Uzunluk 6, uzunluk 32 ve mesafe 2 olan bir ikili kod var mı?

9

Sorun, varlığını kanıtlamak veya çürütmektir. $C$ , st, $|c| = 6,\forall c\in C$ ; $|C| = 32$ ; $d(c_i,c_j)\geq2,1\leq i<j\leq32$ . ( $d$ hamming mesafesi anlamına gelir)

Tatmin edici bir kod oluşturmaya çalıştım. Alabileceğim en iyi şey izin vermek $C = C'\times C'$ , bir birleşimi $C' = \{000,011,110,101\}$ Bu, 16 büyüklüğündeki teorik üst sınır olur, şimdi sorunu çözmek için ne yapacağımı bilmiyorum.

information-theory coding-theory encoding-scheme

— Miangu
kaynak

9

Evet, böyle bir set var. Aşağıdaki örneği bulmak için doğru yoldasınız.

İzin Vermek $C = \{c : |c|=6 \text{ and there are even number of 1's in c}\}$ . Aşağıdakileri kontrol edebilirsiniz.

$|C|=32$ .
$d(u,v)\geq2$ hepsi için $u,v\in C$ , $u\not=v$ . (Aslında, $d(u,v)=2$ veya 4 veya 6.)

İşte artan zorluk sırasına göre listelenen dört ilgili egzersiz. Soruda olduğu gibi, sadece ikili kod söz konusudur.

Alıştırma 1. 32 kelimelik 6 uzunluğunda ve en az 2 ikili mesafeden oluşan bir örnek veriniz.

Alıştırma 2. Cevapta ve alıştırmada verildiği gibi sadece iki set olduğunu gösterin 1.

Alıştırma 3. Yukarıda verilen uzunluk ve ikili mesafe en az 2 olan kelimelere genelleme yapın. (İpucu, $32=2^{6-1}$ .)

Alıştırma 4. (daha fazla genelleme Yuval'ın cevabında belirtilmiştir) $A(n,d)$ uzunluk kodunun maksimum boyutu $n$ ve minimum çift mesafe $d$ , sonra $A(d,2d)=A(n-1,2d-1)$ .

— John L.
kaynak

1

bence

d (u, v)

$d(u,v)$ ayrıca 6 olabilir, özellikle

u = 000000

$u=000000$ ve

v = 111111

$v=111111$ , her ikisi de

u \in C

$u\in C$ ve

v \in C

$v\in C$ çünkü her ikisinin de çift sayısı 1'dir. Yoksa bir şey mi kaçırıyorum?

— siegi

@siegi, teşekkürler. Güncellenmiş.

— John L.

@Miangu Cevabım yardımcı oldu mu? Kabul etmeyi düşündün mü? (Bu yorum geri bildirim üzerine silinecektir.)

— John L.

7

Eşit bir koddan eşitlik içeren tüm kelimeler $2^{n-1}$ kod sözcükleri ve minimum mesafe $2$ .

Daha genel olarak, $A_2(n,d)$ uzunluk kodunun maksimum boyutu $n$ ve minimum mesafe $d$ , sonra $A_2(n,2d) = A_2(n-1,2d-1)$ .

— Yuval Filmus
kaynak

1

Güzel gerçek, iptal edildi. Bu arada, neden sadece

A (n, d)

$A(n,d)$ onun yerine

A_{2} (n, d)

$A_2(n,d)$ ? İki harf.

— John L.

1

Alt simge alanı belirtir

F_{2}

$\mathbb{F}_2$ .

— Yuval Filmus