Basit bir grafiğin yayılan iki ağacında her zaman bazı ortak kenarlar var mı?

24

Birkaç vaka denedim ve basit bir grafiğin yayılan iki ağacının bazı ortak kenarları olduğunu gördüm. Yani, şu ana kadar herhangi bir karşı örnek bulamadım. Fakat bunu da kanıtlayamadım veya ispatlayamadım. Bu varsayımı nasıl ispatlayabilir veya ispat edemezsiniz?

graphs graph-theory spanning-trees

— Bay Sigma.
kaynak

46

Hayır, grafiğinin : $K_4$

Aşağıdaki kenar ayrık kapsayan ağaçlara sahiptir: görüntü tanımını buraya girin

— Bjørn Kjos-Hanssen
kaynak

2

Ağaçların her birini bir tane diğeri şeklini alarak planar yapabilirsiniz . Her şeyi düzlem yapabilirsiniz, kenarın üst sağ köşesinden alt sol köşesine kadar köşeyi karenin dışına doğru bir eğri çizerek yapabilirsiniz.

N

$N$

Z

$Z$

— Birikim

K_{5}

$K_5$

K_{5}

$K_5$

K_{4}

$K_4$

14

Daha fazla ilgi duyan okuyucular için grafiğin kenardan ayrık yayılan ağaçlara ayrışması üzerine bir araştırma var .

$n$ $k$

$K_{4k+2}$ ${2k+1}$

$K_{2n}$

Daha fazlasını arayabilirsiniz. Örneğin, grafiğin yayılan ağaçlara ayrışması için bir Google araması .

— Apass.Jack
kaynak

9

$K_4$

Hayır, grafiğin yayılan iki ağacının ortak kenarları olduğu doğru değildir.

Tekerlek grafiğini göz önünde bulundurun:

Döngüyü "içinde" olan ve dıştaki diğerinden bir tane olan yayılan bir ağaç yapabilirsiniz.

— Gokul
kaynak

3

ancak dış döngü merkez düğümüne

— ulaşmıyor

Haklısın, bu cevabı diğeri yeterli olduğu için sildim.

— Gokul

10

Bunu, dış çevre eksi bazı "akor" artı bazı "yarıçap" ve tamamlayıcılarını alarak değiştirebilirsiniz.

— boboquack

Evet. Aslında sadece bu şekilde görmüştüm. @boboquack

— Bay Sigma.

3

$K_n$ $n\geq4$

$2$

$K_n$ $n\geq4$ $n\geq4$ $2$

$2$

$2$ $2$
Ayrık kenarları olan yayılan ağaçları olan alt çizelgesi olarak tekerlek veya tekerlek dışında herhangi bir grafik var mı?

— Bay Sigma.
kaynak

Bu sorular ve ötesi alıntı yaptığım yazılarda cevaplandırılmıştır. Eğer ilgileniyorsanız, bir göz atabilirsiniz.

— Apass.Jack

Thanks @ Apass.Jack Cevabınızı gördüm. Buna bakacak.

— Bay Sigma.

1

$K_{2k}$

{G,}_{1} = {(v_{2 ben}, v_{2 ben + 1}), (v_{2 ben}, v_{2 ben + 2}), ..., (v_{2 k - 2}, v_{2 k - 1})},

$G_1 = \{ (v_{2i},v_{2i+1} ),(v_{2i},v_{2i+2}),\dots,(v_{2k-2},v_{2k-1})\},$

{G,}_{2} = {(v_{2 ben + 1}, v_{2 ben + 2}), (v_{2 ben}, v_{2 ben}), ... (v_{2 (k - 1)}, v_{2 (k - 1)})}

$G_2 = \{ (v_{2i+1},v_{2i+2}),(v_{2i},v_{2i}),\dots(v_{2(k-1)},v_{2(k-1)})\}$

$0\leq i < k$

$n$ $n+1$

— Acccumulation
kaynak

0

Grafikte bir köprü varsa (yani, kaldırılması grafiği kesen bir kenar), bu kenar her yayılan ağaca ait olmalıdır. Sezgisel olarak, bir köprü iki uç noktasını birleştiren tek kenardır ve bu nedenle mutlaka bağlı olan her alt yazıya aittir.

Öte yandan, grafiğin bir kenarı bir döngüye aitse, o zaman bu kenarı içermeyen bir yayılma ağacı vardır.

Bu nedenle, bir grafiğin her kenarı bir döngüye aitse, yayılan ağaçların hiçbir kenarı ortak değildir (yani, yayılan ağaçların kenar kümelerinin kesişimi boş kümedir).

— mo2019
kaynak