Son N sayısının ağırlıklı toplamı

Bir akışta numaralar aldığımızı varsayalım. Her sayı alındıktan sonra , ağırlıkların her zaman aynı, ancak keyfi olduğu son $N$ sayılarının ağırlıklı bir toplamının hesaplanması gerekir.

Hesaplamaya yardımcı olacak bir veri yapısını korumamıza izin verilirse bu ne kadar verimli bir şekilde yapılabilir? den daha iyi yapabilir miyiz $\Theta(N)$, yani bir sayı her alındığında toplamı yeniden hesaplayabilir miyiz?

Örneğin: ağırlıkları varsayalım $W= \langle w_1, w_2, w_3, w_4\rangle$ . Bir noktada son listesine sahip $N$ numaraları $L_1= \langle a, b, c, d \rangle>$ ve ağırlıklı toplamı $S_1=w_1*a+w_2*b+w_3*c+w_4*d$ .

Başka bir sayı, zaman $e$ , alınan olduğu için, elde etmek için listeyi güncelleştirmek $L_2= \langle b,c,d,e\rangle$ ve hesaplamak için gereken $S_2=w_1*b+w_2*c+w_3*d+w_4*e$ .

FFT Kullanarak Dikkat Edilmesi Gerekenler Bu sorunun özel bir durumu Hızlı Fourier Dönüşümü kullanılarak verimli bir şekilde çözülebilir görünmektedir. Burada, tartılmış toplamları $S$ katları olarak hesaplıyoruz . Başka bir deyişle, N sayıları alırız ve ancak o zaman karşılık gelen N ağırlıklı toplamları hesaplayabiliriz . Bunu yapmak için, N - 1 geçmiş sayıya (toplamları zaten hesaplanmış olan) ve N yeni sayıya, toplam 2 N - 1 sayıya ihtiyacımız var.$N$$N$$N$$N-1$$N$$2N-1$

Giriş numaraları bu vektör, ve ağırlık vektörü ise $W$ polinom katsayıları tanımlayan $P(x)$ ve $Q(x)$ katsayılı, $Q$ ters, ürün görüyoruz $P(x)\times Q(x)$ bir polinomdur $x^{N-1}$ ile arasındaki katsayıları $x^{2N-2}$tam olarak aradığımız ağırlıklı toplamlardır. Bunlar FFT giriş Θ ( N ∗ log) kullanılarak hesaplanabilir$\Theta(N*\log (N))$ süresi, bu da bizegirdi sayısı başınaortalamasüresi verir.$Θ(\log (N))$

Ağırlıklı toplam verimli bir şekilde hesaplanır olması gereklidir, çünkü, belirtildiği gibi, ancak sorun çözüm değildir her yeni bir numara alındıktan sonra - hesaplamayı gecikme olamaz.

İşte yaklaşımınızın bir detayı. Her yinelemesinde, sonraki m değerlerinin sıfır olduğu varsayılarak, O ( n log n ) zamanındaki evrişimin m değerlerini hesaplamak için FFT algoritmasını kullanırız . Başka bir deyişle, n - 1 ∑ i = 0 w i a t - i + k hesaplıyoruz $m$$m$$O(n\log n)$$m$w ı olan , n ağırlıkları (ya da tersine ağırlık), bir i , giriş dizisidir t , mevcut zaman ve bir t ' = 0 için t ' > t .

$$\sum_{i=0}^{n-1} w_i a_{t-i+k}, \quad 0 \leq k \leq m-1,$$ $w_i$$n$$a_i$$t$$a_{t'} = 0$$t' > t$

Aşağıdaki iterasyonlarının her biri için , O ( m ) zamanında gerekli dönüşümü hesaplayabiliriz ( i yinelemesi O ( i ) zamanına ihtiyaç duyar ). Dolayısıyla amortisman süresi O ( m ) + O ( n log n / m ) 'dir . Bu m = √ seçilerek en aza indirilir$m$$O(m)$$i$$O(i)$$O(m) + O(n\log n/m)$ ,O'nunamortismanlı çalışma süresini verir($m = \sqrt{n\log n}$.$O(\sqrt{n\log n})$

Bunu O'nun en kötü çalışma süresine iyileştirebiliriz ( √hesaplamayı parçalara ayırarak. Düzeltmemve tanımlar b , T , P , O = m - 1 Σ i = 0 ağırlık p m + i , bir T m - i + o$O(\sqrt{n\log n})$$m$ Her bir C T , p sadece 2 m girişlerebağlıdır, bu nedenle O zamanında hesaplanabilir ( m log m ) . Aynı zamanda, belirli bir Cı ⌊ t / m ⌋ - p , p için 0 ≤ p ≤

$$b_{T,p,o} = \sum_{i=0}^{m-1} w_{pm+i} a_{Tm-i+o}, \quad C_{T,p} = b_{T,p,0}, \ldots, b_{T,p,m-1}.$$ $C_{T,p}$$2m$$O(m\log m)$$C_{\lfloor t/m \rfloor-p,p}$ , O ( n / m + m ) zamanında evrişimi hesaplayabiliriz. Plan Dolayısıyla liste sağlamaktır C ⌊ t / m ⌋ - p , s$0 \leq p \leq n/m-1$$O(n/m + m)$ Her m girişperiyodu için bunların n / m değerini güncellememiz gerekir. Her güncelleme O ( m log m ) süresine sahiptir, bu nedenle bu güncellemeleri eşit olarak dağıtırsak, her giriş O ( ( n / m 2 ) m log m ) = O ( ( n / m ) log m $$C_{\lfloor t/m \rfloor-p,p}, \quad 0 \leq p \leq n/m-1.$$ $m$$n/m$$O(m\log m)$$O((n/m^2) m\log m) = O((n/m) \log m)$. Evrişimin kendisinin hesaplanmasıyla birlikte, girdi başına zaman karmaşıklığı . M = √ seçimi$O((n/m)\log m + m)$ eskisi gibi, buO($m = \sqrt{n\log n}$.$O(\sqrt{n\log n})$