Sierpiński grafiğindeki Hamilton çevrimleri sayısı

Bu forumda yeniyim ve sadece beynini formda tutmak için bunu yapan bir fizikçiyim, bu yüzden en zarif dili kullanmazsam lütfen zarafet gösterin. Ayrıca, diğer etiketlerin daha uygun olacağını düşünüyorsanız, lütfen bir yorum bırakın.

Çözmem çalışıyorum , bu sorunu bir Hamilton döngü sayısını hesaplamak için gereken için $C(n)$ de $n$ inci sipariş Sierpinski-grafik $S_n$ . (Sierpinski grafiklerinin tanımı ve resimleri için lütfen yukarıdaki bağlantıya bakınız)

buldum $C(n)$, ancak bir şeyleri berbat etmeliydim , çünkü çözümüm verilen $C(5) = 71328803586048$ . Tartışmam çok temel düşüncelerden oluşuyor ve hatayı bulamıyorum. Herhangi bir yardım büyük beğeni topluyor. Uzun görünse bile, takip ederken grafiklere bakarsanız düşünceler önemsiz hale gelir .

(a) Belirli bir grafikte $S_n$ dış köşeleri $A,B,C$ . Sonra aşağıdaki miktarları tanımlarım:

$N(n) :=$ den Hamilton yolların sayısı$A$ için$C$ .

$\bar{N}(n) :=$den yolların sayısı$A$içindışında bir kez, her düğümün ziyaret.$C$$B$

Bu tür yolları - veya tipi yolları da aşağıdaki şekilde çağıracağım .ˉ $N$$\bar{N}$

(b) olduğunu görmek kolaydır .$N(n)=\bar{N}(n)$

Nedeni şudur: tipi bir yol düşünün . başlayarak bu yol biçimindedir . Segmenti değiştirerek ile bir elde tipi yolu. Bu işlem tüm tipi yolları tipi yollarla benzersiz bir şekilde eşler .bir ( A , . . . , X 1 , B , X, 2 , . . . , Cı- ) ( X 1 , B , X, 2 ) ( X 1 , x 2 ) ˉ K K ˉ $N$$A$$(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$$(X_1,B,X_2)$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$N$$\bar{N}$

(c) Bu özyinelemeye elde .$N(n+1)=2N(n)^3$

Bir göz önünde arasından tipi yolu için ve dış köşelerinde subtriangles ifade ile sırasıyla. Açıkça kiA B A , B , C T A , T B , T C$N$$A$$B$$A,B,C$$T_A,T_B,T_C$$N$ tipi yolu başlayarak tam olarak bir kez her subtriangle ziyaret edecek üzerinde T B için . Şimdi ve temas ettiği düğümünü düşünün . Bu nokta yol tarafından ziyaret edildiğinde (i) ayrılmadan önce veya (ii) girdikten sonra iki olasılık vardır.$T_A$$T_B$ Z T A T $T_C$$Z$$T_A$$T_C$$T_A$ . Bu gibi durumlarda, içinde üç alt yol T A , T B , t C türde olan, (i) N , N , ˉ , N ya da(ii) ' ˉ N , N , N , sırasıyla. Bunu akılda tutarak$T_C$$T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

$N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$ and with (b) we arrive at the upper recursion.

(d) We solve the recursion (c) with $N(1)=1$ and obtain $N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$.

(e) Consider a Hamiltonian cycle in the graph $S_n$. As each of three subtriangles is connected to the others via two nodes only, it is clear that the cycle will enter each subtriangle exactly once via one connecting node, then "fill" it, an finally leave it via the other connecting node. Hence the Hamiltonian cycle in $S_n$ consists of three $N$-type subpaths in the subtriangles which all have the structure of $S_{n-1}$. We can conclude for the number of Hamiltonian cycles

$C(n) = N(n-1)^3$.

$n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

ikincisinin sorun sayfasına göre elde edilmesi gerekir (yukarıdaki bağlantı).

Herhangi bir yardım veya yorum için tekrar teşekkürler.

Nice idea! The problem seems to be in step $(b)$. Replacing $(X_1,B,X_2)$ in an $N$-path by $(X_1,X_2)$ gives an $\bar{N}$-path, but not every $\bar{N}$-path will contain $(X_1,X_2)$. So this is not a bijection. This only says $N(n) \leq \bar{N}(n)$.

Or you can in fact show that $\bar{N}(n) = 3N(n)/2$, resulting in $N(n+1) = 3N^3$.