İrrasyonel sayı içeren dil CFL değildir

Bir ders kitabında çok çalışıyorum ve nasıl ilerleyeceğimi anlayamıyorum. İşte sorun. Diyelim ki $L = \{a^ib^j: i \leq j \gamma, i\geq 0, j\geq 1\}$ Burada $\gamma$ bir miktar irrasyonel sayıdır. nin bağlamdan bağımsız bir dil olmadığını nasıl kanıtlayabilirim ?$L$

rasyonel olduğu durumlarda , dili kabul eden bir dilbilgisi oluşturmak oldukça kolaydır. Ancak mantıksız olduğu için ne yapacağımı gerçekten bilmiyorum. Pompalama lemmalarının hiçbiri burada çalışacak gibi görünmüyor. Belki de Parikh'in teoremi burada işe yarayacaktır, çünkü sezgisel olarak bu dilin eşlik eden yarı yıllı Parikh imajı yokmuş gibi görünecektir.$\gamma$$\gamma$

Bu alıştırma, Jeffrey Shallit tarafından “Biçimsel Diller ve Otomata Teorisinde İkinci Bir Ders”, Bölüm 4, Alıştırma 25'ten alınmıştır.

Gerçekten herhangi bir yardım ya da doğru yönde dürtüler takdir ediyorum. Teşekkür ederim!

Parikh teoremine göre, eğer $L$ bağlam içermemekteydi sonra resim $M = \{(a,b) : a \leq \gamma b \}$ semilinear olur, olduğu, bu formun sonlu sayıda kümelerinin birliği olacaktır $S = u_0 + \mathbb{N} u_1 + \cdots + \mathbb{N} u_\ell$ , bazı $u_i = (a_i,b_i)$ .

Açıkçası $u_0 \in M$ ve ayrıca her i > 0 için $u_i \in M$ , aksi takdirde yeterince büyük N için u 0 + N u i ∉ M'dir . Bu nedenle g ( S ) : = maks. ( A 0 / b 0 , … , a ℓ / b ℓ ) < γ ( g ( S )$i > 0$$u_0 + N u_i \notin M$$N$$g(S) := \max(a_0/b_0,\ldots,a_\ell/b_\ell) < \gamma$$g(S)$ rasyoneldir). Bu, her $(a,b) \in S$a / b ≤ g ( S ) ' $a/b \leq g(S)$ karşıladığı.

Şimdi $M$$S^{(1)},\ldots,S^{(m)}$ birliği olduğunu varsayalım ve $g = \max(g(S^{(1)}),\ldots,g(S^{(m)})) < \gamma$ tanımlayın . Yukarıda belirtilenler, sendikadaki her $(a,b)$$a/b \leq g < \gamma$ ve $\sup \{ a/b : (a,b) \in M \} = \gamma$ .

---

Tüm $\gamma$ rasyoneldir, dayanıklı başarısız olur ve gerçekten $M$ semilinear olup:

$$\{ (a,b) : a \leq \tfrac{s}{t} b \} = \bigcup_{a=0}^{s-1} (a,\lceil \tfrac{t}{s} a \rceil) + \mathbb{N} (s,t) + \mathbb{N} (0,1).$$ Gerçekten de, yapı, bir çift$(a,b)$sağ taraftaki tatmin içinde$a \leq \tfrac{s}{t} b$(s=s'denberi$s = \tfrac{s}{t} t$). Tersine,$a \leq \frac{s}{t} b$. Birlikte$a \geq s$ve$b \geq t$, çıkarma$(s,t)$den$(a,b)$. Sonunda$a < s$(Beri$b < t$ima$a \leq \frac{s}{t}b < s$). Yana$a \leq \frac{s}{t} b$, zorunlu olarak$b \geq \lceil \tfrac{t}{s} a \rceil$. Hence we can subtract $(0,1)$ from $(a,b)$ until we reach $(a,\lceil \tfrac{t}{s} a \rceil)$.

Every variable except $\gamma$ in this answer stands for a positive integer. It is well-known that given an irrational $\gamma>0$, there is a sequence of rational numbers $\dfrac{a_1}{b_1}\lt\dfrac{a_2}{b_2}\lt\dfrac{a_3}{b_3}\lt\cdots \lt\gamma$ such that $\dfrac{a_i}{b_i}$ is nearer to $\gamma$ than any other rational number smaller than $\gamma$ whose denominator is less than $b_i$.

---

It turns out that the pumping lemma does work!

For the sake of contradiction, let $p$ be the pumping length of $L$ as a context-free language. Let $s=a^{a_p}b^{b_p}$, a word that is $L$ but "barely". Note that $|s|>b_p\ge p$. Consider $s=uvwxy$, where $|vx|> 1$ and $s_n=uv^nwx^ny\in L$ for all $n\ge0$.

Let $t_a$ and $t_b$ be the number of $a$s and $b$s in $vx$ respectively.

• If $t_b=0$ or $\dfrac{t_a}{t_b}\gt\gamma$, for $n$ large enough, the ratio of the number of $a$s to that of $b$s in $s_n$ will be larger than $\gamma$, i.e., $s_n\not\in L$.
• Otherwise, $\dfrac{t_a}{t_b}\lt\gamma$. Since $t_b<b_p$, $\dfrac{t_a}{t_b}\lt \dfrac{a_p}{b_p}$. Hence, $\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\dfrac{a_p}{b_p}$ Since $b_p-t_b<b_p$, $\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\gamma,$ which says that $s_0\not\in L$.

The above contradiction shows that $L$ cannot be context-free.

---

Here are two related easier exercises.

Exercise 1. Show that $L_\gamma=\{a^{\lfloor i \gamma\rfloor}: i\in\Bbb N\}$ is not context-free where $\gamma$ is an irrational number.

Exercise 2. Show that $L_\gamma=\{a^ib^j: i \leq j \gamma, i \ge0, j\ge 0\}$ is context-free where $\gamma$ is a rational number.