Dünya ufkunun şekli için formül için saygın bir kaynağa ihtiyacınız var

Ne istiyorum

Formülü istemediğimi vurguluyorum --- formülü ve nasıl türetileceğini biliyorum. Çeşitli farklı versiyonları yazının sonuna doğru çoğaltılır. Aslında, başkasının sıra türetmiştir getirmekle kalmamış, aynı zamanda güzel sözcükler biri takdim burada .

İhtiyacım olan şey , formül için saygın bir kaynaktır , örneğin, orijinal araştırmayı bildirme yasağını ihlal etmeden Wikipedia'ya koyabilirsiniz . [İnsanlar gerçekten denedi ... Ama ilgili makalede orijinal araştırma olması nedeniyle bölümü silen çok vicdani bir editör var ... ve ne yazık ki editör doğru, bu yüzden denemenin pek bir anlamı yok savaşmak için.]

Bilgisayar Grafikleri'nde yayınlamamın nedeni

Buradaki biri Dünya'nın yörüngenin nasıl göründüğünü modellemiş olabileceğinden, belki de bu formülün (veya büyük olasılıkla bazı genelleştirilmesinin) bir kitapta, dergide veya konferans bildirisinde veya sınıf notlarında yayınlanıp yayınlanmadığını bilebilir , vb.

Ben "nedeniyle googling" yaptım

Lütfen kimsenin benim adıma cevap aramasını istemediğimi anlayın. Zaten googling bir sürü yaptım ve sadece burada son çare olarak gönderiyorum. Benim umudum, burada birinin yarasadan hemen bir referans bileceği ; değilse ... iyi, umarım en azından aşağıdaki güzel resimden keyif aldınız (eğer kendim söylüyorsam, tam farkındalıkla , her şeyin bilgisayar grafiğiyle ilgilenen insanlarla konuşuyorum ) daha büyük ve daha iyiye geçmeden önce bir şeyler.

Yaklaşan iki kaynak

1. DK Lynch, "Dünya'nın eğriliğini görsel olarak fark eden", Applied Optics vol. 47, H39 (2008). Serbestçe kullanılabilir burada . Ne yazık ki, doğru şekilde yapmak yerine (ki bu zor değil), yazar (a) tam olarak anlamadığım ve (b) bildiklerimle aynı fikirde olmayan bir hack seçti doğru formül.

2. Hartley ve A. Zisserman, Bilgisayarla Görmede Çoklu Görüntü Geometrisi, 2. Baskı. (Cambridge University Press, Cambridge İngiltere, 2004). Sec. 8.3, "Projektif kameranın kuadrisler üzerindeki etkisi" diye okuduk :

Kuadrisin bir küre olduğunu varsayalım, o zaman kamera merkezi ve kuadrik arasındaki ışınların konisi sağ daireseldir, yani kontur jeneratörü, dairenin düzlemi kamera ve küre merkezlerini birleştiren çizgiye dik olacak şekilde bir dairedir. Bu, geometrinin bu çizgi etrafındaki dönme simetrisinden görülebilir. Kürenin görüntüsü, koninin görüntü düzlemi ile kesişmesiyle elde edilir. Bunun klasik bir konik bölüm olduğu açıktır, böylece bir kürenin görünen konturu bir koniktir.

Prensip olarak, sadece biraz daha fazla bilgi dahil edilmişse, tam olarak ihtiyaç duyulan şey olurdu --- en azından küreye ve küre yarıçapına olan mesafenin bir fonksiyonu olarak konik eksantrikliği için bir ifade (durumda görüntü düzlemi, iğne deliği kamerasının ufuktaki bir noktaya yönlendirildiği gibi, koninin bir gentrisine dikey olduğunda).

Bilimsel referansa ihtiyaç duyduğum formül hakkında ayrıntılar

Atmosferi olmayan mükemmel küresel, mükemmel pürüzsüz bir Dünya varsayıyoruz. Ufukta ideal bir iğne deliği kamerası işaret ediyoruz ve basit merkezi projeksiyon kullanarak, kameranın arkasındaki ufku görüntüsünün şeklini hesaplıyoruz (yani filmdeki şekli --- "film düzlemi") . İşte bunu daha net hale getirecek bir grafik ( Asymptote'de , ilgilenenler için yapılmış ):

Yukarıda gördüğümüz gibi, ufuk görüntüsü konik bir bölümün bir parçasıdır. konik eksantrikliği olsun ; yukarıda bahsettiğim derivasyon bunun yerine sadece ters eksantriklik olan bir parametresini kullanır : . Eksantrikliğin kendisi , burada , iğne deliğinin Dünya ve Dünya yüzeyinin üzerindeki yüksekliğinin oranıdır yarıçapı . [Kullanmak yerine oranıdır, yükseklik için , kullanımı yararlı olabilirk k = 1 / ε ε = 1 / $\varepsilon$$k$$k=1/\varepsilon$ ϵ=h/RhRϵRηh+Rη=(R+h)/R=1+ϵηε=1/$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$, iğne deliğinin Dünya merkezine olan uzaklığı , , Dünya yarıçapına oranı : . Açısından , var .]$h+R$$\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$$\eta$$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$

İğne deliğinden ( grafikteki noktası ) film düzlemine olan mesafe bir birim uzunluk olarak alınır.$P$

bir film düzlemi Toprak merkezini birleştiren doğru paralel olacak şekilde seçilir mi -Axis ufuk gösterilir (resimde gösterildiği gibi) ve nokta (etiketli kamera eğitimli edildiği görüntüde). Bu seçim iyi tanımlanmıştır, çünkü çizgisi film düzlemine paralel olmalıdır. Bunun nedeni hem hem de film düzleminin görüş hattına ( ve birleştiren çizgi) dik olmasıdır . Ve bu 1. hattı için olan Dünya'da teğet olduğu , böylece dik 2. veC V C V C V P V P V P V V C V P V V x y $y$$C$$V$$CV$$CV$$PV$$P$$V$$PV$$V$$CV$$PV$film düzlemine diktir, çünkü kamera eğitilmiştir . ekseni dik tabii ki , film düzlemi içinde ekseni ve yalan ve başlangıç noktası projeksiyonu olarak seçilir .$V$$x$$y$$V$

Bu tanımlar yoldan çekildiğinde, Dünya ufkunun görüntüsü olan konik bölümün bir temsilini yazmaya hazırız. Bu, bazıları aşağıda verilen birçok şekilde yazılabilir. İhtiyacım olan bu formüllerden herhangi biri veya bunlara denk bir formül için saygın bir referans.

1. Yukarıda belirtilen türevde verilen açık formül

Yukarıda bahsettiğim derivasyon bunu son versiyon olarak vermektedir:

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

Bunu birkaç ek yolla daha gösterelim.

2. Konik kesitin kanonik denklemi cinsinden ifade

Bu durumda, denklem aşağıdaki formu alır :

$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$ ,

burada, bizim durumumuzda .$\mu=\varepsilon$

Kanonik formun avantajı, özellikle parabol, de dahil olmak üzere tüm koniklerle eşit bir temelde baş edebilmesidir . `` Standart '' formülasyonda (aşağıya bakınız), parabol durumunda sadece limiti olarak ele alınabilir .ε → $\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

Ayrıntılar: Yukarıdaki formül, kenarları olan bir açı meydana sağ dairesel koni, durumunda tutar bir mesafe en ---, kesişen edilen bir açıda bir düzlem tarafından --- koninin tepe noktasından koni eksenine göre . (Açıklığa kavuşturmak için: , koni tepe noktasından elips üzerindeki koni tepe noktasına en yakın noktaya olan mesafedir; bu nokta her zaman elipsin ana ekseninin uçlarından biridir). Bu genel durumda, eksantriklik , .d ω d ε = cos ω / cos θ μ = d ( ε - cos | ω + θ |$2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$

Yukarıdaki grafik açısından: , film düzlemine olan mesafedir (yani, noktalı kırmızı çizgi boyunca olan mesafe); , noktalı kırmızı çizgi ile koninin ekseni ( birleştiren çizgi ve Dünyanın merkezi --- grafikte etiketli siyah çizginin uzantısıdır) arasındaki açıdır ; açı koni ekseni, film düzlemi arasındaki açıdır.P θ P h $d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

Film düzleminin noktalı kırmızı çizgiye dik olduğu göz önüne alındığında, ; ek olarak, alırız , sonra birlikte .d = 1 μ = $\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$

3. Konik bir bölümün `` standart şekli '' cinsinden ifade

Bu form belki de en tanıdık olanıdır:

$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$ .

Aşağıdaki gibi kanonik denkleme (yukarıdaki 2.,) giren parametrelerle ilgilidir:

$x_{0}=0$ ;

$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$ ( bizim durumumuzda — , elips başlangıç ​​noktasından geçer); ve$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$ ( bizim durumumuzda ).$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$

Parabolik davanın sorun yaratacağı açıktır ; Yukarıda belirtildiği gibi, bu dava limiti olarak ele alınmalıdır .$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

4. Parametrik eğri cinsinden ifade

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

burada , ufuktaki bir noktanın boylamıdır, böylece yukarıdaki görüntüdeki noktasına karşılık gelir (yani iğne deliği kameranın eğitildiği noktaya).$\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$

Biri bu formülleri kullanmak nasıl için bkz bu .

Sonuç olarak...

Yukarıdaki formülleri, muhtemelen Dünya'nın uzaydan nasıl göründüğünü modelleme bağlamında saygın bir kaynakta gören var mı? Öyleyse, bu kaynağın ne olduğunu bana bildirir misiniz?

Teşekkürler!

Aradığınız eğri sadece bir düzlemin (kameranın arkası) ve sağ dairesel bir koninin kesişmesidir. Bu gerçekten yeryüzü ya da gezegenlerin uzaydan görüşleri hakkında bir soru değildir; sadece basit 3D koordinat geometrisidir. Bir referans bulmak için, "bir düzlem ve bir koninin kesişimi" veya "bir koninin düzlem kesiti" veya "kuadrik düzlem kesiti" araması yapılmasını öneririm.

3B koordinat geometrisindeki herhangi bir standart metinde ilgili formülleri (ve türevleri) bulacağınızı umuyorum. Bazı olası yerler:

• Somon - Üç Boyutun Analitik Geometrisi Üzerine Bir İnceleme
• Somerville - Üç Boyutlu Analitik Geometri
• Snyder ve Sisam - Analitik Mekan Geometrisi

Bunların hepsi oldukça eski kitaplar ve onları bulmakta zorluk çekebilirsiniz.

Math.StackExchange'i de sormayı deneyebilirsiniz.

Türev "orijinal araştırma" demek bana saçma geliyor. Analitik geometride bir lise ödevi problemidir.