sapply(x,f);y[1]=a;y[N]=b;plot(x,solve(A,y))}

Açık ve açık:

u=function(f,a,b,N){
    n=N-1;                                              # Alias for N-1
    x=0:n/n;                                            # Generate the x-axis
    A=toeplitz(c(2,-1,rep(0,N-2)));                     # Generate the A-matrix
    A[1,1:2]=1:0;                                       # Replace first row--
    A[N,n:N]=0:1;                                       # Replace last row
    y=n^-2*sapply(x,f)                                  # Generate h^2*f(x)
    y[1]=a;y[N]=b;                                      # Replace first and last elements with uL(a) and uR(b)
    plot(x,solve(A,y))                                  # Solve the matrix system A*x=y for x and plot against x 
}

Örnek ve test örnekleri:

Adlandırılmış ve çözülmemiş işlev şu şekilde çağrılabilir:

u(function(x)-2,0,0,10)
u(function(x)x*10,0,1,15)
u(function(x)sin(2*pi*x),1,1,20)
u(function(x)x^2,0,0,30)

Not fbağımsız değişken bir R-fonksiyondur.

Golfçü versiyonunu çalıştırmak için (function(...){...})(args)

Haskell, 195168 bayt

import Numeric.LinearAlgebra
p f s e n|m<-[0..]!!n=((n><n)(([1,0]:([3..n]>>[[-1,2,-1]])++[[0,1]])>>=(++(0<$[3..n]))))<\>(col$s:map((/(m-1)^2).f.(/(m-1)))[1..m-2]++[e])

Okunabilirlik oldukça etkilendi. Ungolfed:

laplace f start end _N = linearSolveLS _M y
  where
  n = fromIntegral _N
  _M = (_N><_N) --construct n×n matrix from list
        ( ( [1,0]           --make a list of [1,0]
          : ([3.._N]>>[[-1,2,-1]]) --         (n-2)×[-1,2,-1]
          ++ [[0,1]])       --               [0,1]
        >>= (++(0<$[3.._N])) --append (n-2) zeroes and concat
        )                   --(m><n) discards the extra zeroes at the end
  h  = 1/(n-1) :: Double
  y  = asColumn . fromList $ start : map ((*h^2).f.(*h)) [1..n-2] ++ [end]

YAPILACAKLAR: 83 71 baytta yazdırma .

Lemme bkz:

import Graphics.Rendering.Chart.Easy
import Graphics.Rendering.Chart.Backend.Cairo

D'oh!

Axiom, 579 460 bayt

l(w,y)==(r:=0;for i in 1..y|index?(i,w)repeat r:=i;r)
g(z:EQ EXPR INT,y:BasicOperator,a0:Float,a1:Float,a2:Float):Float==(r:=digits();digits(r+30);q:=seriesSolve(z,y,x=0,[a,b])::UTS(EXPR INT,x,0);w:=eval(q,0);s:=l(w,r+30);o:=solve([w.s=a0,eval(q,1).s=a1]::List(EQ POLY Float),[a,b]);v:=eval(eval(eval(q,a2).s,o.1.1),o.1.2);digits(r);v)
m(z:EXPR INT,a0:Float,a1:Float,n:INT):List Float==(n:=n-1;y:=operator 'y;r:=[g(D(y x,x,2)=-z,y,a0,a1,i/n)for i in 0..n];r)

ungolf ve test

Len(w,y)==(r:=0;for i in 1..y|index?(i,w)repeat r:=i;r)

-- g(z,a0,a1,a2)
-- Numeric solve z as f(y''(x),y'(x),y(x))=g(x) with ini conditions y(0)=a0   y(1)=a1 in x=a2
NSolve2order(z:EQ EXPR INT,y:BasicOperator,a0:Float,a1:Float,a2:Float):Float==
      r:=digits();digits(r+30)
      q:=seriesSolve(z,y,x=0,[a,b])::UTS(EXPR INT,x,0)
      w:=eval(q,0);s:=Len(w,r+30)
      o:=solve([w.s=a0,eval(q,1).s=a1]::List(EQ POLY Float),[a,b])
      v:=eval(eval(eval(q,a2).s,o.1.1),o.1.2);digits(r)
      v

InNpoints(z:EXPR INT,a0:Float,a1:Float,n:INT):List Float==(n:=n-1;y:=operator 'y;r:=[NSolve2order(D(y x,x,2)=-z,y,a0,a1,i/n)for i in 0..n];r)

sorunun işlevi m (,,,) 'dir yukarıdaki kod "file.input" dosyasına konur ve Axiom'a yüklenir. Sonuç, digits () işlevine bağlıdır.

Bazıları golf olmadığını düşünüyorsa => nasıl yapacağını gösterebilir ... teşekkürler

PS

Görünüşe göre 6 numaradan sonra. e ^ (x ^ 2) için burada veya örneklerde tamam değil ama burada basamakları artırıyorum ama sayılar değişmiyor ... benim için bu sayıların yanlış olduğu anlamına geliyor. Neden diğer herkes numaralarını göstermedi?

günah için (2 *% pi * x) de problem var

"Burada kesin çözüm u = (sin (2 * π * x)) / (4 * π ^ 2) +1" i x = 1/19 için kesin çözümü kopyaladım:

              (sin(2*π/19))/(4*π^2)+1

WolframAlpha https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sin(2% CF% 80% 2F19))% 2F ( % 4 CF% 80% 5E2)% 2B1 sonuç

1.008224733636964333380661957738992274267070440829381577926...
1.0083001
  1234
1.00822473

Sonuç olarak önerilen 1.0083001, 4. basamakta gerçek sonuçtan farklıdır 1.00822473 ... (6. değil)

-- in interactive mode
(?) -> )read  file
(10) -> digits(9)
   (10)  10
                                                        Type: PositiveInteger
(11) -> m(-2,0,0,10)
   (11)
   [0.0, - 0.0987654321, - 0.172839506, - 0.222222222, - 0.24691358,
    - 0.24691358, - 0.222222222, - 0.172839506, - 0.098765432, 0.0]
                                                             Type: List Float
(12) -> m(10*x,0,1,15)
   (12)
   [0.0, 0.189868805, 0.376093294, 0.555029155, 0.72303207, 0.876457726,
    1.01166181, 1.125, 1.21282799, 1.27150146, 1.29737609, 1.28680758,
    1.2361516, 1.14176385, 1.0]
                                                             Type: List Float
(13) -> m(sin(2*%pi*x),1,1,20)
   (13)
   [1.0, 1.00822473, 1.01555819, 1.02120567, 1.0245552, 1.02524378, 1.02319681,
    1.0186361, 1.01205589, 1.00416923, 0.99583077, 0.987944112, 0.981363896,
    0.976803191, 0.97475622, 0.975444804, 0.978794326, 0.98444181, 0.991775266,
    1.0]
                                                         Type: List Float
(14) -> m(exp(x^2),0,0,30)
   (14)
   [0.0, 0.0202160702, 0.0392414284, 0.0570718181, 0.0737001105, 0.0891162547,
    0.103307204, 0.116256821, 0.127945761, 0.138351328, 0.147447305,
    0.155203757, 0.161586801, 0.166558343, 0.170075777, 0.172091643,
    0.172553238, 0.171402177, 0.168573899, 0.163997099, 0.157593103,
    0.149275146, 0.13894757, 0.126504908, 0.111830857, 0.0947971117,
    0.0752620441, 0.0530692118, 0.0280456602, - 0.293873588 E -38]
                                                             Type: List Float