zamanında sözcük çarpanlarına ayırma

Verilen iki dizeleri şunu yazabiliriz onların Ulama için. Bir dize Verilen ve tamsayı şunu yazabiliriz ait Ulama için kopyaları . Şimdi bir dize verildiğinde, bu gösterimi 'sıkıştırmak' için kullanabiliriz, yani olarak yazılabilir . Diyelim bir ağırlığını diyoruz sıkıştırma ağırlığı yüzden, içinde görünen karakter sayısı ikidir ve ağırlığı (a sıkıştırma ait ) üçtür (ayrı$S_1, S_2$$S_1S_2$$S$$k\geq 1$$(S)^k = SS\cdots S$$k$$S$$AABAAB$$((A)^2 B)^2$$((A)^2 B^2)$$(AB)^2 A$$ABABA$$A$ ler) ayrı ayrı sayım yapılır.

Şimdi belirli bir dizesinin 'en hafif' sıkıştırmasını ile hesaplama problemini düşünün . Biraz düşündükten sonra , tam yaklaşıma bağlı olarak veya çalışan bariz bir dinamik programlama yaklaşımı vardır .$S$$|S|=n$$O(n^3 \log n)$$O(n^3)$

Ancak, bu sorunun zamanında çözülebileceği söylendi , ancak bunun nasıl yapılacağı ile ilgili herhangi bir kaynak bulamıyorum. Özellikle, bu sorun yakın tarihli bir programlama yarışmasında verildi ( burada K sorunu , son iki sayfa). Analiz sırasında bir algoritması sunuldu ve sonunda yalancı kuadratik bağdan bahsedildi ( burada dört dakika işaretinde). Ne yazık ki, sunucu sadece 'karmaşık bir kelime birleştirici lemmaya' atıfta bulundu, bu yüzden şimdi buraya çözüm istemeye geldim :-)$O(n^2 \log n)$$O(n^3 \log n)$

Eğer sizi yanlış anlamıyorsam, minimum maliyet çarpanlarının zamanında aşağıdaki gibi hesaplanabileceğini düşünüyorum.$O(n^2)$

Her indeks i için, için bir grup değeri aşağıdaki gibi hesaplayacağız. Let bir tamsayı olduğu gibi tam sayı küçük olması tatminBu özel , bu özelliğe sahip en büyük . Böyle bir yoksa, bu için sıfır değerleri olduğunu bildiğimiz için ayarlayın .$(p_i^\ell, r_i^\ell)$$\ell=1,2,\ldots$$p_i^1\ge 1$$r\ge 2$

Let kesin daha büyük en küçük tam sayı olduğu karşılayan, aynı şekilde, bazı . Daha önce olduğu gibi, sabit sahip maksimum olacak şekilde alın . Genel olarak , den kesinlikle daha büyük olan en küçük sayıdır . Böyle bir yoksa, .$p_i^2$$(r_i^1-1)p_i^1$

Her dizin i için, değerleri ile geometrik olarak arttığından olduğuna . ( varsa, sadece kesinlikle daha büyük değil, en azından daha büyüktür . Bu geometrik artışı oluşturur. )$L_i=O(\log (i+1))$$p_i^\ell$$\ell$$p_i^{\ell+1}$$(r_i^\ell-1)p_i^\ell$$p_i^\ell/2$

Şimdi tüm değerlerin bize verildiğini varsayalım . Minimum maliyet için ayarladığımız anlayışıyla . Tablo sürede .$(p_i^\ell,r_i^\ell)$

$$\mathrm{dp}(i,j) = \min\left\{\mathrm{dp}(i, j-1) + 1, \min_\ell \left(\mathrm{dp}\left(i,j - r_j^\ell p_j^\ell\right) + \mathrm{dp}(j-r_j^\ell p_j^\ell+1,j-p_j^\ell)\right)\right\}$$ $i>j$$\mathrm{dp}(i,j) = +\infty$$O(n^2 + n\sum_j L_j)$

Yukarıda , toplam terimi terime göre sınırlayarak daha önce gözlemledik . Ama aslında, toplamın tamamına bakarsak, daha keskin bir şey kanıtlayabiliriz.$\sum_j L_j = O(\sum_j \log (j+1)) = \Theta(n\log n)$

Soneki ağacı düşünün ait ters (yani, S önek ağacı). Bu toplamı her katkı şarj olur bir kenarına her bir kenarı bir kez en şarj edilecektir. Her den yayılan ve yönünde doğru . Burada , karşılık gelen önek ağacının ve nca, en yakın ortak atası belirtir.$T(\overleftarrow{S})$$S$$\sum_i L_i$$T(\overleftarrow{S})$$p_i^j$$\mathrm{nca}(v(i), v(i-p_i^j))$$v(i-p_i^j)$$v(i)$$S[1..i]$

Bu . Değerler , zamanında sonek ağacının geçişi ile hesaplanabilir, ancak ilgilenen varsa ayrıntıları sonraki bir düzenlemeye bırakacağım.$O(\sum_i L_i)=O(n)$$(p_i^j,r_i^j)$$O(n+\sum_i L_i)$

Bunun mantıklı olup olmadığını bana bildirin.

N uzunluğunda ilk S dizeniz var. İşte yöntemin sözde kodu.

next_end_bracket = n
for i in [0:n]: # main loop

    break if i >= length(S) # due to compression
    w = (next_end_bracket - i)# width to analyse

    for j in [w/2:0:-1]: # period loop, look for largest period first
        for r in [1:n]: # number of repetition loop
            if i+j*(r+1) > w:
                break r loop

            for k in [0:j-i]:
                # compare term to term and break at first difference
                if S[i+k] != S[i+r*j+k]:
                    break r loop

        if r > 1:
            # compress
            replace S[i:i+j*(r+1)] with ( S[i:i+j] )^r
            # don't forget to record end bracket...
            # and reduce w for the i-run, carrying on the j-loop for eventual smaller periods. 
            w = j-i

Çekirdek yönteminin net olmamasına izin verecek ve istiflemek için çok fazla adım gerektirdiğinden kasıtlı olarak "uç braketleri" hakkında çok az ayrıntı verdim. Fikir, ilkinde bir sonraki daralmayı test etmektir. örnek için ABCBCABCBC => (ABCBC) ² => (A (BC) ²) ².

Yani asıl nokta önce büyük dönemler aramaktır. S [i] 'nin S'nin herhangi bir "(", ")" veya gücü atlaması için kullanılan terim olduğunu unutmayın.

• i-döngüsü O (n) 'dir
• j-döngüsü O (n) 'dir
• r + k-döngüler ilk farkta durduğundan O (log (n))

Bu küresel olarak O (n²log (n)).