Karmaşıklık teorisinde “Karar” ve “Doğrulama” arasındaki fark nedir?

Michael Sipser'in Hesaplama Teorisi'nin 270. sayfasında şunları yazıyor:

P = üyeliğe hızlı bir şekilde karar verilebilen dil sınıfı.
NP = üyeliğin hızlı bir şekilde doğrulanabildiği dil sınıfı.

"Kararlı" ve "doğrulanmış" arasındaki fark nedir?

Üyeliğe karar verme görevi : herhangi bir giriş verildiğinde karar verin , yani aşağıdaki işlevi hesaplayın:$x$$x \in L$

$\qquad \displaystyle \chi_L(x) = \begin{cases}1 &x \in L \\ 0 & x\notin L\end{cases}$

Öte yandan, görevi doğrulayarak üyelik edilir: herhangi bir giriş verilmiş ve (önerilen) geçirmez (veya tanık üyelik), Hava çabucak kontrol kanıtı tarafından ¹.$x$$x\in L$

Örneğin, asal çarpanlara ayırmayı düşünün. Verilen , tüm asal çarpanlarını hesaplamak . Öte yandan, verilen ,$n \in \mathbb{N}$$n$$(n, \{i_1, \dots, i_k\})$$\prod_{j=1}^k i_j = n$ . Hangisi daha kolay?

Başka bir örnek: Verilen bir ağırlıklı grafiktir , bir Hamilton döngü vardır Hava karar vermektedir (ziyaretler, tüm düğümler) en ağırlığı k . Öte yandan, ( G , ( v 1 , … , v n ) ) verildiğinde, v 1 → ⋯ → v n yolunun tüm düğümleri tam olarak bir kez ziyaret edip etmediğini ve en fazla k ağırlığına sahip olduğunu doğrulayın . Hangisi daha zor?$G = (V,E)$$k$$(G, (v_1, \dots, v_n))$$v_1 \to \dots \to v_n$$k$

1. Eğer ise "hayır" diyeceksiniz, fakat kanıt yanlış. Yine de, bu bağlamda belirsiz makineleri ele aldığımız için sorun değil; sadece doğru kanıtı tahmin edip doğrulayabilmemiz önemlidir (hızlı bir şekilde).$x \in L$

Verimlilik sorunlarını göz ardı edersek, analojiye göre farkı gösteren başka bir örnek daha var. Durdurma sorununun çözülemez olduğunu biliyoruz: Turing makinesi için kodu verildiğinde , makinenin herhangi bir giriş olmadan çalıştırılması durumunda durup durmadığını belirlemenin etkili bir yolu yoktur.$e$

Bir makine Ama eğer yok sadece durana makine çalışır önce kaç adım onlara: durdurmak, başkasına kanıtlamak zor değildir. Makineyi bu kadar çok adım için çalıştırabilir ve doğruyu söyleyip söylemediğinizi bilirler (elbette verimliliği görmezden gelmek).

Yani Turing makinelerini durdurma seti karar verilemez, ancak doğrulanabilir. Durmayan makineler için bir kanıt verilmemesi gerektiğini unutmayın . Doğrulama yalnızca üyelik anlamında asimetrik olduğu içinde sette doğrulanabilir olması vardır, üyelik dışarı kümesinin yok.

P ve NP'deki durum benzerdir. Her bir amacı, bu deliller bir sistem ise, bir dil NP olduğu de dil ile sınırlanan bir dizi adım verimli doğrulanabilir (nesnenin boyutu bir polinom ile sınırlandırılan), kısa bir kanıt vardır ( giriş boyutunda bir polinom).

Öte yandan, keyfi bir nesnenin, nesnenin boyutunda bir polinom tarafından sınırlandırılmış bir dizi adım kullanarak dilde olup olmadığını anlamanın bir yolu varsa, P dilinde bir dil vardır. Şimdi sadece dildeki nesneler için değil, rastgele girdiler için de endişelenmeliyiz. Ancak bu sorun simetriktir: eğer bir dil P dilinde ise, tamamlayıcısı da öyle. Her NP dilinin tamamlayıcısının da bir NP dili olup olmadığı sorusu çözülmemiştir.

(Bu benzetme, NP problemlerinin yeniden kümeler gibi P problemleri için hesaplanabilir kümeler olduğunu düşündürmektedir. Bu biraz doğrudur, ancak yanıltıcı olabilir. NP ve Co-NP olan her kümenin P'de olup olmadığı bilinmemektedir).