Oyuncular geç katıldıklarında adil kek kesme

Adil kek kesme sorununun olağan ifadesi, tüm oyuncunun aynı anda payını aldığını varsayar . Bununla birlikte, birçok durumda oyuncular kademeli olarak gelir. Örneğin, bir pastayı oyuncuya bölebiliriz , ancak sonra yeni bir oyuncu gelir ve bir hisse ister.$n$$n$

Adil kek bölümü genellikle çok fazla çaba gerektirir (örneğin, oyuncuların birçok soruyu cevaplamasını gerektirir), özellikle de oyuncu sayısı fazla olduğunda.

Pastanın oyuncuları üzerinde mevcut bir bölümünü oyunculara yeni bir bölüm oluşturmak için minimum ek çaba ile (yani pastayı sıfırdan yeniden dağıtmaktan çok daha az çaba) kullanmak mümkün müdür ?n + $n$$n+1$

Önceden sorunuza iyi bir cevap veremediğimi söyleyeceğim (eğer yapabiliyorsanız belki bir araştırma makalesi çıkarabilirsiniz), ancak bence problemi resmi olarak tanımlayarak ve bazılarının zorlukların yalan.

Arkaplan . Kek kesimi için modeli açıkça belirteyim. aralığını oyuncu arasında bölmek istiyoruz . Her oyuncu , pastanın alt kümeleri üzerinde bir değerleme fonksiyonuna sahiptir . Bu işlevin bir olasılık ölçüsü olduğunu varsayacağız; negatif olmayan ve katkı maddesidir (ayrık , ) ve . Bu soruna bir çözüm , oyuncuları sorgulayan ve aralığın bölümlerini atayan bir protokol veya algoritmadır. Oyuncuların yanıtlama sorgularında yanlış bildirimde bulunabileceğini / yalan söyleyebileceğini unutmayın.n i v i ( S ) S A , B ⊆ [ 0 , 1 ] v i ( A ∪ B ) = v i ( A ) + v i ( B ) v i ( [ 0 , 1 ] ) = $[0,1]$$n$$i$$v_i(S)$$S$$A,B \subseteq [0,1]$$v_i(A \cup B) = v_i(A) + v_i(B)$$v_i([0,1]) = 1$

Bazı yazılarda daha belirgin kısıtlamalar olacaktır; örneğin , değerleme fonksiyonları sürekli veya parçalı-doğrusal veya parçalı-sabittir.

Oyunculara atanan parçalar . Genellikle bir protokolün aşağıdaki özelliklerini isteriz:$\{S_1,\dots,S_n\}$

• orantılılık : Her oyuncu en az değerini almasını garanti eden bir stratejisi vardır . ( açısından, pastanın toplam değerinin alır .)( 1 / n ) v i ( [ 0 , 1 ] ) i 1 /$i$$(1/n)v_i([0,1])$$i$$1/n$
• haset-serbestlik : Her oyuncu bir strateji olduğunu garanti olduğu her oyuncu için . (Her oyuncu kendi taşını başka bir oyuncunun taşına tercih eder.)$v_i(S_i) \geq v_i(S_j)$$j$

Kıskançlıkların orantılılığı ifade ettiğini unutmayın.

Birkaç parçaya ayırmak, polinom çalışma süresi (ya da gerçekten hesaplanabilirlik / inşa edilebilirlik gibi) isteyebileceğimiz "operasyonel" özellikler de vardır - pastanın bir alt kümesini seçmek için Seçim Aksiyomunu kullanmak istemiyoruz! ), ve bunun gibi.

Sorulması gereken belirli sorular . İki not. İlk olarak, sorunuzun herhangi bir cevabı genel sorunu çözecektir: Bütün pastayı oyuncu vererek başlayın , ardından diğer oyuncuların çevrimiçi olmasına izin verin ve bu protokolü tekrar tekrar uygulayın. Bu nedenle, bu sorunun uyguladığımız standart kek kesme ayarından daha zor olmasını beklemeliyiz.$1$

İkincisi, tüm pastayı herkesten geri alarak ve sıfırdan yeniden dağıtmak için bilinen bir algoritma kullanarak sorununuzu her zaman çözebiliriz. Yani soru, bunu yapmanın biraz daha zarif bir yolu varsa. Ben bunu ölçmek için iyi bir yol olduğunu düşünüyorum "yeniden dağıtım sıfırdan başlamak daha az zaman veya daha az kesim gerektirir; ve / veya oyuncular mevcut dilim önemli bir kısmını tutmak için ne zaman?"

1. Diyelim ki oyuncu için kıskançlık payımız var . oyuncuları arasında kıskanç olmayan bir tahsisat üretmek için nasıl yeniden dağıtırız ?n + $n$$n+1$

Bunun çok zor olduğundan şüpheleniyorum. Bunun nedeni kıskançlık içermeyen, verimli bir tahsisat bulmak zaten zor bir problemdir. Bildiğim kadarıyla, bilinen protokoller pastanın sınırsız sayıda kesilmesini gerektirebilir ve çok karmaşıktır. (Bkz. Brams ve Taylor, Kıskançlık Yapmayan Kek Bölümü Protokolü , 1995.) Yani tüm pastayı herkesten geri almak ve Brams-Taylor kullanarak ajanlarına yeniden dağıtmaktan daha iyi bir şey olmayabilir .$n+1$

1. Diyelim ki için orantılı bir tahsisimiz var ; için orantılı bir ayırma almak için nasıl yeniden dağıtırız ?n + $n$$n+1$

Bence bu hala zor (daha yapılabilir olsa da). Her oyuncunun pastayı eşit değer verdiği ve her oyuncunun boyutlu bir dilimi olduğu durumu düşünün . O zaman yeni oyuncu ne yaparsa yapsın herkes arasında değişiklik yapmayı gerektirecek. Bir başka kötü durum daha var: Oyuncu dilim için tam olarak değerine sahip olduğunu varsayalım , ancak oyuncu dilimine değerini verir . Oyuncu kendi dilimine tam değer verdiğini , ancak oyuncu dilimini ve benzeri değerlerle değiştirdiğini varsayalım , oyuncu kendi dilimine ve oyuncu dilimine değer verir. en1 1 / n 2 ( n - 1 ) / n 2 1 / n 3 ( n - 1 ) / n n 1 / n 1 ( n - 1 ) / n 2 1 3 $1/n$$1$$1/n$$2$$(n-1)/n$$2$$1/n$$3$$(n-1)/n$$n$$1/n$$1$$(n-1)/n$ . Şimdi yeni oyuncu geliyor. Yeni oyuncunun istediği ne olursa olsun, protokolünüz oyuncudan oyuncuya, oyuncudan oyuncuya vb.$2$$1$$3$$2$

Bir referans , Algoritmik Karar Teorisi 2011'de Walsh, Online Kek Kesme olabilir (pdf bağlantısı). Ancak bence kağıt, gelen ajan sayısını önceden bildiğimizi varsayıyor ve oyuncuların ayrıldıklarında (protokolün sonundan önce) tam olarak bir parça tahsis edilmesi gerektiğini varsayıyor, bu yüzden gerçekten probleminiz için geçerli değil.

Orantılılığı koruyan orantılı bir ayırmayı yeniden dağıtmanın bir yolu aşağıdaki gibidir. Mevcut oyuncuların her biri tahsis edilen kek parçasını eşit derecede değer verdiği parçaya kessin. Oyuncu şimdi oyuncunun kesimlerinin her birinden ona göre en iyi parçayı seçecek . Ortaya çıkan tahsinin de orantılı olduğunu göstermek kolaydır.n + 1 n + 1 $n$$n+1$$n+1$$n$

$C$$r$$n$$\frac{\pi r^2}{n}$$(n+1)$$n+1$

Sayıları çalışmak basittir; ilk yeni oyuncu için

$\qquad \pi r_1^2 = \frac{\pi r^2}{n+1}$

arsa için yarıçapı almak. İkincisi için çöz

$\qquad\begin{align} \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \\ \pi r_2^2 - \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \end{align}$

$n + i$$r_i = \frac{r\sqrt{i}}{\sqrt{n+k}}$$k$

$n=6$$k=0,1,2,3$

^{[ kaynak ]}

$n$$n$