Rastgele düzgün eşleme mükemmel örnekleme

Bir grafik olduğunu varsayalım ile mükemmel eşleşmeleri (bilinmeyen) set . Bu kümenin boş olmadığını varsayalım, o zaman den rastgele eşit olarak örneklemenin ne kadar zor olduğunu varsayalım ? Tekdüze yakın, ancak oldukça tekdüze olmayan bir dağıtımda iyiysem, o zaman verimli bir algoritma var mı? $G$ $M(G)$ $G$ $M(G)$

— Artem Kaznatcheev
kaynak

hakkında daha fazla bir şey biliyor musunuz ? Başka bir deyişle, herhangi bir kısıtlı grafik sınıfıyla ilgileniyor musunuz?

G

$G$

— Juho

@Juho Genel grafikler için sonuçları, özellikle yoğun grafikler için tercih ederim (bu yüzden Yuval'ın cevabında bahsettiği şey umut verici görünüyor). Sanırım daha önce düzlemsel grafikler için bazı sonuçlar gördüm. Bununla birlikte, bu genel bir soru olduğundan, bazı ilginç grafik aileleri için bir cevabınız varsa, muhtemelen bu soruyu arayan diğerlerinin bilmek isteyebileceğinden, cevapları hala faydalı olacaktır.

— Artem Kaznatcheev

Açıkça söylemek gerekirse , elinizde olmadığı varsayılır mı ?

M (G)

$M(G)$

— Raphael

@ Raphael Bence soru önemsiz olurdu diye düşünüyorum. Aslındagenellikle sayma ve örnekleme arasında bir yazışma olduğu için. Yoksa başka bir şekilde "eldeki" mi demek istediniz?

| M (G) |

$|M(G)|$

— Artem Kaznatcheev

Anlıyorum. Düzeltmeye çalıştığım ifadenizi belirsiz buldum. Doğru anladım mı?

— Raphael

Yanıtlar:

Yoğun grafiklerden mükemmel eşleşmeleri örneklemek için Jerrum ve Sinclair'in (1989) klasik bir makalesi var . Jerrum, Sinclair ve Vigoda'nın bir diğer klasik makalesi (2004; pdf) iki taraflı grafiklerden mükemmel eşleşmeleri örneklemektedir.

Bu kağıtların her ikisi de hızla karıştırılan Markov zincirlerini kullanır ve bu nedenle numuneler neredeyse tek tiptir. Tek tip örneklemenin zor olduğunu düşünüyorum.

— Yuval Filmus
kaynak

Grafiğinizin düzlemsel olduğunu varsayarsanız, bu örnekleme problemi için bir polinom zaman prosedürü vardır.

İlk olarak, mükemmel eşleşme sayısını sayma problemi, düzlemsel grafikler için P'dir. ( https://en.wikipedia.org/wiki/FKT_algoritma ) (Bu gerçeğin iyi bir şekilde açıklanması Jerrum'un Sayma, Örnekleme ve Entegrasyon kitabının ilk bölümünde bulunabilir.)

$e$ $G$ $G \setminus e$ $e$ $G$

(Bu, eşleşmelerin "kendiliğinden azaltılabilir" bir yapı olduğu gerçeğinden yararlanmaktadır, bu nedenle sayım problemleri ve tek tip örnekleme problemleri temelde aynıdır. JVV "Tekdüzen bir Dağılımdan Kombinatoryal Yapıların Rastgele Üretimi" ni görebilirsiniz. bakış açısı.)

Bunun doğru dağılımı verdiğine dair basit bir kanıt:

$c(H)$ $H$ $n!$ $n = H/2$

$e_1, \ldots, e_n$

$\frac{ c(G \setminus e_1)}{c(G)} \frac{ c(G \setminus \{e_1, e_2\} )}{c(G \setminus e_1)} \ldots \frac{ c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) }{c(G \setminus \{ e_1, \ldots, e_{n-2} \} )}$

$c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) = 1$ $G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}$ $e_n$ $1 / c(G)$

— Lorenzo Najt
kaynak