Afin Dönüşümleri nedir?

Afin Transformasyonları Nedir? Sadece noktalara mı, başka şekillere de mi uygularlar? Onların "bestelenmesi" ne anlama geliyor?

Afin Dönüşüm, Lineer Dönüşüm + Çeviri Vektörüdür.

$$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$$

Tek tek noktalara, hatta hatta Bezier eğrilerine uygulanabilir. Çizgiler için, paralel çizgilerin paralel kalması özelliğini korur. Bezier eğrileri için kontrol noktalarının dışbükey gövde özelliğini korur.

Çoğaltılmış Çıkış, bu elde 2 denklem üreten bir "transforme edilmiş" koordinat çifti $(x', y')$ orijinal çiftinden $(x, y)$ ve sabitler bir listesi $(a, b, c, d, e, f)$ .

$$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$$

Elverişli bir şekilde, Doğrusal dönüşüm ve Çeviri vektörü, 2D homojen koordinatlar üzerinde çalışabilen bir 3D matrisine konulabilir.

$$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$$

Bu da yukarıdaki 2 denklemi verir.

Çok uygun bir şekilde , matrislerin kendileri, orijinal 2'nin sırayla gerçekleştireceği aynı dönüşümü gerçekleştiren üçüncü bir matris (sabitlerin) üretmesi için birlikte çoğaltılabilir. Basitçe söylemek gerekirse, matris çarpımları birleştiricidir.

$$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$$

Alternatif olarak, birkaç temel dönüşüm türünü göz önünde bulundurabilir ve bunları birleştirerek daha karmaşık bir dönüşümü oluşturabilirsiniz (bunları çarparak).

Kimlik dönüşümü

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

ölçekleme

$$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

* Not: ölçeklendirme parametreleri veya ile yansıma yapılabilir .$(S_x, S_y) = (-1,1)$$(1,-1)$

Çeviri

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$$

Y ile x çarpık

$$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Y ile x çarpık

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

rotasyon

$$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

[Not Burada soldaki bir satır vektörünü kabul eden Matrix formunu gösterdim . Bu matrislerin transpozisyonu sağdaki sütun vektörü ile çalışacaktır.]

Tamamen ölçeklendirme, döndürme ve çevirme işlemlerinden oluşan bir matris bu üç bileşene geri ayrılabilir .