Bir bitişiklik matrisinin özdeğerlerinin arkasındaki sezgi

Şu anda Cheeger bağlı ve Cheeger eşitsizliğinin kullanımını ve bunların spektral bölümleme, iletkenlik, genişleme, vb.
Genellikle, grafik teorisinde, karşılaştığımız kavramların çoğunun sezgisi oldukça basittir, ancak bu durumda, ne tür grafiklerin ikinci bir özdeğer çok düşük veya çok yüksek olacağını bile bulamam.
Burada ve orada SE ağında sorulan benzer soruları okudum, ancak genellikle farklı alanlardaki özdeğerlere atıfta bulunuyorlar ( çok değişkenli analiz , Öklid uzaklık matrisleri , korelasyon matrisleri ...).
Ancak spektral bölümleme ve grafik teorisi hakkında hiçbir şey yok.

Birisi grafikler ve bitişiklik matrislerinde bu ikinci özdeğer sezgisini / deneyimini paylaşabilir ve paylaşabilir mi?

İkinci (büyüklükte) özdeğer, grafikteki rastgele yürüyüşün yakınsama oranını kontrol eder. Bu, birçok ders notunda, örneğin Luca Trevisan'ın ders notlarında açıklanmaktadır . Kabaca konuşmak gerekirse, L2 üniformiteye olan mesafe$t$ adımlar sınırlanabilir $\lambda_2^t$.

İkinci öz değerin ortaya çıktığı bir başka yer de ekilen klik problemidir . Başlangıç ​​noktası, rastgele bir$G(n,1/2)$ grafik boyutta bir klik içerir $2\log_2 n$, ancak açgözlü algoritma sadece bir boyut klibi bulur $\log_2 n$ve daha iyi verimli bir algoritma bilinmemektedir. (Açgözlü algoritma rastgele bir düğüm seçer, tüm komşu olmayanları atar ve tekrarlar.)

Bu, üzerine büyük bir klik dikmeyi önerir .$G(n,1/2)$. Soru şudur: Klişenin ne kadar büyük olması gerekir, böylece verimli bir şekilde bulabiliriz. Eğer bir boyut klibi ekersek$C\sqrt{n\log n}$o zaman, kliklerin köşelerini sadece derecelerine göre tanımlayabiliriz; ancak bu yöntem yalnızca boyuttaki kesimler için çalışır$\Omega(\sqrt{n\log n})$. Bunu spektral teknikler kullanarak geliştirebiliriz: eğer bir boyut klibi dikersek$C\sqrt{n}$daha sonra ikinci özvektör , Alon, Krivelevich ve Sudakov'un klasik bir makalede gösterdiği gibi klibi kodlar .

Daha genel olarak, ilk birkaç özvektör grafiği az sayıda kümeye ayırmak için kullanışlıdır. Örneğin , üst düzey Cheeger eşitsizliklerini açıklayan Luca Trevisan'ın ders notlarının 3. Bölümüne bakın .

(Feragatname: Bu cevap genel olarak grafiklerin özdeğerleri ile ilgilidir, özellikle ikinci özdeğerlerle değil. Umarım yine de yardımcı olur.)

Bir grafiğin özdeğerlerini düşünmenin ilginç bir yolu $G = (V, E)$ vektör alanı alarak $\mathbb{R}^n$ nerede $n = |V|$ ve her vektörün bir fonksiyonla tanımlanması $f\colon V \to \mathbb{R}$(yani bir tepe etiketleme). Bitişiklik matrisinin bir özvektörü, öyleyse,$f \in \mathbb{R}^n$ öyle ki $\lambda \in \mathbb{R}$ (yani, bir özdeğer) ile $A f = \lambda f$, $A$ bitişiklik matrisi olmak $G$. Bunu not et$A f$ her tepe noktasını gönderen harita ile ilişkili vektördür $v \in V$ için $\sum_{u \in N(v)} f(u)$, $N(v)$ komşular kümesi olmak (yani bitişik köşeler) $u$. Bu nedenle, bu ortamda, özvektör özelliği$f$işlev değerleri üzerinden toplanan özelliğe karşılık gelir (altında$f$) bir tepe noktasının komşularının tepe noktasının işlev değerini sabit ile çarpmakla aynı sonucu verir.$\lambda$.

Çoğu şey için grafiğin Laplacian'ına bakmak daha verimli $G$bitişiklik matrisi ile yakından ilgilidir. Burada, ikinci özdeğer değerini grafiğin "yerel ve küresel" özelliğiyle ilişkilendirmek için kullanabilirsiniz.

Basitlik için varsayalım ki $G$ dır-dir $d$-düzenli. Sonra normalize edilmiş Laplacian$G$ dır-dir $L= I - \frac1d A$, nerede $I$ bu $n\times n$ kimlik ve $A$bitişiklik matrisidir. Laplacian hakkında güzel olan şey, vektörleri fonksiyon olarak yazmaktır$f: V\to \mathbb{R}$ @dkaeae gibi ve kullanarak $\langle \cdot, \cdot \rangle$ olağan iç ürün için, kuadratik form için bu çok güzel bir ifadeye sahibiz $L$:

$$\langle f, Lf\rangle = \frac{1}{d} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}.$$

En büyük özdeğer $A$ dır-dir $d$, ve en küçük öz değerine karşılık gelir. $L$, hangisi $0$; ikinci en büyük özdeğer$\lambda_2$ nın-nin $A$ 'nin ikinci en küçük öz değerine karşılık gelir. $L$, hangisi $1 - \frac{\lambda_2}{d}$. By min-max prensibi , elimizdeki

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f, f\rangle}:\sum_{v \in V}{f(v)} = 0, f \neq 0\right\}.$$

Dikkat edin $\langle f, Lf\rangle$ vardığımızda değişmez $f$her köşe için aynı sabit ile. Yani, eşdeğer olarak, herhangi biri için$f:V \to \mathbb{R}$, "ortalanmış" işlev $f_0$ tarafından $f_0(u) = f(u) - \frac{1}{n}\sum_{v \in V}{f(v)}$, ve yaz

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f_0, f_0\rangle}: f \text{ not constant}\right\}.$$

Şimdi biraz hesaplama gösteriyor ki $\langle f_0, f_0\rangle = \frac{1}{n}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}$ve yukarıda yer değiştirerek ve pay ve paydayı bölerek $\frac{n}{2}$, sahibiz

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\frac{2}{nd} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}}{\frac{2}{n^2}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}}: f \text{ not constant}\right\}.$$

Bunun anlamı, her köşeyi yerleştirirsek $u$ nın-nin $G$ gerçek çizgide $f(u)$, daha sonra grafikteki iki bağımsız rastgele köşe (payda) arasındaki ortalama mesafe en fazla $\frac{d}{d - \lambda_2}$grafikteki rasgele bir kenarın (pay) uç noktaları arasındaki ortalama mesafenin katları. Yani bu anlamda, büyük bir spektral boşluk,$G$ (yerel davranış), ilişkisiz rastgele bir çift köşe boyunca (küresel davranış) neler olduğuna dair iyi bir öngördür.