Kafesler ne için kullanılır?

Wikipedia diyor ki :

Matematik ve bilgisayar bilimindeki birçok uygulamada tam kafesler ortaya çıkar

Hesaplamada kullanılan standart Boole cebirinin tam bir kafes olduğu gerçeğinden mi bahsediyorsunuz? Özellikle Boole mantığı yerine soyut kafeslerde çalışarak kazandığımız bir şey var mı?

Bir Google araması konu hakkında fazla bir şey bulamıyor, ancak büyük olasılıkla yanlış anahtar kelimeler kullanıyorum.

Örneğin bu kitaba bakınız: Uygulamalarla Kafes Teorisi, Vijay K. Garg , şu şekilde başlar:

Kısmi düzen ve kafes teorisi artık bilgisayar bilimi ve mühendisliğinin birçok alanında önemli bir rol oynamaktadır. Örneğin, dağıtılmış hesaplama (vektör saatler, küresel yüklem tespiti), eşzamanlılık teorisi (pomsets, oluşum ağları), programlama dili semantiği (sabit nokta semantiği) ve veri madenciliği (kavram analizi) uygulamalarına sahiptirler. Ayrıca kombinatorik, sayı teorisi ve grup teorisi gibi matematiğin diğer disiplinlerinde de faydalıdırlar. Bu kitapta, kısmi sıra teorisinde bilgisayar bilimindeki uygulamaları ile birlikte önemli sonuçlar getirdim. Kitabın yanlılığı, kafes teorisinin (algoritmalar) hesaplamalı yönleri ve uygulamalar (özellikle dağıtılmış sistemler) üzerinedir.

Kitap, özyineleme teorisinden (hesaplanabilir kümeler teorisi) bahsetmiyor gibi görünüyor, ancak Wikipedia'nın Hesaplanabilirlik teorisi ile ilgili makalesinde şunu görüyoruz:

Post basit bir küme kavramını sonsuz bir küme içermeyen sonsuz bir tamamlayıcıya sahip bir küme olarak tanımladığında, dahil edilen yinelenen kümelerin yapısını incelemeye başladı. Bu kafes iyi çalışılmış bir yapı haline geldi. Yinelemeli kümeler bu yapıda, bir kümenin yalnızca kümenin ve tamamlayıcının yinelemeli olarak numaralandırılabilmesi durumunda yinelemeli olduğu temel sonucu ile tanımlanabilir. Sonsuz yeniden kümeler daima sonsuz özyinelemeli alt kümelere sahiptir; ancak öte yandan, basit setler vardır, ancak bir coinfinite özyinelemeli üst kümesi yoktur. Post (1944) zaten hipersimple ve hiperhipersimple kümelerini tanıttı; daha sonra, her yeniden üst kümenin verilen maksimum kümenin sonlu bir varyantı veya eş-sonlu olacağı şekilde yeniden kümeler olan maksimum kümeler oluşturulmuştur. İleti' Bu kafesin çalışmasındaki asıl motivasyonu, bu özelliği karşılayan her setin özyinelemeli setlerin Turing derecesinde veya durma probleminin Turing derecesinde olmayacağı şekilde yapısal bir fikir bulmaktı. Post böyle bir özellik bulamadı ve sorunun çözümü öncelikli yöntemler uyguladı; Harrington ve Soare (1991) nihayetinde böyle bir mülk buldular.

Daha fazla okuma için, Programcılar ve Bilgisayar Dışı Bilim İnsanları için Kafes Teorisi adlı blog gönderisine bakın .

Düzenli kenar etiketleri ve ilgili yapılar dağıtıcı bir kafes oluşturur (bkz. Örneğin burada ). Bu, belirli bir grafik için tüm normal kenar etiketlerinin alanı içinde verimli bir şekilde arama yapmak için kullanılabilir ( buraya bakın ). Bir uygulama olarak, bir haritanın yüzler için belirli bir alan atamasıyla kartogram olarak çizilip çizilemeyeceğini belirleyebilirsiniz .

Pål GD tarafından verilen referanslar gerçekten çok uygundur. Öyleyse bunun yerine bu cevapta küçük bir yan konuya odaklanalım. Bir süre önce kafesler hakkında biraz okuma yaptım ve yarı kafes kavramının uygulamalar için daha uygun olup olmayacağını merak etmeye başladım. Tam bir yarı kafesin de otomatik olarak bir kafes olduğuna itiraz edebilirsiniz, ancak homomorfizmler ve alt yapılar (örn. Alt-öğeler ve alt-araçlar) farklıdır.

Yarıgrupları incelerken, değişmeli idempotent yarıgruplar olarak ilk olarak (yarı) kafeslerle karşılaştım. Daha sonra hiyerarşik yapılar ve kafesler arasındaki ilişkiyi düşündüm ve bir ağacın doğal olarak da yarı kafes olduğunu fark ettim. Daha sonra güvenlik bağlamlarında ve program analizinde kafesler buldum ve her zaman bana yarı örgü yapının gerçekten önemli bir parçası olduğu görülüyordu ve kafes sadece "ücretsiz" olarak elde edilebildiği için alındı. Heyting cebiri için bile, bağlanma ve ayrılma arasında bir asimetri vardır, bu da bana asimetrik yarı örgü modelin simetrik kafes modelinden daha fazla içgörü sağlayabileceğini düşündürmektedir.

çok önemli, ancak çok ünlü olmayan bir vaka - teorisyenler arasında iyi biliniyor, ancak lisans öğrencilerine öğretilmesi anlamında çok iyi bilinmemektedir - bir kafes kullanımının , monoton devrelerin boyutunda süperpolinom alt sınırlarını kanıtlamak olduğunu bilgi işlem Klik kendisi için Razborov kazandı Nevanlinna ödülü . ancak orijinal konstrüksiyon çok tekniktir ve daha sonra konstrüksiyonlar örneğin Berg / Ulfberg kafeslere atıfta bulunmadan çerçeveyi basitleştirir.

dolayısıyla bu durumda örgü teorisi orijinal kanıtı keşfetmek için bir çerçeve olarak kullanılmıştır, ancak daha sonraki formülasyonlar doğrudan kavramsal bir sadeleştirme olarak bahsetmeme eğilimindedir.

bu nedenle evet kafesler daha egzotik bir matematiksel nesne olarak kabul edilebilir [Razborov, CS'de ileri matematik uygulama tarzının başka bir yerinde konuştu], CS'deki diğer bazı "somut" nesnelere karşılık gelebilir, bu durumda "yaklaşım kapıları" dır. yani, "yaklaşık olarak doğru" cevaplar veren ve kafesin, kesin bir devre ile kesin olmayan, yaklaşık bir devre arasında dönüştürme için bir tür "endüksiyon yapısı" olduğu devrelerdeki boole kapıları.

O zamandan beri diğer ilgili okuyucular için Sıralı Kümeler ve Komple Kafesler: Bilgisayar Bilimi için Bir Astar buldum .

Ayrıca, şaşırtıcı bir şekilde (en azından benim için) kriptografi . Bir göz atın, bilinen kriptosistemlerin yeni saldırılarına izin verir ve kuantum hesaplama sonrası kriptografi için umutlar verir.