Monoton boolean formülünün tatmin edilebilirliğine karar vermenin NP tamlığını kanıtlayın

Bu sorunu çözmeye çalışıyorum ve gerçekten mücadele ediyorum.

Bir monoton boole formül tümü değişmezdir pozitif önermeler mantık bir formüldür. Örneğin,

$\qquad (x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor x_3) \land (x_3 \lor x_4 \lor x_5)$

monoton bir boolean fonksiyonudur. Öte yandan,

$\qquad (x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_5)$

monoton bir boole işlevi değildir.

Bu sorun için NP tamlığını nasıl kanıtlayabilirim:

Eğer bir monoton boole fonksiyonu karşılanabilir olup olmadığını belirleme değişkenleri veya daha az olarak ayarlanır ?$k$$1$

Açıkçası, tüm değişkenler sadece pozitif olarak ayarlanabilir ve bu önemsizdir, bu yüzden pozitif olarak ayarlanmış değişkenlerin kısıtlaması vardır .$k$

SAT'dan monoton boolean formülüne bir azalma denedim. Denediğim bir şey, her negatif değişmez yerine kukla bir değişken koymaktır. Örneğin, yerine denedim ve sonra ve farklı değerler olmaya . Yine de bunu işe yarayamadım.z 1 x 1 z $\neg x_1$$z_1$$x_1$$z_1$

Bakmakta olduğunuz sorunun "üst öğesi" bazen Ağırlıklı Memnuniyet (WSAT, özellikle parametrelenmiş karmaşıklıkta) veya Min-Ones (normalde bir optimizasyon sürümü olmasına rağmen yeterince yakın) olarak adlandırılır. Bu sorunlar , tanımlayıcı özellikleri olarak "en fazla değişkeni true olarak ayarlanmış" kısıtlamasına sahiptir.$k$

Monoton formüllere kısıtlama aslında sertlik göstermek için şaşırtıcı derecede kolaydır, sadece bir an için tatmin edilebilirlik sorunlarının dışında bir şey yapmanız gerekir. Bir SAT örneğini değiştirmeye çalışmak yerine, bunun yerine Dominating Set (DS) ile başlarız.

Bakalım oradan alabilir misin? Daha fazlası spoilerde, parçalara ayrılmış, ancak mümkünse kaçının. NP üyeliğini göstermeyeceğim, bununla bir problemin olmamalı.

Bir örneğini göz önüne alındığında DS (yani o en çok büyüklükte bir görünen dizi isteyen k için G ), Ayrıca bir örnek gerçekleştirebilmesi ( φ , k ) formül WSAT ait φ monoton bir CNF formülü aşağıdaki gibidir:$(G, k)$$k$$G$$(\phi,k)$$\phi$

Temel yapı:

Her biri için bir değişken vardır v ' ∈ var ( φ ) , her biri için v ∈ V ( G ) bir maddesi olan c v = ⋁ U ∈ N- ( v ) u ' .$v\in V(G)$$v' \in \text{var}(\phi)$$v \in V(G)$$c_{v} = \bigvee_{u\in N(v)} u'$

İspatın bir taslağı:

Biz bulabilirse ya sahip her köşe böylece, hakim sette olmak, ya da bir komşumuz olduğu için hakim seti oluşturan köşeleri, gelen k değişkenleri doğru olarak ayarlanabilir cp ve her hükmü en azından içermelidir onlardan biri. Bir kilo var Benzer şekilde eğer k tatmin atama, gerçek değişkenler biz hakim kümesinde yer köşeler karşılık - her fıkra c v Her böylece, en azından birine sahip olmalıdır v (kendi başına veya başka bir şekilde) hakimdir.$k$$k$$\phi$$k$$c_{v}$$v$

SAT'dan basit bir azalma var. ¬ x i'yi temsil etmek için yeni bir değişkeni ekleyin . Bir formül verilen cp , yeni bir formül oluşturmak cp ' her oluşumunu değiştirerek ¬ x i ile Z i , ve de ekleme x i ∨ z i , her bir değişken için. K'yi orijinal değişkenlerin sayısı olarak ayarladık . Yeni ϕ ′ formülü monotondur ve en fazla k değişkeni true değerine ayarlanmışsa ve yalnızca ϕ tatmin edilebiliyorsa tatmin edilebilir. (Bunun nedeni $z_i$$\neg x_i$$\phi$$\phi'$$\neg x_i$$z_i$$x_i \vee z_i$$k$$\phi'$$\phi$$k$ayrık cümle , ϕ ′ için en az k değişkeninin True değerine sahip olması için tatmin edici bir tahminde bulunur ; ancak daha sonra en fazla k'ye sahip olmanın tek yolu, her bir çift için {x_i, z_i} tam olarak bir tanesinin true değerine ayarlanmış olmasıdır.)$x_i \vee z_i$$\phi'$$k$$k$