En fazla 7 karşılaştırmayla 5 tamsayı dizisini sırala

5 tamsayı bir listeyi nasıl sıralayabilirim, en kötü durumda 7 karşılaştırmayı alır? Başka kaç işlem gerçekleştirildiği umurumda değil. Tamsayılar hakkında özel bir şey bilmiyorum.

Ben bir birleştirme yaklaşımı izlemek veya ekleme konumunu bulmak için ikili arama kullanarak birleştirme ile birleştirmek gibi 8 karşılaştırmalar beni aşağı olsun birkaç farklı böl ve fethet yaklaşımları denedim, ama her 8 ben en kötü durumda karşılaştırır .

Şu anda sadece bir ipucu arıyorum, bir çözüm değil.

algorithms sorting

— Robert S. Barnes
kaynak

"Karşılaştır" ağacını yazmaya çalıştınız mı? It has

yaprak, her biri tamsayıların permütasyonuna karşılık gelir. "Karşılaştır" ağacıyla ne demek istediğimi bilmiyorsanız,

karşılaştırmasına ihtiyacınız olduğunun kanıtını biliyor musunuz ? Ps, bunun mümkün olduğunu düşündüren nedir?

5! = 120

$5! = 120$

n \log n

$n \log n$

— Pål GD

Peki, 8 bit ikisinin tamamlayıcısı, neredeyse bir karşılaştırma ile if(x > y)aynıdır if((x - y) & 0x80). Sanırım nesnelerin tamsayı olduğunu unutmamalıyız ve compare(x, y)bu nesneleri karşılaştırmak için büyülü bir işlev kullanmalıyız ...

— Karolis Juodelė

' Tam olarak bu soruyu kapsayan Bilgisayar Programlama Sanatı Cilt 3'teki optimum sıralama hakkındaki bölüm 5.3'e göz atın' bir ipucu veya çözüm olarak sayılır mı? :-)

— Steven Stadnicki

Sınır gerçekten

. Bu yüzden olduğu (prensipte) mümkün.

2^{c} \geq n!

$2^c \ge n!$

5! = 120 < 2^{7} = 128

$5! = 120 < 2^7 = 128$

— vonbrand

ile ilgili: Minimum sayıda karşılaştırma içeren bir diziyi sıralama

— Janus Troelsen

Yanıtlar:

Bu işleme başlamanın yalnızca bir yolu vardır (ve sonraki adımlarda nelerin karşılaştırılacağına dair neredeyse tüm kararlarınız için, tek bir doğru adım vardır). Bunu nasıl anlayacağınız aşağıda açıklanmıştır. İlk olarak, karşılaştırmalarınız için alabileceğiniz olası cevap olduğunu ve farklı permütasyon arasında ayrım yapmanız gerekiyor. $2^7 =128$ $5! = 120$

İlk karşılaştırma kolaydır: iki anahtarı karşılaştırmanız gerekir ve bunlar hakkında hiçbir şey bilmediğiniz için, tüm seçenekler eşit derecede iyidir. Diyelim ki ve kıyaslayın ve bulun . Artık olası yanıtınız kaldı ve olası permütasyon kaldı (bunların yarısını ortadan kaldırdığımız için). $a$ $b$ $a \leq b$ $2^6 = 64$ $60$

Daha sonra, ve karşılaştırabiliriz veya ilk karşılaştırmada kullandığımız anahtarlardan biriyle karşılaştırabiliriz. Biz karşılaştırırsanız ve ve öğrenmek , o zaman var Kalan cevapları ve olası permütasyon. Karşılaştırdıpımız Diğer yandan, ile , ve bu bilgiye , biz biz ortadan çünkü, diğer olası permütasyon olası permütasyon (olanlar $c$ $d$ $c$ $c$ $d$ $c \leq d$ $32$ $30$ $c$ $a$ $a \leq c$ $40$ $1/3$ ). Sadece olası cevabımızvar, bu yüzden şansımız kalmadı. $c \leq a \leq b$ $32$

Artık birinci ve ikinci anahtarları ve üçüncü ve dördüncü anahtarları karşılaştırmamız gerektiğini biliyoruz. Elimizdeki varsayabiliriz ve . Biz karşılaştırırsanız bu dört tuşlarından herhangi birine, bir önceki adımda kullanılan aynı argüman, biz sadece ortadan kaldırabilir Kalan permütasyon ve biz şans bitti. Bu yüzden tuşlarından ikisini karşılaştırmalıyız . Simetri göz önünde bulundurulduğunda, iki seçeneğimiz var: ve karşılaştırın veya ve karşılaştırın $a\leq b$ $c \leq d$ $e$ $1/3$ $a,b,c,d$ $a$ $c$ $a$ $d$ . Benzer bir sayım argümanı ve karşılaştırmamız gerektiğini gösterir . Biz o genelliği kaybetmeden varsayabiliriz ve şimdi elimizde ve . $a$ $c$ $a \leq c$ $a \leq b$ $a \leq c \leq d$

Bir ipucu istediğinden, tartışmanın geri kalanından geçmeyeceğim. Dört karşılaştırmanız kaldı. Bunları akıllıca kullanın.

— Peter Shor
kaynak

ile

karşılaştırmak sizi sadece 40 permütasyona indirdi?

a

$a$

c

$c$

— Robert S. Barnes

@Robert: Eğer olduğunu varsayalım

. Sonra

bu kısıtlamalarla tutarlı iki permütasyonu vardır ,

. Bu iki permütasyon her biri için, ekleyebilir dört yer vardır

ve ekleyebileceğiniz beş yerler

a \leq b

$a \leq b$

a \leq c

$a \leq c$

a, b, c

$a,b,c$

a < b < c

$a < b < c$

a < c < b

$a < c < b$

d

$d$

e

$e$

— Peter Shor

Bunu D.Knuth'un Bilgisayar Sanatı Programlama Cilt III'te bulabilirsiniz, ancak strateji şöyle ( dizisine sahip olduğunuzu varsayacağım ): cevabımın ilk iki satırı $\{a,b,c,d,e\}$

İlk grup çiftleri: . $(a,b), (c,d)$
Eşleştirmek için çiftleri karşılaştırın, örneğin: . $a<b, c<d$
Çiftlerinin en küçük elemanlarını karşılaştırın, biz mesela sonucu olsun . $a<c$
Son eleman , son karşılaştırmada daha büyük elemanla karşılaştır ( c )
- Eğer , kalan 3 karşılaştırmayla sonuçlanması kolaydır. Bitirdi. $e<c$
- Eğer o zaman gereken sıralama { b , c , d , e } bilgi ile c < e , c < d .
  - , eğer d < e daha sonra
    - B > d ise C o m p a r e ( b , d )
      - . Bitirdi. $Compare(b,e)$
    - Eğer
      - . Bitirdi. $Compare(b,c)$
  - Eğer
    - B > e ise C o m p a r e ( b , e )
      - . Bitirdi. $Compare(b,d)$
    - eğer
      - . Bitirdi. $Compare(b,c)$

Yukarıda belirtilen yolların tümü, ile ilk karşılaştırmasından sonra en fazla üç karşılaştırmaya neden olur . (en fazla 7 anlamına gelir). $e$ $c$

— George
kaynak

Bunun doğru olduğundan emin misin? Aşağıdaki sonuçları aldığınızı varsayın: a <b, c <d, a <c ve sonra c <e, b <e, c <b ve d <e. A <c <b <d <e ve <c <d <b <e sıralarının ikisi de onlarla tutarlıdır. Bunun nedeni, b ve d'nin hiçbir zaman örtük veya açık bir şekilde karşılaştırılmamasıdır. Belki bir yerde yanılıyorum, eğer öyleyse lütfen beni düzeltin.

— George