Eğer bir alt kümesidir , o zaman nasıl bunu gösterebiliriz düzenli edilir?

Diyelim ki, . Öyleyse nin düzenli olduğunu nasıl kanıtlayabiliriz ?$L \subseteq \{0\}^*$$L^*$

Eğer düzenlidir, o zaman elbette bir da düzenlidir. Eğer sonludur, o zaman düzenli ve tekrar düzenlidir. Ayrıca, , nin düzenli olmadığını, ve nin düzenli olduğunu fark ettim .$L$$L^*$$L$$L^*$$L = \{0^p \mid p \text{ is a prime}\}$$L$$L \subseteq \{0\}^*$$L^*$

Ama nasıl herhangi bir alt kümesi için bunu göstermek arasında ?$L$$\{0\}^*$

iki kelime ve içerdiğini varsayalım , bu kelimelerin uzunluklarıve, ortak faktörleri yoktur. Sonra, bu kelimeleri birleştirerek oluşturulamayan en uzun kelimenin uzunluğu ( Frobenius sayısı ) vardır. Yani, dilde uzunlukları ortak bir faktöre sahip olmayan kelimeler varsa, belirli bir minimum uzunluğa sahip tüm kelimeler dilinde . Bunun düzenli olduğunu görmek kolaydır, çünkü zorunlu olarak Myhill-Nerode ayırt edilemezlik ilişkisi altında sınırlı sayıda denklik sınıfı vardır.w 1 w 2 | w 1 | | w 2 | ( | w 1 | - 1 ) ( | w 2 | - 1 ) - 1 L $L$$w_1$$w_2$$|w_1|$$|w_2|$$(|w_1|-1)(|w_2|-1) - 1$$L^*$

deki tüm kelimelerin uzunlukları ortak bir faktörü paylaşıyorsa ne olur ? Eh, bu gibi durumlarda, nin de düzenli olduğunu görmek zor değildir . Basitçe, uzunlukları cinsinden minimum uzunluktan daha büyük olan tüm kelimeler yerine, uzunlukları kelime uzunluklarının GCD'sinin katı olan tüm kelimelerin olacağı ve hiçbir kelime olmayacağı doğru olacaktır. kimin uzunlukları bu GCD'nın katları olacak değil, ve o zamandan beri herhangi bir tamsayı için düzenli , da düzenlidir.L ∗ L ∗ L ∗ ( L k ) ∗ k L $L$$L^*$$L^*$$L^*$$(L^k)^*$$k$$L^*$

Bu gayri resmi, ama bunu resmileştirmek için ihtiyacınız olan her şey burada olmalı.

Temel fikir, tek harfli bir alfabe üzerine inşa edilen bir dilde, yeterince uzun olan her kelimenin daha kısa kelimelerin bir araya getirilmesidir. Dolayısıyla , kelimesinde kelimesini , yani kelimelerinin birleşimini , çekirdek öyle ki kelimelerinin birleşimidir . Böylece . nin sonlu olduğu ortaya çıktı , bu yüzden o ve düzenli.L ∗ L ˚ L w ˚ L L ∗ = ˚ L ∗ ˚ L L $w$$L^*$$L$$\mathring{L}$$w$$\mathring{L}$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$$L^*$

Let bir alt kümesi ve bir kelime . kelimesinin iff , öğelerinin toplamı olarak ifade edilebilir; burada , sözcük uzunlukları kümesidir . Böylece sorun, bir tamsayıyı belirli bir kümedeki tamsayıların toplamı olarak ifade etme oranına düşer (tekrarlara izin verilir): canolarak ifade ile ve ?L w L w L | w | S ⊂ N S M | w | k 1 s 1 + … + k m s m ∀ i , s i ∈ S k 1 ∈ $M$$L$$w$$L$$w$$L$$|w|$$S \subset \mathbb{N}$$S$$M$$|w|$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, s_i \in S$$k_1 \in \mathbb{N}$

Bu aritmetikte bilinen bir sorundur ve cevap, katsayılar negatif ( ), : öğelerinin en büyük ortak böleninin katlarıdır . Negatif olmayan katsayılara gereksinim duyulduğunda, bu hala yeterince büyük.$(k_i)$$k_i \in \mathbb{Z}$$|w|$$S$$\gcd S$$|w|$

tarafından tanımlanan sonsuz sekansı . Bu başlayarak tamsayı (azalan bir dizisidir belirli bir dizini sonra sabit olacak şekilde, ve . Çin kalan teoreminden, her bir eleman olabilir olarak ifade ile ve . Eğer ve sonra negatif olmayan tüm katsayıları seçebilirsiniz.$(g_i)_{i\ge\min S}$$g_i = \gcd (S \cap [0,i])$$g_{\min S} = \min S$$j$$g_j = \gcd S$$S$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, k_i \in \mathbb{Z}$$\{s_1, \ldots, s_m\} = S \cup [0,j]$$x \in S$$x \ge s_1 \cdot \ldots \cdot s_m$

Yeter aritmetik. Let . deki her kelime , uzunluğu en fazla , yani olan kelimelerin bir birleşimi olarak ifade edilebilir . Daha da beri , elimizdeki yana düzenli, sonlu dolayısıyla düzenlidir.$\mathring{L} = \{w \in L \mid |w| \le g_j\}$$L$$L$$g_j$$L \subseteq \mathring{L}^*$$\mathring{L} \subseteq L$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$

Alternatif olarak, tek harfli alfabelerde normal dillerin karakterizasyonunu kullanın .