Bir algoritmanın zaman karmaşıklığı: Logaritmanın temelini belirtmek önemli mi?

19

Logaritma tabanları arasında sadece bir sabit olduğu için, yerine $f(n) = \Omega(\log{n})$ yazmak doğru değil mi? $\Omega(\log_2{n})$

algorithms time-complexity

— Alex5207
kaynak

1

İlgili / yinelenen: Neden ikili aramanın big-O'sindeki günlük temel 2 değil?

— Dukeling

63

Logaritmanın nerede olduğuna bağlıdır. Sadece bir faktörse, o zaman bir fark yaratmaz, çünkü big-O veya $\theta$ herhangi bir sabitle çarpmanıza izin verir.

$O(2^{\log n})$ alırsanız , baz önemlidir. Baz 2'de sadece $O(n)$ olurdu , baz 10'da yaklaşık $O(n^{0.3010})$ .

— gnasher729
kaynak

5

Sanırım bu sadece

gibi bir şey ortaya

. Bir sayıyı

-to-ne olursa olsunyerine

olarak ifade etmek için herhangi bir neden göremiyorum(belki de bir hesaplama ara aşaması hariç).

2^{\sqrt{\log n}}

$2^{\sqrt{\log n}}$

2^{c \log_{b} n}

$2^{c\log_b n}$

n

$n$

— David Richerby

7

"

— Üslerde

50

Asimptotik gösterim sabit faktörlerin habersiz, ve herhangi iki logaritma bir sabit faktör ile farklılık nedeniyle, temel bir fark bulunmaktadır: $\log_a n = \Theta(\log_b n)$ için tüm $a,b > 1$ . Bu nedenle, asimptotik gösterimi kullanırken bir logaritmanın tabanını belirtmeye gerek yoktur.

— Yuval Filmus
kaynak

13

Ben görmeyi tercih

yerine

\in

$\in$

=

$=$

— Nayuki

16

Korkarım standart gösterim

kullanır .

=

$=$

— Yuval Filmus

4

@YuvalFilmus Standart gösterim yanıltıcıdır, diğer her yerde standarttan tamamen farklıdır ve algoritmik karmaşıklığı ona çok benzeyen şeylerden tamamen yabancı görünür hale getirir. "Bu standart gösterim" asla daha iyi ve benzer şekilde açık bir çözüm yerine kötü bir çözümü tercih etmek için bir neden olmamalıdır. (Sembolün anlamı zaten bağlamdan açıkça anlaşılır.)

— wizzwizz4

7

@ wizzwizz4 Ortak uygulama mükemmel bir nedendir. Etkin iletişimi teşvik eder. İngilizce yazım tuhaflıklarına katlanmamızın nedeni budur.

— Yuval Filmus

3

Bazen

sadece daha net olması için çok fazla şeyler vardır

.

n \mapsto \log_{a} n \in Θ (n \mapsto \log_{b} n)

$n \mapsto \log_a n \in \Theta ( n \mapsto \log_b n)$

\log_{a} n = Θ (\log_{b} n)

$\log_a n = \Theta (\log_b n)$

— JiK

15

Olarak $\log_xy = \frac{1}{\log_y{x}}$ ve $\log_x{y} = \frac{\log_z{y}}{\log_z{x}}$ , bu yüzden $\frac{\log_a{n}}{\log_b{n}} = \frac{\log_n{b}}{\log_n{a}} = \log_a{b}$ . Olarak $\log_a{b}$ (bütün pozitif sabittir $a,b > 1$ ), bu nedenle, $\log_a{n} = \Theta(\log_b{n})$ .

— Aman Tanrım
kaynak

8

Çoğu durumda, logaritmanın tabanını düşürmek güvenlidir, çünkü diğer cevapların işaret ettiği gibi, logaritma için temel formül, tüm logaritmaların birbirinin sabit katları olduğu anlamına gelir.

Bunun güvenli olmadığı bazı durumlar vardır. Örneğin, @ gnasher729, bir üste logaritma varsa, logaritmik bazın gerçekten önemli olduğuna dikkat çekmiştir.

Logaritmanın tabanının önemli olduğu başka bir durumu belirtmek istedim ve bu, logaritmanın tabanının doğrudan soruna girdi olarak belirtilen bir parametreye bağlı olduğu durumlar. Örneğin, kök sıralama algoritması bir baz numaraları üzerinden yazma çalışır $b$ , kendi baz-girdi numaraları dekompoze $b$ sonra bu numaralar her seferinde bir basamak sıralamak için sıralama sayımı kullanılırsa, basamak. Her turda yapılan iş $\Theta(n + b)$ ve kabaca $\log_b U$ turları vardır (burada $U$ maksimum giriş tamsayısıdır), bu nedenle toplam çalışma zamanı $O((n + b) \log_b U)$ . Herhangi bir sabit tam sayı $b$ bu $O(n \log U)$ basitleştirir. Ancak, $b$ sabitdeğilse ne olur? Akıllı bir teknik $b = n$ , bu durumda çalışma zamanı $O(n + \log_n U)$ basitleştirilir. Yana $\log_n U$ = $\frac{\log U}{\log n}$ , genel ifadebasitleştirir $O(\frac{n \log U}{\log n})$ . Bu durumda, logaritmanın tabanının gerçekten önemli olduğuna dikkat edin, çünkü giriş boyutuna göre sabit değildir. Benzer çalışma zamanlarına sahip diğer algoritmalar da vardır (örneğin, bir yerlerde $\log_{m/2 + 2}$ terimiyle sona eren ayrık setli ormanların eski bir analizi), bu durumda günlük tabanının düşürülmesi, çalışma zamanı analizine müdahale eder.

Günlük tabanının önemli olduğu başka bir durum, algoritmaya logaritmik tabanı kontrol eden harici olarak ayarlanabilen bir parametrenin olduğu bir durumdur. Buna güzel bir örnek, bir dış parametre $b$ gerektiren B ağacıdır . Emri, bir B-ağaç yüksekliği $b$ olan $\Theta(\log_b n)$ logaritma tabanı olup, önemli olan, $b$ , bir sabit değildir.

Özetlemek gerekirse, sabit bir tabana sahip bir logaritmanın olduğu durumda, genellikle (@ gnasher729'un işaret ettiği gibi istisnalara tabi olarak) logaritmanın tabanını düşürebilirsiniz. Ancak logaritmanın tabanı algoritmanın bazı parametrelerine bağlı olduğunda, bunu yapmak genellikle güvenli değildir.

— templatetypedef
kaynak