Hemisferik Harmoniklerin Konveksiyonu

Küresel Harmonikler (SH), sadece bir avuç katsayı ile düşük frekanslı küresel fonksiyonları temsil etmenin bir yoludur. Bazı güzel matematiksel özelliklere sahiptirler, örneğin çekirdek fonksiyonuna sahip bir evrişim h (x) (dairesel simetriye sahip)

$(h * f) ^ m_l = \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} h ^ 0_l f ^ m_l$

Sıra 3 SH için bir kosinüs loblu konvolüsyon durumunda, bu, bantların faktörlerle basit bir şekilde ölçeklenmesine neden olur.

$[\ pi, \ frac {2 \ pi} {3}, \ frac {\ pi} {4}]$

Birçok durumda, örneğin opak bir yüzeyde belirli bir nokta için gelen ışık, kürenin yarısı sıfır / tanımsız / kullanılmamış olduğundan, tam küresel bilgi gerekmez. Böylece Hemisferik Harmonikler (HSH) doğdu.

HSH için keyfi bir çekirdekle (dairesel simetri ile) konveksiyon nasıl çalışır? SH'nin evrişimi uzatılabilir mi veya bununla ilgili ayrıntılara giren herhangi bir kağıt var mı?

hemisphere

— David Kuri
kaynak

"Dairesel simetri ile keyfi çekirdek" yazıyorsunuz: Bu aslında (Hemisferik) Bölgesel Harmonikler bölümü ile sadece evrişime ihtiyacınız olduğu anlamına gelmiyor mu? Simetri ekseniniz farklıysa, Bölgesel kıvrımdan önce ve sonra rotasyonlar ekleyerek kullanabilirsiniz. Rotasyonların nasıl yapılacağı makalede açıklanmaktadır. Bölgesel kısım (m = 0) ile entegrasyon nispeten kolay olmalıdır. Bununla birlikte, Küresel Harmonikler ile olduğu gibi, keyfi işlevler için analitik olarak çözülemez. Kosinüs lobları gibi basit şeyler iyi çalışmalıdır (henüz denemedim).

— Wumpf

@ Wumpf Haklısın, hemen hemen kaynayan bu. SH için, sadece "f'nin her bandını [çekirdek fonksiyonu] h 'den karşılık gelen m = 0 terimi ile ölçeklendiririm (Sloan'ın Aptal SH Hileleri'nden alıntı yaparak). Soru, HSH için de aynısını yapabilir miyim?

— David Kuri

Bu cevap bazı önemli hususlar hakkında kısa bir genel bakış sunmaya çalışmaktadır. HSH tanımı oldukça karmaşık olduğundan ve bazı önceden değerlendirilmiş fonksiyonlara genel bir bakış bulamadığım için, örnek vermedim çünkü şu anda çok fazla zamanımı alacaktı.

Problem Tanımı ve Kaba Kuvvet

Herhangi bir temel fonksiyon seti ile evrişimi belirlemek ve böylece katsayıları hesaplamak için genellikle integrali alan üzerinde hesaplamamız gerekir (= SH için küre, HSH için yarım küre). HSH temel fonksiyonları H için bir katsayı c aracılığıyla teta ("yukarı / aşağı") ve phi ("sol / sağ") üzerinde tanımlanan yarım küre fonksiyonunu f temsil etmek için yapmamız gereken her şey şudur:

$\ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ {\ frac {2} {\ pi}} f (\ theta, \ phi) \ cdot H_l ^ m (\ theta, \ phi) \ cdot sin (\ theta) \ , \, \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi$

Sin (teta) biz (hemi) kürenin yüzeyi üzerinde entegre çünkü yoktur. Kavramsal olarak, phi değiştirmekten gelen bir alanın büyüklüğü mevcut tetada daha büyük veya daha küçüktür. Burada daha fazlası

Doğruluk veya hesaplama süresi hakkında çok fazla umursamıyorsak bunu basitçe örnekleyerek çözebiliriz: Yarım kürede eşit olarak dağıtılmış (!) Yönler oluşturun, f ve H çarpımını hesaplayın ve sonuçları ortalayın (eğer gerçekten eşit olarak dağıtıldıysa) günahlara (teta) ihtiyacınız yok .

Analitik Bir Çözüme Başlayın

Tabii ki işlevimiz için analitik bir çözüme sahip olmak isteriz, ancak işlerin çok zorlanabileceği yer burasıdır. İlk adım olarak, Kartezyen yönlerde verilen bir fonksiyonu küresel koordinatlara dönüştürmemiz gerekebilir. Bu bölüm hala kolaydır, tüm x, y ve z'nizi aşağıdaki gibi değiştirin:

$(x, y, z) \ rightarrow (\ sin \ theta \ cos \ phi, \ sin \ theta \ sin \ phi, \ cos \ theta)$

Bunun bize z ekseninin yarım kürenin "yukarı" olduğu bir sistem verdiğini ve HSH tarafından temsil edilmesi gerektiğini unutmayın. Bundan sonra, her şeyi bir bilgisayar cebir sistemine eklemek ve denklemi çözmek zaten mümkün olabilir. Tüm m & l' leri çözmeye çalışmayın, bir kerede bir katsayı deneyin, çünkü hepsini bir kerede tanımlayan kompakt bir ifade olması pek olası değildir. HSH'nin tanımı nispeten karmaşıktır, bu da bu işlevleri değerlendirmeyi çok sıkıcı hale getirir. In Bu yazıda sıfır ve 1 siparişi, HSH baz fonksiyonları Kartezyen koordinatlarda bahsedilmektedir.

Dönme ve Bölgesel Harmonikler Hakkında Notlar

Bu z ekseni etrafında dönme simetrik olan fonksiyonlar, başarılı bir analitik derivasyon için çok iyi adaylardır, çünkü bunlar sadece indeks m'ye sahip katsayılar sıfıra eşit olan zonal katsayıları etkiler . Bu özellikle, herhangi bir Bölgesel Küresel Harmonik temsilinin gelişigüzel bir yöne döndürülmesine izin veren ve herhangi bir veri kaybı olmadan Küresel Harmonik temsiline yol açan kolay bir formülün bulunduğu daha genel Küresel Harmonikler için yararlıdır ( buraya bakın). Bu, radyal simetrik "fonksiyonunuzun z" yi gösterdiğini varsayarak ZSH katsayılarını türetebileceğiniz ve daha sonra istediğiniz yöne döndürebileceğiniz anlamına gelir. Bu, örneğin çeşitli kosinüs lob varyasyonları ile mükemmel çalışır ve aynı zamanda soruda bahsettiğiniz faktörleri verir.

Şimdi kötü haber: HSH için, bir fonksiyonun z'den başka bir eksen etrafında herhangi bir dönüşü kayıptır, çünkü fonksiyonunuz rotasyondan sonra tanımlanmamış alt yarımküreye "dokunacaktır". Bu nedenle, uygun bir "Hemi Bölgeselden HSH'ye" rotasyon formülü de yoktur. Bunun yerine, farklı dezavantajlarla yapmanın birçok yolu vardır. Daha fazla ayrıntı için makaleye ve sunuma bakınız .

Bu arada: Tüm bunlar, yarım küre şeklindeki H-Basis ile daha kolaydır (ancak başlangıçta sadece sınırlı sayıda frekans bandı için tanımlanmıştır).

— Wumpf
kaynak