Rastgele bir kapağı tepe noktasına dönüştürme

Verilen bir düzlemsel grafik ve G'nin her bir kenarın uzunluğu 1 olan düzlemdeki gömmeyi göstermesine izin verin . Ayrıca , her c ∈ C noktasının G içinde bulunduğu bir nokta C kümesi var . Bundan başka, herhangi bir nokta için de geçerlidir p de G bir var olduğu C ∈ C için jeodezik bir mesafede en fazla bir en. (Mesafe içindeki en kısa mesafe olarak ölçülür .)$G=(V,E)$$\mathcal{G}$$1$$C$$c \in C$$\mathcal{G}$$p$$\mathcal{G}$$c \in C$$p$$\mathcal{G}$

Bir verilen iddia etmek istiyorum Yukarıdaki durum sahip olduğu için, kolayca bir köşe kapağı haline dönüştürmek veya başka bir şekilde ifade, bir haline dönüştürmek aynı cardinality st herhangi bir yerleştirilir bir tepe noktasındadır ve hala kapsar .C ′ c ∈ C ′ G G C ′$C$$C'$$c \in C'$$\mathcal{G}$$G$$C'$$G$

Benim yaklaşımım kenarları yönlendirmek ve arkın ucunda noktaları hareket ettirmekti . Ama şu ana kadar ben verir doğru yönlendirmeye bulamadık C ' den C .$C$$C'$$C$

Herhangi birinin bir fikri var mı?

Herhangi bir puan ise bir kenarının orta noktada bir tam olarak G , o zaman her bir nokta ilişkilendirmek için yeterli C en yakın tepe için G . Bunu kanıtlamak için okuyucuya bir alıştırma olarak bırakacağım (ipucu: çelişki ile kanıtlamak).$C$$\mathcal{G}$$C$$\mathcal{G}$

Öte yandan, noktaların kenarların orta noktasında yatmasına izin verilirse, bir karşı örnek sağlayabiliriz:$C$

Mavi çizgiler ve daireler ve kırmızı çarpılar C'dir .$\mathcal{G}$$C$

EKLE EDİTİLDİ: İki bağlantılı bir grafik örneği