İki döngüde bulunan en uzun döngü

Aşağıdaki sorun NP-tamamlanmış mı? (Evet varsayıyorum).

Giriş: kenar setinin iki kenar ayrık basit döngüye ayrıştırılabildiği yönlendirilmemiş bir grafik (bunlar girişin bir parçası değildir ). $k \in \mathbb{N},G=(V,E)$

Soru: uzunluğu büyük basit bir döngü var mı ? $G$ $k$

Açıkçası sorun NP olduğunu ve maksimum derecede ise , ama bu yardım görünmüyor. $G$ $\leq 4$

graph-theory np-complete decision-problem

— Liste
kaynak

"Herhangi bir çifti bağlayan en fazla 4 yol" konusunda haklı olduğunu düşünmüyorum. Bkz. İ.imgur.com/mYL4n1V.png

— svinja

@svinja Haklısın, iki köşenin herhangi bir çifti arasında en fazla 4 çift taraflı ayrık yol olduğunu söylemeliydim.

— Liste

Başlığınız yanıltıcıdır, çünkü en uzun basit döngü,

(herhangi bir ayrışmada) ayrışmasındaki iki döngüden hiçbiri olamaz .

E

$E$

— Denis

@dkuper aslında, iki tepe ayrık basit döngülerin birliğine bakabilir.

— Liste

Demek istediğim, asla onlardan biri olamayacağı değil, bazen onlardan biri olmadığıdır. Yani sorun ikisinin daha büyükünü bulmak değil.

— Denis

Yanıtlar:

Bir azaltma girişimi ....

digrafisinde Hamilton yolundan azalma $G = (V,E)$

$G$
ekstra "bağlantı düğümleri" (şekil B'deki mor düğümler) ekleyerek kırmızı yollara katılın ve yönlendirilmemiş bir kırmızı devre yapın; ekstra "bağlantı düğümleri" (şekilde mor düğümler) ekleyerek yeşil yollara katılın ve yönlendirilmemiş bir yeşil devre yapın;
$b \in V$ $k$ $a\to b$ $k$ $b \to c$ $k$ $b \to d$ $b$

$3k$ $b \in V$ $k$

derece 2 ve geride 1 olan V'nin her orijinal düğümünü benzer şekilde dönüştürün

$k \gg |V|$ $G'$ $3k(|V|-1)$ $G$ $|V|-1$

resim açıklamasını buraya girin

Büyük resim buradan indirilebilir

— Vor
kaynak

Bu çok güzel bir kanıttır, belki de yollara nasıl ulaşılacağını anlamayı kolaylaştırmak için 'A' şeklindeki kenarları yönlendirmelisiniz (sanırım bunu anladım).

— Listeleme

@Listing: yolların inşaatı yönlendirilmiş kenarlara bağlı değildir (aslında cevapta "yönlendirilmemiş" arama yazdım). Rasgele bir düğümden başlamalı, önce derinlik taraması yapmalı, önce kenarları kırmızı renkle renklendirilmeli, daha sonra karşılaşılan ilk derece 3 düğüme geri gitmeli ve derinliği taramaya devam etmeli, kenarları yeşil renklerle renklendirilmeli vb. .. belki daha resmi bir tanımı vardır, ama şimdi aklıma gelmiyor. Daha fazla ayrıntıya ihtiyacınız varsa bana bildirin.

— Vor

Görüyorum ki, kenarların 'doğru' yönde geçtiği özellik son dönüşümle zorlanıyor. Açıklama için teşekkürler.

— Listeleme

Vor'un cevabından esinlenerek daha basit bir cevap vermek istiyorum.

Itai tarafından zor kanıtlanmış ızgara grafikleri sorunu için Hamilton döngüsü problemi ile başlayın.

Bir ızgara grafiğinin kenar kümesinin 2 ayrık alt kümeye ayrılabileceği kolayca görülebilir: yatay ve dikey.

Şimdi, tüm yatay olanları basit bir döngüde örmemiz ve tüm dikey olanları başka bir basit döngüde örmemiz gerekiyor.

Bu çok kolay bir iştir: dikey olanlar için, en soldan sağa doğru süpürün, sadece dikey boşlukları bağlayın, ardından ardışık x koordineli dikey çizgiyi bağlayın, ardından en soldaki en düşük tepe noktasını en sağdaki en yüksek tepe noktasına bağlayın. Yatay kenarlar için de aynı işlemi uygulayın.

Elde edilen grafiğin hala basit, yönlendirilmemiş ve gereksinimi karşıladığını unutmayın. Basittir, çünkü dikey faz ve yatay fazın son adımlarında iki farklı tepe çifti ile ilgileniriz.

$k$ $k$ $2k|V|$

— Thinh D. Nguyen
kaynak