Sezgim her zaman herhangi bir küre 2D uzaya yansıtıldığında sonucun her zaman matematiksel olarak bir elips (ya da dejenere durumlarda bir daire) olacağı olmuştur.

Geçmişte kendi grafik programlamamı aktif olarak yapıyordum ve bunu diğer insanlarla buluşturduğumda yanıldım. Doğru hatırlıyorsam, sonucun belirsizce "yumurta biçimli" bir şey olabileceğine inanıyorlardı.

Kim haklıydı?

Sunulan bir cevap olduğundan, sorumu tamamen değiştirmek istemiyorum, ancak alanla ilgili aşina olduğum yıllar boyunca önemli detayları bıraktığımın farkındayım.

İzdüşümün doğrusal bir uygulama olduğu perspektif izdüşüm hakkında özel olarak soru sormayı hedefledim .

Diğer projeksiyonlar elbette birçok kullanım için ilginçtir, bu yüzden onların bu noktada kaldırılmasını istemem. Ancak cevapların en belirgin bölümleri olarak perspektif izdüşümü elde etmesi harika olurdu.

Bir perspektif izdüşümü ve kürenin dışına bir bakış açısı varsayarsak, o zaman görüş noktası tarafından oluşturulan 'sınır' ve UF'yi görünüm noktasını oluşturan kürenin üzerindeki daire bir koni olacaktır.

Perspektif izdüşümü yapmak (bir düzlem üzerine) daha sonra bu koninin düzlemle böylesine bir konik bölüm oluşturan düzlemle kesişmesine eşdeğerdir. Bilginize, dört dejenere olmayan, bu görüntü Vikipedi'de gösterilir

Dolayısıyla bir elips / daire bir olasılıktır, ancak tek sınırsız paraboller veya hiperboller değildir (ve eğer uçağın gözlerden geçip geçmediğini, hatta yozlaşmış durumları bile tahmin ediyorum) mümkündür.

Bu daha çok @ SimonF'ın bir şekilde kendi kendine yer almaya çalıştığım cevabı üzerine yapılan uzun bir yorum gibi.

Tüm koni kesimleri mümkündür, hiperbol, parabol ve ovaller. Bu, bir 3D motordaki görüntüleri çok geniş açılı bir kamerayla çizerek test etmek kolaydır. Kamerayı 30 derecelik açı yapacak şekilde döndürün, böylece nesne odak noktanızın ortasında olmaz. Ardından kamerayı yavaş yavaş küreye yaklaştırın.

Resim 1: Hafifçe yana bakan bir küreye çok yakın uçan. İçindeki yüzeyi aniden nasıl deldiğimize dikkat edin.

Bu yüzden, küre çok yakın olduğu zaman tekrar özetlemek için geniş görüntüdeki resimden çıkması için bir parabol veya hiperbol olabilir. Ancak, şekil sadece bunu yapmak için çerçeveden çıkacaktır.

Projeksiyon sistemleri, bir 3D şeklini düzlemsel (2D) bir şekle dönüştürmek için kullanılır.

Projeksiyon sisteminin tipine göre, dikdörtgen, turta, elips, daire, ... gibi farklı sonuçlar ve şekiller küre dışına çıkarılabilir.

Projeksiyon sistemleri, ürettikleri sonucun özelliklerine göre sınıflandırılabilir.

Devam etmek için, hepimizin daha önce gördükleri, Dünya küresi ve dünya çapında haritalar gibi çok dokunaklı ve yaygın bir örnek kullanmak istiyorum.

Diyelim ki küreniz dünya!

Dünyayı kendi küreniz ve dünyanın küresel şeklinden oluşturulan düzlemsel bir dünya haritası olarak hayal edin. Dünya haritalarının çoğunda, kutupların yakınındaki ülkelerin gerçekte olduğundan çok daha büyük hale geldiğini görüyorsunuz, gerçekte Afrika kıtasının 1 / 14'ü olan İzlanda, ancak harita ikisini de eşit olarak gösteriyor. Bunun nedeni bir boyutu atlattığımızda, şekillerimizin bir özelliğini kaybettiğimizdir.

Farklı projeksiyon sistemleri ve sonuçları

Bu, mesafeyi, açıları veya alanı korumayan düzlemsel bir çıkıntıdır. Kırmızı daireler, bu projeksiyonun ürünü olan abartı miktarını gösterir.

Eşit Alan, buradaki İzlanda ve Afrika'ya bakın ve yukarıdakilerle karşılaştırın.

Projeksiyon sistemleri, korudukları ile sınıflandırılabilir.

1. Eşit alan
2. Şekli bozulma olmadan koruyan eşit açılı (uygun).
3. Eşit mesafe
4. ......

Uyumlu projeksiyonlar şekilleri korur ancak alan korunmaz (yukarıdaki ilk resim) bu, birçok uygulamada kullanılan en ünlü projeksiyon sistemidir. Kürenin burada bir dikdörtgen!

Yani bir kürenin her zaman bir elips için yansıtılacağını söyleyemezsiniz. Yukarıda belirtildiği gibi, bir küre bir dikdörtgene (birinci şekil) yansıtılabilir veya bir elips olabilir, ancak farklı özelliklere sahip (eşit açı, mesafe, şekil, alan - aşağıdaki resme bakın) veya ayrıca bir koniğe bir küre yansıtabilirsiniz ve sonra koniği açın, böylece bir turta elde edin.

Yukarıdaki projeksiyon sistemlerinin her biri internette bulunabilen yinelemeli veya doğrudan algoritmalar ile uygulanabilir. Formül ve dönüşümlerden bahsetmedim çünkü sen sormadın. Yine de bu cevabı faydalı bulmanızı diliyorum.

Perspektif projeksiyonlarında evet diyorum ki kürelerden yalnızca elipsler üretilecek

Bir koni yatay bir düzlemle kesmek bir daire oluşturur.

Eğik düzlemle kesme, kesme açısına bağlı olarak elips veya hiperbol olacak bir eğim oluşturur ve bu açının düşey meyilli olduğu zaman bir parabol oluşturacaktır (aşağıdaki resim).

Belki bu açık ama denklemlerine bir göz atın.

Basit olması için, tüm geometrilerin orijin merkezli olduğunu varsaydım.

Denklemler:

$x^2+y^2=r^2$

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$

$x^2/a^2-y^2/b^2=1$

$y^2=4ax$

Morfoloji:

Bir elipsin açıkça iki odak vardır. Özel bir elips türü olan bir dairenin de iki odak noktası vardır, ancak bunlar çakışmaktadır. Bununla birlikte, bir hiperbol eşit elipsinin ay eksen aynasıdır ve iki odak noktası da vardır. Bir parabolün bir odağı var ama aslında iki tanesi var çünkü ikincisi sonsuzda: kesme düzlemi 90 dereceye (eğim açısı) eğildiğinde, ikinci odak sonsuzluğa gidiyor.

Sonuç

Hepsinin elips olduğunu gördüğünüz gibi, özel durumları tanımlamak için onları farklı adlandırabilirsiniz, ancak bir oyunda uygulayacaksanız, bir elips denklemi varsaymanız gerekir ve bu yeterlidir. Hanginizin doğru olduğunu söyleyemem, siz veya arkadaşınız, çünkü ikisi de doğru olabilir.

SimonF'ın mantığı beni temel olarak ikna etti, ancak bir akıl sağlığı kontrolü yapmaya karar verdim. Bunun gibi bazı kürelere sahip olan bir UE4 seviyesi yükledim:

Fotoğraf makinesini FOV'a 160 dereceye kadar ayarlamıştım ve çok fazla perspektif bozulmasına neden oldum ve onu görüntünün köşesine yakın olacak şekilde konumlandırdım:

Sonra bunu Inkscape'e götürdüm ve elips aracını üzerine çizmek için kullandım:

Sürpriz! Mükemmel bir uyum!

Bir küreyi bir kez dilimleyerek parabol veya hiperbol oluşmaz. Bir daire olan özel durum dışında hiçbir elips yoktur. Sonuç her zaman bir dairedir. Küreyi eğik bir düzlem üzerine yansıtırsanız elips elde edersiniz