Bir darboğaz problemi ile iş planlaması

Verilen iş J 1 , J 2 , . . . , J n , her işin tamamlanması için T i > 0 , T i ∈ N süresi gerekir.$n$$J_1,J_2,...,J_n$$T_i > 0, T_i \in N$

Her iş, bir seferde yalnızca 1 işi işleyebilen tek bir makine M tarafından önceden işlenmeli ve sonradan işlenmelidir ve her iki aşama da 1 birim zaman gerektirir. Ön işleme tabi tutulduktan sonra, işi sınırsız güce (sınırsız sayıda işi paralel olarak işleyebilen) bir makineye gönderilir ve T i zamanında hazır olur , o zaman ( hemen ) M makinesine gönderilmelidir sonra tekrar işleme.$J_i$$T_i$

İlgili karar sorunu:

Girdi: işlem süreleri arasında K işler, tam sayı, bir K ≥ 2 N Soru: zaman içinde tüm işleri işleyebilir ≤ K yukarıdaki "dar boğaz" modeli kullanılarak?$T_i >0, T_i \in \mathbb{N}$$N$$K\geq 2N$
$\leq K$

Bu sorunun adı var mı?
Karmaşıklığı nedir? ( yoksa N P-tamamlanmış mı?) $\sf{P}$$\sf{NP}$

GÜNCELLEME 29 Mart:
As doğru onun cevabını M.Cafaro tarafından fark, sorunun benzer Kısıtsız Asgari Bitiş Zamanı Sorunu (UMFT) (bkz Bölüm 17 Zamanlama Algoritmaların El Kitabı'nda ise) -Zor (W. içinde kanıtladı Kern ve W. Nawijn, "Tek bir makinede zaman gecikmeleriyle çok işlemli işler zamanlama", Twente Üniversitesi, 1993). Gördüğüm gibi, bazı farklılıklar var çünkü modelimde:$\sf{NP}$

• işlem öncesi / sonrası işlem süresi sabittir (1 birim süre)
• iş tamamlanır tamamlanmaz hemen işlenmesi gerekir (UMFT modeli gecikmelere izin verir)

Kern & Nawijn kanıtını çevrimiçi olarak bulamadım, bu yüzden yukarıdaki kısıtlamaların sorunun zorluğunu değiştirip değiştirmediğini hala bilmiyorum.

Son olarak tüm süreci büyük bir fırına sahip tek bir aşçı robot gibi düşünebilirsiniz ; robot farklı türdeki yiyecekleri birer birer hazırlayabilir (hepsi aynı hazırlık süresini gerektirir), fırına koyar ve pişirilir pişirilmez onları fırından çıkarmalı ve soğuk malzemeler eklemelidir ... " aşçı robot sorunu " :-)

Bu soru W. Yu, H. Hoogeveen ve JK Lenstra (2004) tarafından "Gecikmeli ve Birim Zamanlı İşlemleri Olan İki Makineli Bir Akış Dükkânında Makespan'ın En Aza İndirilmesi" konusunda NP zorluğu kanıtlanmıştır . Bu makalenin 9. bölümünde kanıtlanmıştır:

Teorem 24. Keyfi ara gecikmelerle iş başına iki ünite zaman operasyonu ile tek bir makinede kalıbı en aza indirme problemi, NP açısından zordur.

Burada incelenen model tam olarak, birim zaman gecikmesi T i ile ayrılan iki işlemden oluşur . Sorun tam gecikme değeri hem zaman şiddetle NP-tamamlandıktan T i her iş için belirtilen ve bazı asgari gecikme süresi her iş için belirtilir.$i$$T_i$$T_i$

Bu , Sahni tarafından tanıtılan usta-köle planlama modeline benziyor . Özellikle, probleminiz Single-Master Master-Slave Systems altındadır. Birkaç vakayı ayırt edebilirsiniz:

1) İş yürütme sırasına (sizin durumunuzda olduğu gibi) ek bir kısıtlama eklemezseniz, soruna kısıtsız minimum bitiş zamanı sorunu (UMFT) denir ve NP zor olduğu gösterilmiştir;

2) Aynı Ön İşlem ve Son İşlem Emirleri: minimum bitiş zamanı (OPMFT) çizelgesini koruyan bir sipariş oluşturmak için bir algoritması tasarlamak mümkündür ;$O(n \log n)$

Bu nedenle, 1. durumda probleminiz -hardken, 2. durumda P'dir .$NP$$P$

İlgili diğer sorunlar:

3) Ters Sipariş Son İşlemi: Verilen herhangi bir ön işleme permütasyonu için, , kanonik ters sipariş çizelgesi (CROS) olarak adlandırılan bir ters sipariş çizelgesi oluşturmak mümkündür . Bir ön işleme permütasyon Verilen σ , ilgili CROS benzersizdir. Her minimum bitiş zamanı ters sipariş (ROMFT) çizelgesinin bir CROS olduğunu belirlemek kolaydır .$σ$$σ$

4) işlemde beklemesiz kısıtlama:

a) [MFTNW] İşlemde beklemesiz kısıtlamasına bağlı olarak bitiş süresini en aza indirin; b) [OP-MFTNW] Bu, MFTNW'nin siparişi koruyan sürümüdür. Yani, beklemede ve beklemede olmayan kısıtlamalara tabi olarak bitiş süresini en aza indirin; c) [RO-MFTNW] İşlemde beklemede ve ters sipariş kısıtlamalarına tabi olarak bitiş süresini en aza indirin.

$a$$b$$c$

Çizelgeleme El Kitabı'ndaki ek ayrıntılar , bölüm 17.