Hesaplanabilirlik ve karmaşıklık teorisinde (ve belki başka alanlarda), indirimler her yerde bulunur. Pek çok çeşit var, ancak prensip aynı kalıyor: probleminin bir çözüme eşdeğer olanlara eşleştirilmesiyle en azından diğer problemleri kadar zor olduğunu . Temel olarak, eğer işlevini önişlemci olarak kullanmasına izin , için herhangi bir de çözebileceğini .L 2 L 2 L 1 L 1 L $L_1$$L_2$$L_2$$L_1$$L_1$$L_2$

Yıllardır indirimden payımı aldım ve bir şey beni rahatsız ediyor. Her yeni azaltma (az ya da çok) yaratıcı bir yapı gerektirse de, görev tekrarlanabilir hissedebilir. Bir kanonik yöntem havuzu var mı?

İndirgeme işlevleri oluşturmak için düzenli olarak kullanabileceğiniz teknikler, desenler ve püf noktaları nelerdir?

^{Bunun bir referans soru olması gerekiyordu . Bu nedenle, lütfen en az bir örnekle gösterilen, ancak yine de birçok durumu kapsayan genel ve didaktik olarak sunulan cevaplar vermeye özen gösterin. Teşekkürler!}

Özel Durum

Bazı indirgeme kavramı ile ilgili olarak göstermek istediğimizi varsayalım . Eğer bir olan özel bir durum içinde , oldukça önemsiz: Biz aslında kimlik işlevini kullanabilirsiniz. Bunun arkasındaki sezgi açık: genel durum en azından özel durum kadar zor. R L 1 L $L_1 \leq_R L_2$$R$$L_1$$L_2$

"Uygulamada" bize verildi ve iyi bir indirgeme partneri , yani hard olduğu kanıtlanmış özel bir vakası bulma ile karşı karşıya kaldık.L 1 L 2$L_2$$L_1$$L_2$$R$

Basit bir örnek

KNAPSACK'ın NP zor olduğunu göstermek istediğimizi varsayalım . Neyse ki, SUBSET-SUM'un NP tamamlanmış olduğunu ve gerçekten de KNAPSACK'ın özel bir durum olduğunu biliyoruz . Azaltma

$\qquad f(A,k) = (A, (1,\dots,1), k, |A|)$

yeterli; sayısının en azından bir değer elde edilebilir sorar SIRT ÇANTASI örneği öğe değerleri ile , böylece karşılık gelen ağırlıkları bu altında kalır toplam. SUBSET-SUM'u simüle etmek için ağırlık kısıtlamalarına ihtiyacımız yok, bu yüzden onları sadece totolojik değerlere ayarladık.v V W $(V,W,v,w)$$v$$V$$W$$w$

Basit egzersiz problemi

MAX-3SAT problemini göz önünde bulundurun: bir önerme ve tamsayı verildiğinde , en az yan karşılayan yorumunun olup olmadığına karar verin . NP zor olduğunu göster.k φ $\varphi$$k$$\varphi$$k$

3SAT özel bir durumdur; ile içindeki tümcelerin sayısı yeterlidir.m $f(\varphi) = (\varphi, m)$$m$$\varphi$

Örnek

SUBSET-SUM problemini araştırdığımızı ve bunun NP zor olduğunu göstermek istediğimizi varsayalım .

Şanslıyız ve PARTITION sorununun NP tamamlandı olduğunu biliyoruz . Bunun gerçekten özel bir SUBSET-SUM örneği olduğunu ve formüle edildiğini onaylıyoruz.

$\qquad \displaystyle f(A) = \begin{cases} \left(A, \frac{1}{2}\sum_{a \in A} a\right) &, \sum_{a \in A} a\mod 2 = 0 \\ \left(A, 1 + \sum_{a \in A} |a|\right) &, \text{else} \end{cases}$

burada bölümünün giriş grubu ve bir bir alt kümesi sonra sorar ALT-SUM bir örneği olup için toplanmasıyla . Burada, uydurma olmadığı durumuyla ilgilenmeliyiz ; Bu durumda, keyfi bir somut örnek veriyoruz.$A$$(A,k)$$A$$k$$k$

Egzersiz Sorunu

Sorun UZUN-YOLU göz önünde bulundurun: yönlendirilmiş bir grafiktir verilen , düğümler ve ve tam sayı , basit bir yol olup olmadığına karar için olarak , en azından uzunluğunun .$G$$s,t$$G$$k$$s$$t$$G$$k$

LONGEST-PATH'in NP zor olduğunu göster.

HAMILTON-CYCLE , bilinen bir NP-komple problemdir ve özel bir LONGEST-PATH vakasıdır; isteğe bağlı bir düğüm için içinde yeterlidir. Özellikle, HAMILTON-PATH’tan nasıl daha fazla iş yapılmasının gerekli olduğunu unutmayın.$f(G) = (G,v,v,n)$$v$$G$

Bilinen bir yakın sorundan yararlanmak

Kendini zor hissettiren bir sorunla karşılaştığında, zaten çoktan kanıtlanmış benzer bir sorunu aramaya çalışmak iyi bir fikirdir. Veya belki de bir problemin bilinen bir problemle çok benzer olduğunu hemen görebilirsiniz.

Örnek problem

Bir problem düşünün

göstermek istiyoruz . Zaten bildiğimiz bir soruna çok yakın olduğunu, yani zorunluluk sorununun (SAT) çok hızlı olduğunu not ediyoruz .$\mathsf{NP}$

üyeliğinin gösterilmesi basittir. Sertifika iki ödevdir. Açıkçası, ödevlerin bir formüle uygun olup olmadığı polinom zamanında kontrol edilebilir.$\mathsf{NP}$

$\mathsf{NP}$ sertlik, 'daki bir azalmadan kaynaklanır . Bir formül verildiğinde , değişkenini sunarak yeni bir değişken . Formüle yeni bir cümle . Şimdi, eğer uygunsa , hem hem de . Bu nedenle, en az 2 tatmin edici atamaya sahip. Diğer yandan, eğer tatmin edici değilse, değeri ne olursa olsun kesinlikle tatmin edilemez olacaktır .$\text{SAT}$$\varphi$$v$$(v \vee \neg v)$$\varphi$$v = \perp$$v = \top$$\varphi$$\varphi$$v$

O şöyle olan biz göstermek istediğim şey olan -tamamlamak.$\text{DOUBLE-SAT}$$\mathsf{NP}$

Yakındaki sorunları bulma

Sorunların azaltılması bir tür sanattır ve deneyim ve ustalığa sıklıkla ihtiyaç duyulur. Neyse ki, birçok zor problem zaten bilinmektedir . Garey ve Johnson'un Bilgisayarları ve Uyumluluk: NP-Tamamlanma Teorisine Bir Kılavuz, birçok sorunu listeleyen eki ile klasiktir. Google Akademik aynı zamanda bir arkadaş.

Hesaplanabilirlikte, çoğu Turing makinesi setini araştırıyoruz. Yani nesnelerimiz fonksiyonlardır ve bir Gödel numaralandırmasına erişebiliriz . Bu harika, çünkü hesaplanabilir kaldığımız sürece giriş işleviyle istediğimizi çok yapabiliriz.

nin karar verilemez olmadığını göstermek istediğimizi varsayalım . Amacımız kıyamet eşdeğeri olmaktır$L$

$\qquad \langle M \rangle \in K \iff \langle f_M \rangle \in L$

ile durdurulmasını sorunu (ya da başka bir undecidable dil / sorun).$K = \{ \langle M \rangle \mid M(\langle M \rangle) \text{ halts} \}$

Böylece, ile gelip gereken bir computable¹ haritalama böylece hep hesaplanabilir olduğunu. Bu, kıyametin eşdeğeri tarafından bildirilen yaratıcı bir eylemdir. Bunun nasıl çalıştığı hakkında bir fikir edinmek için bazı örneklere bakın:$\langle M \rangle \mapsto \langle f_M \rangle$$f_M$

• Tamamlayıcılığının Tamamlanmasına İlişkin İndirimlerin$A_{\mathrm{TM}}$
• Bu dillerden herhangi birini diğerine düşürmek için haritalama yapmak mümkün mü?

Aynı şekilde, nin yarı kararlaştırılamayan dilleri azaltma ortağı olarak seçerek yarı kesinleştirilemediğini göstermesi de aynı şekildedir; örneğin, :¯ $L$$\overline{K}$

• Dilin düzenlenmesi belirli bir Turing makinesi tarafından kabul edilebilir bir yarı müstakil özellik midir?
• Hesaplanabilir sabit fonksiyonlar kümesi tekrarlı olarak numaralandırılabilir mi?

1. Gödel numaralandırmasının girdiği yer burasıdır: Bu haritanın hesaplanabilirliğini (genellikle) ücretsiz olarak alıyoruz.

katliama karışan karmaşıklık sınıfları bağlıdır ve biri belirli dan azaltmak isteyip istemediğini bilinmeyen için veya bilinmeyen verilen bir etmek . Ortak senaryo, NP Hard veya NP Complete sorunlarının kanıtlanmasıdır. Yaygın bir teknik, başka bir alanın davranışını taklit eden bir alanda belirli bir şekilde davranan "araçlar" oluşturmaktır. örnek aşağıdaki Slayt gösterisinde örneğin SAT, hükümlerine benzer şekilde köşe kapağının içinde tepe örtüsü, tek yapılar "becerikli" maddesine davranacaksan SAT dönüştürmek için: NP Complete azalmalar Krishnamoorthy tarafından (aynı zamanda Hamilton yolu için bir örnekle).B B $A$$B$$B$$A$

yararlı bir strateji, söz konusu karmaşıklık sınıfından büyük sorunların derlenmesiyle çalışmak ve üzerinde çalışılan soruna "en yakın görünen sorunları" bulmaktır. Bu çizgiler boyunca mükemmel bir referans, Bilgisayarlar ve Etkilenebilirlik, NP bütünlüğü teorisine rehberlik eden Garey ve Johnson farklı problem türlerine göre düzenlenmiştir.