Düzlemsel normal diller

Sınıfımda bir öğrenci, sonlu tüm otomataların kenarları geçmeden çizilip çizilemeyeceğini sordu (tüm örneklerin yaptığı gibi görünüyor). Elbette cevap olumsuz, dil için bariz otomatizasyon $\{\; x\in\{a,b\}^* \mid \#_a(x)+2\#_b(x) \equiv 0 \mod 5 \;\}$$K_5$

Sorum şu: Bu dil için her sonlu durum otomatının düzlemsel olmadığını nasıl gösterebiliriz ? Myhill-Nerode benzeri karakterizasyonlarla, dilin yapısının şemada olduğu muhtemelen tespit edilebilir, ancak bunu nasıl kesinleştirebiliriz?

Ve eğer bu yapılabilirse, "düzlemsel normal dillerin" bir özelliği var mı?

Bu dilin her DFA'sının düzlemsel olmadığı doğru değildir:

İşte gerçekten düzlemsel olmayan bir dil:

$$\left\{ x \in \{\sigma_1,\ldots,\sigma_6\}^* \middle| \sum_{i=1}^6 i\#_{\sigma_i}(x) \equiv 0 \pmod 7 \right\}.$$ Bu dil için herhangi bir düzlemsel FSA alın. Ulaşılamaz durumların tümünü kaldırırsak, yine de düzlemsel bir grafik elde ederiz. Her erişilebilir durumun altı farklı çıkış kenarı vardır; bu, her düzlemsel grafiğin en fazla beş derece derecesine sahip olduğu bilinen gerçeğiyle çelişir.

Kavramı daha önce araştırılmış. (Cevabı öğrendikten sonra, bunun için google ...)

İlk olarak, aşağıdaki özeti içeren Kitap ve Chandra'ın eski eserleri var.

Summary. It is shown that for every finite-state automaton there exists an equivalent nondeterministic automaton with a planar state graph. However there exist finite-state automata with no equivalent deterministic automaton with a planar state graph.

The example and argumentation given is exactly the one by Yuval in his answer!

Moreover they also consider the binary alphabet.

There is a 35-state inherently nonplanar deterministic automaton over a 2-letter alphabet.

Bu çalışma son zamanlarda Bonfante ve Deloup tarafından sürdürülüyor. Topolojik gömülmeleri dikkate alırlar. Gayri resmi olarak bir grafiğin cinsi, grafiği kenarları geçmeden bir yüzeye gömmek için eklenmesi gereken deliklerin sayısıdır. Cinsi sıfır olan grafikler düzlemseldir. Öyleyse bir dilin cinsi, dilin otomatlarının en az cinsidir.

Teorem 9 (Cinsiyete Dayalı Hiyerarşi). Keyfi olarak büyük cinsin düzenli dilleri vardır.

"Devlet-minimal otomata karşı cins-minimal otomata karşı" bölümünde, sonuç kanıtı Yuval tarafından verilen ilk örnek olan beşinci K5 dil düzlemini yapmak için on devlettir.

Önerme 7. Cinsi asgari otomatlarının cinsinden kesin olarak daha düşük bir cinse sahip deterministik otomatlar vardır.

G.Bonfante, F.Deloup: Normal diller cinsi, Bilgisayar Biliminde Matematiksel Yapılar, 2018. doi 10.1017 / S0960129516000037 . Ayrıca ArXiv 1301.4981 (2013)

RV Kitabı, AK Chandra, Doğasında Olmayan Düzlemsel Otomatlar, Acta informatica 6 (1976) doi 10.1007 / BF00263745