Normal bir dilde belirli bir uzunlukta kelime sayısı

Normal bir dilde belirli bir uzunlukta kelime sayısının cebirsel bir karakterizasyonu var mı?

Wikipedia bir sonucu kesin olmayan bir şekilde belirtiyor:

Herhangi bir normal dil λ $L$ sabitleri vardır ,$\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_k$ ve polinomlar$p_1(x),\,\ldots,\,p_k(x)$ , örneğin, her için$n$ Number$s_L(n)$ uzunluğunun kelimelerin$n$ de$L$ denklemi karşıladığı, $s_L(n)=p_1(n)\lambda_1^n+\dotsb+p_k(n)\lambda_k^n$ .

'ların hangi alanda yaşadıkları ( C , I varsayıyorum) ve işlevin tüm N üzerinde negatif olmayan tamsayı değerlerine sahip olması gerekip gerekmediği belirtilmemiştir . Kesin bir ifade ve kanıt için bir taslak veya referans istiyorum.$\lambda$$\mathbb{C}$$\mathbb{N}$

Bonus soru: Bunun tersi doğrudur, yani bu formun bir işlevi verildiğinde, her uzunluktaki kelime sayısı bu işleve eşit olan normal bir dil var mı?

_{Bu soru genel olarak normal dildeki kelime sayısını belirler $(00)^*$}

Normal bir dil verilen bazı DFA kabul düşünün L , izin bir , transfer matris ( bir i j durumundan ileri uçların sayısı i durumu ile j ), izin X başlangıç durumunda karakteristik vektör olabilir ve izin y kabul eden durumların karakteristik vektörü olabilir. Sonra s L ( n ) = x T A n y $L$$L$$A$$A_{ij}$$i$$j$$x$$y$

$$s_L(n) = x^T A^n y.$$

Ürdün teoremi, karmaşık sayılar üzerinden , ( λ ) , ( λ 1 0 λ ) , ( λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ) , ( λ 1 0 0 ) formlarından birinin blokları olan bir matrise benzediğini belirtir 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ ) , ... Eğer λ ≠ 0 , daha sonra $A$

$$\begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \ldots$$ $\lambda \neq 0$$n$ bu blokların inci güçler İşte bu formüllere ulaştık: bloğuB=λ+N olarak yazın. N'ninardışık güçleri, matrisin ardışık ikincil köşegenleridir. Binom teoremini kullanarak (λ'nınNilebaşladığı gerçeğini kullanarak), Bn=(λ+n)N= $$\begin{pmatrix} \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2} \lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \binom{n}{3}\lambda^{n-3} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \ldots$$ $B = \lambda + N$$N$$\lambda$$N$ Tümλ=0, blok nilpotenttir ve aşağıdaki matrisler elde (gösterimini[n=k]olduğu1isen=kve0başka bir şekilde): ( [ n = 0 ] ),( [ n = 0 ] [ n = 1 ] 0 [ n = $$B^n = (\lambda + n)^N = \lambda^n + n \lambda^{n-1} N + \binom{n}{2} \lambda^{n-2} N^2 + \cdots.$$ $\lambda = 0$$[n = k]$$1$$n=k$$0$ $$\begin{pmatrix} [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] \\ 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] & [n=3] \\ 0 & [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}$$

$A^n$$\binom{n}{k} \lambda^{n-k}$$[n=k]$

$$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n + \sum_j c_j [n=j],$$ $\lambda_i,c_j$$p_i$$n$ $$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n.$$ Bu, sonucun kesin ifadesidir.

Devam edebilir ve hakkında asimtotik bilgi alabiliriz $s_L(n)$, ama bu şaşırtıcı derecede önemsiz değil. Benzersiz bir varsa$\lambda_i$ en büyük büyüklükte $\lambda_1$, sonra

$$s_L(n) = p_1(n) \lambda_1^n (1 + o(1)).$$ Birkaç olduğunda işler daha karmaşık hale gelir $\lambda$en büyük s. Bu, açılarının rasyonel olması gerektiği anlamına gelir (yani, büyüklüğe kadar, birlik köküdür). Paydaların LCM'si$d$sonra asimtotik $s_L$ geri kalanına göre çok $n$ modülo $d$. Bu kalıntılardan bazıları için, hepsi$\lambda$en büyük büyüklükteki s iptal edilir ve daha sonra asimtotik "düşer" ve bu prosedürü tekrarlamak zorundayız. İlgilenen okuyucu, Flajolet ve Sedgewick'in Analitik Kombinatorik Teorem V.3'teki ayrıntıları kontrol edebilir . Bazıları için bunu kanıtlıyorlar.$d$, tamsayılar $p_0,\ldots,p_{d-1}$ ve gerçekler $\lambda_0,\ldots,\lambda_{d-1}$, $$s_L(n) = n^{p_{n\pmod{d}}} \lambda_{n\pmod{d}}^n (1 + o(1)).$$

İzin Vermek $L \subseteq \Sigma^*$ düzenli bir dil ve

$\qquad \displaystyle L(z) = \sum\limits_{n \geq 0} |L_n|z^n$

Bunu üretici fonksiyon ,$L_n = L \cap \Sigma^n$ ve bu yüzden $|L_n|=s_L(n)$.

Bilindiği gibi $L(z)$olan rasyonel , yani

$\qquad \displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)}$

ile $P,Q$polinomlar; bu, en sağdaki dil için sağ doğrusal bir dilbilgisi çevrilerek görülür$L$ çözümü olan bir (doğrusal!) denklem sistemine $L(z)$.

Kökleri $Q$ aslında $|L_n|$, Wikipedia'da belirtilen forma yol açar. Bu hemen nüksleri çözmek için karakteristik polinomlar yöntemi ile ilişkilidir (tarif eden nüks yoluyla$(|L_n|)_{n \in \mathbb{N}}$).