Yıldızsız dil ve normal dil

Merak ediyordum ki, kendisi yıldızsız bir dil olduğundan, yıldızsız bir dil olmayan normal bir dil var mı? Bir örnek verebilir misiniz?$a^*$

(dan wikipdia ) Lawson yıldızı içermeyen dilleri olarak tanımlar:

Normal bir dilin, alfabenin harflerinden, boş küme sembolünden, tamamlama da dahil olmak üzere tüm boole işleçlerinden ve birleştirme, ancak Kleene yıldızı olmadan yapılan düzenli bir ifade ile tanımlanabilmesi durumunda yıldızsız olduğu söylenir.

kanıtı :$a^*$

$\emptyset$ yıldız içermez olan yıldız içermeyen Eğer sonra yıldız içermez ise sonra yıldız içermez$\Longrightarrow$
$\Sigma^*=\bar{\emptyset}$$\Longrightarrow$
$A\subseteq\Sigma$$\Sigma^*A\Sigma^*$$\Longrightarrow$
$A\subseteq\Sigma$$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$

Son satırda , çünkü biçiminde olmayan herhangi bir kelime bir harf içeriyor ve tam tersi.$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$$A^*$$\Sigma \setminus A$

Düzenli diller zayıf monadik ikinci dereceden mantık (WMSO) ile tanımlanabilen dillerdir [1].

Yıldızsız diller, (FO [<]) [2] ile birinci dereceden mantıkla$<$ tanımlanabilen dillerdir .

İki mantık aynı derecede güçlü değil. WMSO tarafından tanımlanabilen ancak FO [<] - tanımlanamayan bir dile örnek olarak (açıkça düzenlidir³); bu Ehrenfeucht-Fraissé oyunları ⁴ kullanılarak gösterilebilir .$(aa)^*$

1. Büchi'den Zayıf İkinci Dereceden Aritmetik ve Sonlu Otomata (1960)
2. McNaughton ve Papert (1971) tarafından kontratsız otomata

3. Bir WMSO-formül için olduğu$(aa)^*$

   $\ \begin{align} \bigl[ \forall x. P_a(x)\bigr] \land \Bigl[ \exists x. P_a(x) \to \bigl[ \exists X. X(0) &\land [\forall x,y. X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to \lnot X(y)] \\ &\land [\forall x,y. \lnot X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to X(y)] \\ &\land [\forall x. \operatorname{last}(x) \to \lnot X(x)] \bigr] \Bigr] \;. \end{align}$

   (Sözcük boş değilse, tüm çift dizinlerin kümesidir.)$X$

4. Ayrıca buraya bakınız .

Schützenberger (1965) yıldızsız dillerin cebirsel bir karakterizasyonunu verdi: düzenli bir dil, ancak sözdizimsel monoid aperiodic ise yıldızsızdır. Mantıksal karakterizasyonun aksine (yıldızsız = FO [<]), bu cebirsel karakterizasyon, belirli bir normal dilin yıldızsız olup olmadığına karar vermek için bir algoritma verir (normal dil, sonlu bir otomat, düzenli bir ifade veya bir düzenli dilbilgisi). Mantıksal karakterizasyonu kullanarak (McNaughton ve Papert'e bağlı olarak) aşağıdaki soruna karar verilebilir: WMSO formülü verildiğinde, aynı dili tanımlayan bir FO formülü var mı?

M.-P. Schützenberger, Sadece önemsiz alt gruplara sahip sonlu monoidler üzerine, Bilgi ve Kontrol 8 (1965), 190-194.

R. ~ McNaughton ve S. ~ Papert, Sayaçsız otomata, MIT Press, Cambridge, Mass.-Londra, 1971.

Schützenberger'in teoreminin tam bir kanıtı çeşitli ders kitaplarında veya anket belgelerinde bulunabilir. İlgili algoritmanın temel bir sunumu için (bir kanıt olmadan), bkz.

J.-E. Pin, Sonlu yarıgruplar ve tanınabilir diller: NATO Gelişmiş Eğitim Enstitüsü Yarıgrupları, Resmi Diller ve Gruplar , J. Fountain (éd.), 1-32, Kluwer akademik yayıncıları, (1995).

Yıldızsız diller, birleştirme, tamamlama, birleşim, kavşak içeren, ancak Kleene yıldızı olmayan düzenli ifadelerle tanımlanır.

Düzenli diller tüm bu işlemlerin altında (tamamlamanın önemli nokta olduğu) kapalı olduğundan, yıldızsız her dil de düzenlidir.

Belki de muhabbet demek istedin? Tüm normal diller yıldızsız mı? İkincisinin cevabı hayır. Ayrıntılar için bu makaleye bakın.

Basit bir ayırma örneği (aa) * 'dır. Daha sofistike: Çift (veya tek) eşlikli tüm ikili dizeler.