P ve NP eşitsizliğine karşı çelişki kanıtı?

Ben H nin hiyerarşi teoremleri kullanarak eşit NP olmadığını iddia etmeye çalışıyorum. Bu benim argümanım, ama bunu öğretmenimize gösterdiğimde ve kesinti sonrası, kabul etmek için zorlayıcı bir neden bulamadığım yerde sorunlu olduğunu söyledi.

$P=NP$ olduğunu varsayarak başlıyoruz . Sonra verir $\mathit{SAT} \in P$ bu da kendisini izler . Standlarda olarak, her dil azaltmak yapabilir için . Bu nedenle, . Aksine, zaman hiyerarşisi teoremi dilinde dilinin olması gerektiğini , bu olmadığını belirtir . Bu, ilk varsayımımıza bir çelişki olan değil, olduğu sonucuna varmamıza neden olacaktır . Böylece, şu sonuca vardık: $\mathit{SAT} \in TIME(n^k)$ $NP$ $\mathit{SAT}$ $NP \subseteq TIME(n^k)$ $A \in TIME(n^{k+1})$ $TIME(n^k)$ $A$ $P$ $NP$ $P \neq NP$ .

Kanıtımda bir sorun mu var?

complexity-theory time-complexity p-vs-np

— inverted_index
kaynak

Lütfen $\mathit{SAT}$ bunun yerine bir şey yazın $SAT$ . Leslie Lamport'un orijinal LaTeX kitabında yazdığı gibi, ikincisi S kez A kez T anlamına gelir.

— Oliphaunt - Monica'yı

Daha da iyisi, complexitypaketi kullanın ve sadece yazın \SAT. (Sanırım bu yığın üzerinde mevcut değil.)

— Oliphaunt - Monica

@Oliphaunt Yayını iyileştirebileceğiniz zaman neden bir düzenleme önermiyorsunuz? Her ne kadar burada fark (varsa) beklediğimden çok daha ince olduğunu söylemeliyim.

— Ayrık kertenkele

@Discretelizard Sık sık yapıyorum, ama bu sefer "çok fazla iş" oldu (ben / mobil vardı). Tüm bu $ ve \ değerlerini girmek titiz bir iştir. Onun yerine eğitmeyi seçtim. (Bu karar tamamen rasyonel olmayabilir.)

— Oliphaunt - Monica'yı

Yanıtlar:

Daha sonra bu verimleri $SAT \in P$ kendisi daha sonra takip ettiği $SAT \in TIME(n^k)$ .

Elbette.

Standlarda olarak, her dil azaltmak yapabilir $NP$ için $SAT$ . Bu nedenle, $NP \subseteq TIME(n^k)$ .

Hayır. Polinom zaman indirimi ücretsiz değildir. Biz bu alır söyleyebiliriz $O(n^{r(L)})$ dil azaltmak için zaman $L$ için $SAT$ , $r(L)$ kullanılan polinom zaman azalma üssüdür. Argümanınız burada parçalanıyor. Bütün için olan sonlu $k$ yoktur . En azından bu takip etmiyor $L \in NP$ $r(L) < k$ $P = NP$ ve çok daha güçlü bir ifade olurdu.

Ve bu güçlü ifadesi aslında söyler zaman hiyerarşi teoremi ile çelişir mi? $P$ içine çökmeye olamaz $TIME(n^k)$ , tek başına bütün let $NP$ .

— orlp
kaynak

Sadece azaltmanın kendisi için zaman değil. Daha büyük bir soruna dönüşebilirsin. X'i O (n ^ 5) 'de çözebilirsem ve O (n ^ 6)' daki Y'deki bir problemi O (n ^ 3) boyutlu bir X örneğine azaltabilirsem, O (n ^ 15) gerekir toplamda.

— gnasher729

Eğlenceli bir şekilde, bu argüman PTIME-tamamlanmış problemler için de geçerlidir, örneğin doğrusal zamanda çözülebilen HORNSAT (ancak P'deki tüm problemler doğrusal zaman değildir).

— cody

Diyelim ki $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{NTIME}[n^k]$ . Zaman hiyerarşisi teoreminin belirsiz olmayan versiyonuna göre, herhangi bir $r$ , de olmayan bir $X_r\in\mathrm{NTIME}[n^r]$ problemi vardır . Bu, gibi herhangi bir varsayıma koşulsuz bir sonuçtur. $\mathrm{NTIME}[n^{r-1}]$ $\mathrm{P}\neq\mathrm{NP}$

Herhangi bir $r>k$ seçin . Biz bir belirleyici bir azalma olduğunu varsayalım $X_r$ için $\mathrm{3SAT}$ o zaman içinde hareket eder $n^t$ . Bu üretir $\mathrm{3SAT}$ , en fazla boyutta örneği $n^t$ , en fazla zaman içinde çözülebilir, $(n^t)^k=n^{tk}$ . $X_r$ seçimimizle, $tk>r-1$ olmalı , bu yüzden $t>(r+1)/k$ . Bu fonksiyon $r$ ile sınırlanmadan büyür .

Bu, keyfi bir $\mathrm{NP}$ problemini $\mathrm{3SAT}$ indirmenin ne kadar süreceği konusunda bir sınır olmadığı anlamına gelir . $\mathrm{3SAT}\in \mathrm{P}$ olsa bile , bu indirimlerin ne kadar süreceği konusunda hala bir sınır yoktur. Bu nedenle, özellikle, bazı için $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ olsa bile, $k'$ $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ , hattabazıiçin $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k''}]$ . $k''>k'$

— David Richerby
kaynak